高一数学知识点大全

1、第 页高一数学知识点大全第一章 集合与函数概念一、集合有关概念集合的含义集合的中元素的三个特性：元素的 确定性 如：世界上最高的山元素的 互异性 如：由 HAPPY的字母组成的集合 H,A,P,Y 元素的 无序性 如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合集合的表示： 如：我校的篮球队员 ，太平洋 ,大西洋 ,印度洋 , 北冰洋 用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 ： A= 我 校 的 篮 球 队 员,B=1,2,3,4,5集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作： N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 列举

2、法： a,b,c 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。 x R| x-32 ,x| x-32语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 Venn图:集合的分类：有限集 含有有限个元素的集合无限集 含有无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合例： x|x2= 5二、集合间的基本关系“包含”关系子集注意： A B有两种可能（ 1）A是 B的一部分，；（ 2）A与 B 是同一集合。反之: 集合 A不包含于集合 B,或集合 B不包含集合 A,记作 A B 或 B A2“相等”关系： A=B （5 5，且 5 5，则 5=5）实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1

3、“元素相同则两集 合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集。 A A真子集 :如果 A B,且 A B那就说集合 A是集合 B的真子 集，记作 A B（ 或 B A）如果 A B, B C , 那么 A C如果 A B 同时 B A 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为规定 : 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真 子集。有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集， 2n-1 个真子集三、集合的运算运算 类 型交集并集补集定义由所有属于 A 且属于 B的元 素所组成的 集 合 , 叫 做 A,B 的 交 集记作 A B （读作 A 交 B），即 A B=由所有属于集 合

4、A 或属于集 合 B 的元素所 组成的集合， 叫做 A,B 的并 集记作： A B （读作 A 并 B），即 A B设 S 是一个 集合，A是S的 一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集 合，叫做 S 中子 集 A 的补集（或 余集） x|x A，且 x B=x|x A ， 或 x B) 记作 CSA，即 CSA=x|x S,且x A韦 A BABS A恩图 1图2图示性 A A=AA A=A(CuA)A =A =A(CuB)质 A B=BA B=B A= Cu (A B)AAB(CuA)ABAABB(CuB)ABB= Cu(A B)A(CuA)=UA (CuA)=例题：1. 下

5、列 四 组 对 象 ， 能 构 成 集 合 的 是）A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的 书 D 倒数等于它自身的实数集合a ，b， c 的真子集共有个若集合 M=y|y=x2-2x+1,x R,N=x|x 0，则 M 与 N 的关系是 .设集合 A=x1 x 2，B=xx a ，若 A B，则 a的取值范围 是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已 知物理实验做得正确得有 40 人，化学实验做得 正确得有 31 人，两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有 人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点 （含边界上的点） 组成 的集合 M= .7. 已知集合 A=

6、x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC， A C=，求 m的值、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确 定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应，那么就称 f ：AB 为从集 合 A到集合 B的一个函数记作： y=f(x) ，xA其中， x 叫 做自变量， x 的取值范围 A叫做函数的定义域；与 x 的值相对 应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的 值域1定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函

7、数的 定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：分式的分母不等于零；偶次方根的被开方数不小于零；对数式的真数必须大于零；指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合 .指数为零底不可以等于零，实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义相同函数的判断方法：表达式相同(与表示自变量和函 数值的字母无关) ；定义域一致 ( 两点必须同时具备 )( 见课本 21 页相关例 2)2值域 : 先考虑其定义域观察法配方法代换法3. 函数图象知识归纳定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) ,

8、(x A) 中的 x 为横坐标， 函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y) 的集合 C，叫 做函数 y=f(x),(x A)的图象 C上每一点的坐标 (x ，y) 均满 足函数关系 y=f(x) ，反过来， 以满足 y=f(x) 的每一组有序实数 对 x、y 为坐标的点 (x ，y) ，均在 C上 .画法描点法：图象变换法常用变换方法有三种平移变换伸缩变换对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设 A、B是两个非空的集合， 如果按某一个确定的 对应法则 f ，使对于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B中都 有唯一确定的

9、元素 y 与之对应，那么就称对应 f ：A B 为从集 合 A到集合 B的一个映射。 记作“f（对应关系）：A（原象） B （象）”对于映射 f ： A B来说，则应满足：（1）集合 A中的每一个元素， 在集合 B 中都有象，并且象是 唯一的；（2）集合 A中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一 个；（3）不要求集合 B中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6. 分段函数（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。各部分的自变量的取值情况分段函数的定义域是各段定义域的交集， 值域是各段值 域的并集补充：复合函数如果 y=f(u)(u M),u=g(x)(x A), 则 y=fg

10、(x)=F(x)(x A) 称为 f 、 g的复合函数。二函数的性质1. 函数的单调性 ( 局部性质 )( 1)增函数设函数 y=f(x) 的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内的某个 区间 D 内的任意两个自变量 x1， x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2) ，那么就说 f(x) 在区间 D上是增函数 . 区间 D 称为 y=f(x) 的单调增区间 .如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1 f(x2) ，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数 . 区间 D 称为 y=f(x) 的单调减区间 .注意：函数的单调性是函数的局部性质；( 2) 图象的特点如

11、果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数， 那么说函 数 y=f(x) 在这一区间上具有 ( 严格的 ) 单调性， 在单调区间上增 函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降 的. 函数单调区间与单调性的判定方法定义法：1 任取 x1，x2D，且 x11，且 n N *负数没有偶次方根； 0的任何次方根都是 0，记作 n 0 0当 n 是奇数时，n an a，当 n是偶数时，(a 0)(a 0)m an1)2)r s rs (a ) a(a 0,r,s R) ；3)(ab)r ar as(a 0,r,s R)二)指数函数及其性质2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：ma

12、 n n am (a 0,m,n N *,n 1)1 1 *m n m (a 0,m,n N ,n 1)an n am0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质(a 0,r,s R) ；1、指数函数的概念：一般地，函数y ax(a 0,且a 1) 叫做 指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零 和 12、指数函数的图象和性质a10a 0值域 y 0在 R 上单调递增在 R 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点(0，1)函数图象都过定点(0，1)注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：(

13、1)在a ，b上，f (x) ax(a 0且a 1)值域是 f (a), f (b)或f (b),f (a) ；(2)若 x 0，则 f (x) 1；f (x )取遍所有正数当且仅当 x R； (3)对于指数函数 f(x) ax(a 0且a 1)，总有 f (1) a； 二、对数函数(一)对数1对数的概念：一般地，如果 ax N (a 0,a 1) ，那么数 x 叫做以 a为底 N 的对数，记作： x logaN(a 底数， N 真 数， loga N 对数式)说明： 1 注意底数的限制 a 0，且 a 1；a x N log a N x ；注意对数的书写格式loga N两个重要对数：1 常用

14、对数：以 10为底的对数 lg N ；2 自然对数：以无理数 e 2.71828 为底的对数的对数 ln N 指数式与对数式的互化幂值 真数ab Nloga N b底数指数 对数二）对数的运算性质如果 a 0，且 a 1， M 0， N 0，那么：log a (MN) loga M loga N ；log alogaMN log a M log a N ；Mn n loga M(n R)注意：换底公式log b log c blog a blog c a （a 0，且 a 1； c 0，且 c 1； b 0）利用换底公式推导下面的结论1）logam bn n loga b m2）1log a

15、blogb a二）对数函数1、对数函数的概念：函数y log a x（a 0 ，且 a 1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（ 0，+）注意： 1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定 y log x 义，注意辨别。如： y 2log2 x， y log5 5 都不是对数函数，而 只能称其为对数型函数对数函数对底数的限制：（a 0 ，且 a 1）2、对数函数的性质：a10a0定义域 x 0值域为 R值域为 R在 R 上递增在 R 上递减函数图象都过定点（ 1， 0）函数图象都过定点（ 1， 0）三）幂函数1、幂函数定义： 一般地， 形如 y x （a R）的函数称为幂函 数

16、，其中 为常数2、幂函数性质归纳（ 1）所有的幂函数在（ 0，+）都有定义并且图象都过点 （1，1）；（2） 0时，幂函数的图象通过原点， 并且在区间 0, ） 上 是增函数特别地，当 1时，幂函数的图象下凸； 当 01时，幂函数的图象上凸；（ 3） 0时，幂函数的图象在区间 （0, ）上是减函数在 第一象限内， 当 x从右边趋向原点时， 图象在 y轴右方无限地逼 近 y 轴正半轴，当 x 趋于 时，图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴 正半轴例题：1. 已知 a0， a 0，函数 y=ax 与 y=loga（-x） 的图象只能 是 （ ）log 3 22. 计算： log 27 64 ; 2

17、4log23=253log 5 27 2log 5 20.0647( 78)41( 2)3 3 16 0.75 0.0121函数 y=log 2 (2x2-3x+1) 的递减区间为4.若函数 f(x) loga x(0 a 1)在区间 a, 2a上的最大值是最小值的 3 倍，则 a=1x5.已知 f(x) loga1 x(a 0且a 1)，(1)求f (x)的定义域( 2)求使 f(x) 0 的 x 的取值范围第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念： 对于函数 y f(x)(x D)，把使 f(x) 0成 立的实数 x叫做函数 y f (x)(x D)的零点。2、函数零点的意义： 函数 y f (x)的零点就是方程 f(x) 0实 数根，亦即函数 y f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标。即：方程 f (x) 0有实数根 函数 y f (x)的图象与 x 轴有交 点 函数 y f (x) 有零点3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程 f（x）