小六数学第6讲：加乘原理(教师版)

1、第六讲加乘道理生涯中常有如此的状况，确实是在做一件事时，有几多类差别的办法，在详细做的时分，只要采纳一类中的一种办法就能够实现，同时几多类办法是互不妨碍的。在每一类办法中，又有几多种能够的做法，那么思索实现这件事一切能够的做法，就要用到加法道理来处理。另有如此的一种状况确实是在做一件事时，要分几多步才干实现，而在实现每一步时，又有几多种差别的办法，要明白实现这件状况共有几多种办法，就要用到乘法道理来处理。加法道理：假如实现一件义务有n类办法，在第一类办法中有种差别办法，在第二类办法中有种差别办法，在第n类办法中有种差别办法，那么实现这件义务共有种差别办法。乘法道理：假如实现一件义务需求分红n个

2、步调进展，做第1步有种办法，做第2步有种办法，做第n步有种办法，那么依照如此的步调实现这件义务共有种差别办法。1.加法道理跟乘法道理是计数办法中常用的主要道理，在使用时要留意它们的区不。2.加法道理是把实现一件事的办法分红几多类，每一类中的任何一种办法都能实现义务，因而实现义务的差别办法数即是各种办法数之跟。3.乘法道理是把一件事分几多步实现，这几多步缺一弗成，因而实现义务的差别办法数即是各步办法数的乘积。例1：一个盒子内装有5个小球，另一个盒子内装有9个小球，一切这些小球色彩各纷歧样。咨询：从两个盒子内任取一个小球，有几多种差别的取法？从两个盒子内各取一个小球，有几多种差别的取法？剖析：“从

3、两个盒子内任取一个小球，那么那个小球要么从第一个盒子中取，要么从第二个盒子中取，共有两类办法，因而使用加法道理。“从两个盒子内各取一个小球，可当作先从第一个盒子中取一个，再从第二个盒子中取一个，分两步实现，因而使用乘法道理。解：从两个盒子中任取一个小球共有：5+9=14种差别的取法。从两个盒子中各取一个小球共有：59=45种差别的取法。例2：从1到399的一切天然数中，不含无数字3的天然数有几多个？剖析：从1到399的一切天然数可分红三类，即一位数、两位数、三位数。一位数中不含3的有8个，1、2、4、5、6、7、8、9。两位数中，不含3的能够如此思索：十位上不含3的有1、2、4、5、6、7、8

4、、9共八种状况；个位上，不含3的有0、l、2、4、5、6、7、8、9这九种状况，要断定一个两位数，能够先取十位数字，再取个位数字，使用乘法道理，这时共有89=72个数字不含3。三位数中，小于400同时不含数字3的能够如此思索：百位上不含3的有l、2这两种状况，十位上跟个位上不含3的有0、1、2、4、5、6、7、8、9这九种状况。要断定一个三位数，能够先取百位数，再取十位数，最初取个位数，使用乘法道理，这时共有299=162个数字不含3。解：在从1到399中，不含3的一位数有8个；不含3的两位数有89=72个；不含3的三位数有299=162个。由加法道理，在从1到399中，共有：8+72+162

5、=242个不含3的天然数。例3:用5种色彩给图1的五个地区染色，相邻的地区染差别的色彩，每个地区染一种色彩。咨询：共有几多种差别的染色办法？剖析：由图1可知A与D、B与E不相邻，它们之间有同色跟差别色两类变更。思索当A、D染同色时，依照乘法道理。A与D中有5种染色办法，假定B与E同色，那么B与E有4种染色办法，那么C有3种染色办法。因而有543=60种假定B与E差别色，那么B有4种染色办法，E有3种染色办法，C有2种染色办法。因而有5432=120种。当A、D染色差别时，A有5种染色办法，D有4种染色办法，假定B与E同色，那么B与E有3种染色办法，那么C有2种染色办法。因而有5432=120种

6、假定B与E差别色，那么B有3种正色办法，E有2种染色办法，C有1种染色办法。那么有54321=120种。再依照加法道理可知有几多种染色办法。解:当A、D染同色时，有：543+5432=60+120=180种当A、D染色差别时，有：5432+54321=120+120=240种依照加法道理：180+240=420种答：共有420种差别的染色办法。例4：黉舍羽毛球队有12名男队员，10名女队员。l要选择一名男队员跟一名女队员构成一对男、女混杂双打选手，有几多种差别的搭配办法？2该羽毛球队在竞赛中获集团总分第一名，黉舍选一名运发动去领奖，有几多种选法？剖析：l构成男、女混杂双打选手，先选择男队员有1

7、2种办法，再选择女队员有10种办法，依照乘法道理可求有几多种差别的搭配办法。2选一名运发动去领奖，从男队员当选有12种选法，从女队员当选有10种办法，依照加法道理可求有几多种选法。解：1依照乘法道理，构成男、女混杂双打选手有：1210=120种2依照加法道理，选一名运发动去领奖有：12+10=22种例5:寻出图2中从A点动身，通过C点跟D点到B点的最短道路，共有几多条？剖析：要寻出从A到B共有几多条差别的最短道路，只要依照加法道理寻出A点到图上每个交点的最短道路，便可失失落。如图3所示，从A到、走最短道路只要1种办法，而从A到有、两种道路。依照异样的情理可推算出A到图上各点的走法数。先应用加法

8、道理进展推算，AC有6种走法。再用同法得出CD、DB的走法数，再用乘法道理可得出从ACDB的最短线路。解：从A到C有6种走法，再以C为终点，用一样的办法得出到D的走法有10种。从D到B的走法也有6种。应用乘法道理得出，从A经C、D到B的最短差别线路共有6106=360种。例6：现有壹元的国平易近币4张，贰元的国平易近币2张，伍元的国平易近币5张，假如从中至少取一张，至少取11张，那么共能够配成几多种差别的钞票数？剖析：标题中统共有三种面值的国平易近币，从中任取几多张，形成一个钞票数，需求一步一步来做，如先取壹元的，再取贰元的，最初取伍元的，但要留意到取2张壹元的跟取1张贰元的失失落的钞票数一样

9、。如此会发生反复。为了防止反复，把壹元的国平易近币4张跟贰元的国平易近币2张一致同来思索，即从中掏出几多张构成一种面值，看共能够构成几多种。经剖析知，可构成从壹元到捌元间的任何一种面值，共8种状况此中取2张壹元的国平易近币与取1张贰元的国平易近币是一种状况；取4张壹元的国平易近币与取2张贰元的国平易近币是一种状况。如今咨询题可转化为从8张壹元的国平易近币跟5张伍元的国平易近币平分不取钞票。先从8张壹元的国平易近币中取，共9种取法，即0、1、23、4、5、6、7、8；而后从5张伍元的国平易近币中取，共6种取法，即0、l、2、3、4、5。由乘法道理，共有96=54种状况。但此中包括了一张都不取的状

10、况，另有一种反复的状况，即从8张壹元的国平易近币中取5张跟从5张伍元的国平易近币中取1张是一种状况。都需求减失落。解：4张壹元的国平易近币与2张贰元的国平易近币可构成的钞票数有8种，再与5张伍元的国平易近币组合，掏出的钞票数有8+15+1-2=96-2=52种差别的状况。例7:由数字1、2、3、4、5、6、7、8、9可构成几多个三位数？三位偶数？不反单数字的三位偶数？百位为9的不反单数字的三位数？百位为9的不反单数字的三位偶数？剖析：要构成三位数，需一位一位地断定各个数位上的数字，即分三步实现，如，构成三位数可先从百位上思索起，百位有9种选择办法，顺次十位跟个位也各有9种选择办法，依照乘法道理

11、可求。假定要排成偶数，那么要思索到尾数的排法只要4种，即只能排2、4、6、8。假定要排成无反单数字的数，那么须思索到断定一个数位的选法之后，下一个数位的选法会增加。解：构成三位数，百位、十位、个位各有9种选法，由乘法道理可知有：999=729种。构成三位偶数，个位有4种选法，百位、十位各有9种选法，那么有：499=324种。无反单数字三位偶数，个位有4种选法，十位有9l种选法，百位有91l种选法，那么共有：487=224种。百位为9的无反单数字的三位数，百位有1种选法，十位有8种选法，个位有7种选法，那么共有187=56种。百位为9的无反单数字的三位偶数，百位有一种选法，个位有4种选法，十位有

12、92种选法。那么共有l47=28种。A1从0、1、2、3、4这五个数字中任取3个，能够构成_个无反单数字的三位数。谜底：百位上能够有1、2、3、4四种选择，十位数能够选除百位外的别的四个数，也是四种选择，在个位上可取百位、十位外的别的三个数，有三种选择，因而共能够构成443=48个契合题意的三位数。2在mn的方格纸上，取两个相邻的小方格共有_种取法。谜底：假如这两个小方格是高低相邻的，它有一边长有n种能够，另一边长有m-1种能够，从而有n(m-1)(个)小长方形；相似的，假如这两个小方格是阁下相邻的，有(n-1)m(个)小长方形，从而共有(n-1)m+n(m-1)=2mn-(m+n)(个)契合

13、题意的取法。3书架上有差别的数学书20本，差别的语文书10本，现从书架上取书，试咨询：1掏出一本书，有_种差别的取法。2掏出数学书跟语文书各一本，有_种差别的取法。谜底：1掏出一本书，假定是数学书有20种取法，假定是语文书，有10种取法，统共有20+10=30种取法。2掏出数学书跟语文书各一本，能够分两步实现：先掏出数学书，有20种取法；再掏出语文书，又有10种取法。由乘法道理，统共有2010=200种取法。4将1、2、3、4这4个数字从小到年夜排成一行，在4个数中间恣意拔出乘号，能够失失落_个差别的乘积请求起码有一个乘号。谜底：显然，乘号只能放在1跟2、2跟3、3跟4之间。在1跟2之间，有放

14、与不放两种能够，在2跟3之间，有放与不放两种能够，异样在3跟4之间也有放与不放两种能够，因而统共有222=8种放法，但必需扫除此中三个地位均不放乘号的能够性，因而共有7种放法。5将一个长方形用对角线分红四份，如以下图，现用五种色彩染色，请求每小块染一种色彩，相邻的两小块有年夜众边的必需染差别的色彩。那么，统共有_种差别的染色办法。谜底：在A中填入色彩，有五种填法，在B中那么有四种填法，对C那么要分类思索。假如A与C色彩一亲，那么D有四种填法；假如A与C色彩纷歧样，C有三种填法，D有三种填法，因而最初共有填5414+33=2013=260种。B6用红、绿、黄、蓝四种色彩分不去涂图中的A、B、C、

15、D四个地区，请求相邻地区弗成同色，共有_种差别涂法。谜底：因为A、C、D互相离隔，而B与它们均相连，应选择先涂B，有四种涂法，而A、C、D均各有三种涂法，因而统共有4333=108种差别涂法。7从19这9个数字中每次掏出2个差别的天然数相加，跟年夜于10的选法共有几多种？谜底：要使跟年夜于10，加数不克不及取1。咱们能够采用罗列法。一个加数为2时，2+9=11，一个加数为3时，3+9=12，3+8=11一个加数为4时，4+9=13，4+8=12，4+7=11一个加数为5时，5+9=14，5+8=13，5+7=12，5+6=11一个加数为6时，6+9=16，6+8=14，6+7=13一个加数为7

16、时，7+9=16，7+8=15一个加数为8时，8+9=17因而契合前提的选法共有1+2+3+4+3+2+1=16种。8现有长度为1、2、3、4、5、6、7、8、9单元长度的铁丝各一条，从当选出假定干条来构成正方形，咨询有几多种差别的选法？谜底：这些铁丝总的长度为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，因而所构成的正方形最长边为11。1边长为11时，因为19+2=8+3=7+4=6+5因而可取长度为2、3、4、5、6、7、8、9的铁丝，按9，2，8，3，7，4，6，5分组，可得边长为11的正方形一个，显然，这只能有一种选择。2边长为10时，因为10=9+1=8+2=7+3=6+4取长度为1、2

17、、3、4、6、7、8、9可失失落1个边长为10的正方形。3边长为9时，因为9=8+1=7+2=6+3=5+4从而能够取以下四组数形成一正方形：9，8，1，7，2，6，3；9，8，1，7，2，5，4；98，1，5，4，6，3；9，8，1，7，2，6，3，5，4共有5种差别选择。4边长为8时，因为8=7+1=6+2=5+3可失失落一个正方形。5边长为7时，因为7=6+1=5+2=3+4然而失失落一个正方形。当边长小于7时，无奈构成正方形。从而满意题意的有1+1+5+1+1=9种差别选法。9由非负整数形成的整点m，n中，假如做加法m+n时不需求进位，咱们称m，n为“A点，m+n为m，n的跟。请咨询有

18、几多个如此的“A点，它们的跟是1949？谜底：咱们规则，假如一个数最高位是0是存在的，如0321它实践上确实是321。先思索m，因为假如m必定，那么n也就决议了。先思索m的千位数，它只能有两种选择，0、1；再思索它的百位数，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十种选择，异样，十位数上有0、1、2、3、4五种选择，个位上也有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十种选择。因而，统共契合题意的“A点有210510=1000种。10.如以下图，在1010个边长为1的小正方形拼成的棋盘中，求由假定干个小方块能拼成的一切正方形的数量。剖析：由小方块所拼成的正方形边长能够取1，2，10。如此有十类差别

19、的方法拼出正方形。上面再盘算出每类方法有几多种办法拼出正方形。边长为1的正方形显然有1010个；边长为2的正方形，横边有9种选择：AC，BD，CE，DF，IK。相似的，纵边也有9种选择，横边跟纵边都选定后正方形就断定了。因而通过两个独破步调就能够实现拼正方形的义务，由乘法道理可知拼出边长为2的小正方形有99个。边长为其余数时能够相似推出。谜底：由乘法道理可得：边长为1的小正方形有1010个；边长为2的小正方形有99个；边长为3的小正方形有88个；边长为9的小正方形有22个；边长为10的小正方形有11个。由加法道理，共有1010+99+22+11=100+81+64+49+36+25+16+9+

20、4+1=385个答：共有385个正方形。C11.用红、黄、蓝、绿四种色彩给一个五边形图2着色，请求：相邻双方的色彩差别。那么共有几多种差别的着色办法？剖析：为了便利咱们给五边形的各个极点编上字母。给五边形着色是一边一边地着色，因而实现那个义务要分步进展。第一步先涂AB边，有四种色彩可供选择，因而第一步有4种办法；第二步再涂BC边，有除AC边色彩以外的三种色彩可供选择，因而第二步有3种办法；第三步涂CD边，能够选择与BC边色彩差别的别的三种色彩，因而这一步也有3种办法，同理，DE边也有三种色彩可供选择；在涂AE边时，它岂但要与DE边差别，还要与AB边差别，因而要分DE边与AB边色彩一样跟相异两种

21、差别状况探讨。谜底：AB边有红、黄、蓝、绿4种差别的涂法；BC边有涂AB边外的3种差别的涂法；CD边有涂BC边外的3种差别的涂法；DE边有涂CD边外的3种差别的涂法。如今，假如DE边跟AB边外的两种差别涂法；假如DE边跟AB边色彩一样，那么AE边有有除AB、DE边外的两种差别涂法；假如DE边跟AB边色彩一样，AE边有3种差别的涂法；DE边跟AB边色彩纷歧样时，由乘法道理有43332=216种差别的涂法；DE边跟AB边色彩一样时，由乘法道理有43333=324种差别的涂法；最初由加法道理，共有216+324=540种。12.求由1、2、3、4、5五个数字构成的不反单数字的五位数的个数。假如将它们

22、从小到年夜陈列起来，那么21345位于第几多个数？剖析：要失失落由1、2、3、4、5构成的五位数，只要用五个步调。第一步从五个数字当选一个放在个位上，有5种选法；第二步从剩下的四个数当选一个放在十位上，有4种选法；顺次类推，最初一个数放在万位上。谜底：所求五位数的个数有54321=120个以1、2、3、4、5作万位数的应当一样多，有24个，而21345是以2为万位数的五位数中最小的一个，因而它应当是第25个数。13.求5040共有几多个约数？剖析：起首将5040剖析质因数因而5040的约数都能够表现成为此中a的取值为0，1，2，3，4；b的取值为0，1，2；c的取值为0，1；d的取值为0，1；

23、困此a，b，c，d的能够取值个数分不为5，3，2，2。谜底：由乘法道理，5040的约数的个数为4+12+11+11+1=60个答：5040共有60个约数。14.从2、3、4、5、6、10、11、12这8个数中，掏出两个数，作成一个最简真分数有几多种取法？剖析：要作成一个最简真分数，必需分两步来实现：一步取分母，一步取分子，同时要留意分子岂但要比分母小，并且要与分母互质。咱们能够恰当应用罗列法。谜底：假如分母取3，那么分子能够取2，有1种取法；假如分母取4，那么分子能够取3，有1种取法；假如分母取5，那么分子能够取2、3、4，有3种取法；假如分母取6，分子能够取5，有1种取法；假如分母取10，分

24、子能够取3，有1种取法；假如分母取11，分子能够取2、3、4、5、6、10，有6种取法；假如分母取12，分子能够取3、11，有2种取法。由加法道理，要作成一个最简真分数，共有1+1+3+1+1+6+2=15种差别的取法。答：作成一个最复杂的真分数有15种取法。15.有4张卡片，正背面都各有写有一个数字。第1张上写的是0跟1，其余3张正背面上分不写有2跟3，4跟5，7跟8。现恣意掏出此中3张卡片，放在一排，构成的三位数共有几多种能够？剖析：要失失落一个三位数，能够分红三个步调：第一步：断定百位数，能够从4张卡片中掏出一张，有4种取法，掏出后以此中的某个面作为正面，又有两种能够。但0不克不及作百位

25、数，因而百位数有42-1种选择；第二步，断定十位数，因为百位数断定后只剩3张卡片，可知有32种选择；第三步，断定个位数，十位数断定后，只剩两张卡片，有22种选择。谜底:依照上述剖析，构成三位数的能够性有42-13222=764=168种答：构成的三位数共有168种能够。16.从1到400的一切天然数中，不含数字5的天然数有几多个？剖析：能够用两种思绪来解：一种是罗列法，从一位数，两位数到三位数总结出各有几多个契合题意的数，再相加；另一种是从一切这些天然数平分个位、十位、百位上的数字来探讨，从而断定出总数。谜底：解法一：从1到400的一切天然数能够按位数分红三类，即一位数、两位数跟三位数。在一位

26、数中，不含数字5的有8个。在两位数中，不含数字5的可分十位跟个位两步来思索。十位上，不含数字5的有1、2、3、4、6、7、8、9八种状况。个位上不含数字5的有0、1、2、3、4、6、7、8、9九种状况。由乘法道理，共有89=72(个)不含数字5的两位数。在三位数中，不含数字5的可分百位、十位、个位三步来思索。百位上不含5的有1、2、3三种状况；十位上不含数字5的有0、1、2、3、4、6、7、8、9九种状况；个位上与十位下状况一样也有九种能够。由乘法道理，这时不含数字5的数有399=243个，同时400也是一个不含数字5的三位数，因而不含数字5的三位数共有244个。从而，由加法道理，在1到400

27、的天然数中，不含数字5的天然数共有8+72+244=324个解法二：假如咱们把一位数当作后面有两个0的三位数，把两位数当作后面有一个0的三位数，如把3当作003，把24当作024。如此撤除400，在百位数上有0、1、2、3这四种状况；在十位数上有0、1、2、3、4、6、7、8、9这九种状况；在个位上，有0、1、2、3、4、6、7、8、9这九种状况。由乘法道理，除400外，有499个不含数字5的天然数，但000也被盘算在内，400不被盘算到里面去，因而从1到400的天然数中，不含数字5的天然数共有324-1+1=324个。答：不含数字5的天然数有324个。17.有A、B、C、D、E五人排成一队，

28、A不许站排头，B不许站排尾，共有几多种差别排法？12345剖析：咱们从排头到排尾顺次编号为1、2、3、4、5。因为A不克不及站排头，因而咱们可思索A的站位，再由B不克不及站排尾，思索B的站位，而后再思索C、D、E的站位；同时，咱们也能够换个角度：从一切能够的站位状况，扣去A站排头或B站排尾的状况，从而失失落一切差别排法。谜底：解法一：先探讨A的站位：1A站在5号地位上，那么A只要一种站法，B有4个差别地位可站，C有3个差别地位可站，D有两个差别地位可站，E只要1个地位可站，由乘法道理，在这种站位方法下有14321=24种差别的排队办法。2A站在2、3、4号3个地位之一。如今A有3个地位可站，B

29、不克不及站在5号位，也只要3个地位可站，C有3个地位可站，D有2个地位可站，E有1个地位可站，由乘法道理，在这种站位方法下有33321=54种差别的排队办法。最初，由加法道理，共有24+54=78种差别的排队办法。解法二；五团体恣意排队，共有54321=120种差别的办法。A站排头有4321=24种差别的排法；B站排尾有4321=24种差别的排法；但这两种办法有反复，即A站排头且B站排尾；有321=6种差别的排法。因而，由容斥道理，A站排头且B不站排尾的排队办法总数是120-42=78种。答：契合请求的排队办法共有78种。1.书架上有6本差别的画报、10本差别科技书,请你每次从书架上任取一本画

30、报、一本科技书,共有种差别的取法.谜底：第一步,取一本画报,有6种办法;第二步,取一本科技书,有10种办法.依照乘法道理,一共有610=60(种)差别取法.2.七个一样的球,放入四个差别的盒子里,每个盒子至少放一个.差别的放法有种.谜底：放第一个球,有4种办法;放第二个球,也有4种办法,放第七个球,另有4种办法.由乘法道理知,一共有4444444=47=16384(种)放法.另解:先保障每个盒子里都有一个球，而后在思索残余的三个球的放法。假如三个球都放在一个盒子里，有4种放法；假如两个球放一个盒子，另有一个放另一个盒子，那么有4*3=12种放法；假如三个球放到三个盒子里，那么有4种，因而统共有

31、：4+12+4=20种放法。3.用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字,能够构成个不反单数字的三位数.谜底：第一步,排百位数字,有9种办法(0不克不及作首位);第二步,排十位数字,有9种办法;第三步,排个位数字,有8种办法.依照乘法道理,一共有998=648(个)不反单数字的三位数.4.边长为整数的长方形，面积为693平方厘米,其周长最多可有种差别的数值.谜底：将693剖析质因数得693=71132,它有(1+1)(1+1)(2+1)=12个约数,故它能够构成6组差别的长跟宽,即周长最多有6种差别数值.5.两个点能够连成一条线段,3个点能够连成三条线段,4个点能够连成六条线段,5个点

32、能够连成几多条线段?6个点能够连成条线段.谜底：每一条线段有两个端点,从五个点当选一个点作为端点有5种办法,而选第二个点有4种办法,共有54=20(种)办法.然而因先选A再选B与先选B再选A是统一条线段,故实践上是(54)2=10(条)线段.同理,六个点能够连成(65)2=15(条)线段.1书店里有12种差别的外语书，8种差别的数学书，从中任选外语书跟数学书各一本，有几多种差别的选法？谜底：先取外语书有12种选法，再取一本数学书，那么有8种选法。用乘法道理得，128=96种答：统共有96种差别的选法。2或人出差要从甲地路过丙地、丁地到乙地，如今明白从甲地到丙地有3条路能够走，从丙地到丁地有5条

33、路能够走，从丁地到乙地有4条路能够走。咨询，此人共有几多种从甲地到乙地的办法。谜底：或人的出差道路：甲地丙地丁地乙地，甲地丙地3条道路，丙地丁地5条道路，丁地乙地4条道路，由乘法道理：35460种答：此人从甲地到乙地共有60种走法。3由数字0、l、2、3、4、5、6、7共可构成几多个不反单数字的四位奇数？谜底：构成四位数，那么需一位一位地断定各个数位上的数字，分四步实现。因为请求构成的数是奇数，故个位上只能取1，3，5，7中的一个，故有4种取法；千位上不克不及放“0，那么起首思索，有8-2种取法；百位上有82种取法；十位上有5种取法。由乘法道理：4665=720种答：共可构成720种不反单数字的四位奇数。4如图