(江苏专用)高考数学一轮复习第七章不等式7.4基本不等式及其应用理-人教版高三全册数学试题

1、2word【步步高】（某某专用） 2017 版高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4基本不等式及其应用 理1基本不等式 aba b(1) 基本不等式成立的条件： a0， b0 .(2) 等号成立的条件：当且仅当 a b 时取等号2几个重要的不等式(1) a2b2 2ab( a， b R)(2) ab2( a， b 同号 )(3) ab a b 2 ( a， b R)2 2b a(4) a b a b 2 ( a， b R)以上不等式等号成立的条件均为 a b.3算术平均数与几何平均数设 a0， b0，则 a， b 的算术平均数为 2 ，几何平均数为 ab，基本不等式可叙述为两个a b正数的几

2、何平均数不大于它们的算术平均数4利用基本不等式求最值问题 已知 x0， y0，则(1) 如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x y 时， xy 有最小值(2) 如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时， xy 有最大值【思考辨析】2 p.( 简记：积定和最小 )4.( 简记：和定积最大 )判断下面结论是否正确 (请在括号中打“ ”或“”)(1) 函数 y x1x的最小值是 2.( )(2) 函数 f ( x) cos x co x， x(0， ) 的最小值等于 4.( )1 / 172 2即 xy 2xy2 2x y 22xy14 41 1112x yword(3) “ x0 且

3、y0”是“ 2”的充要条件 ( )(4) 若 a0，则 a3 a2的最小值为 2 a.( )(5) 不等式 a2 b22ab 与ab ab有相同的成立条件 ( )1设 x0， y0，且 xy 18，则 xy 的最大值为 _ 答案 81解析 x0， y0， x y xy，( ) 2 81，当且仅当 x y9 时， ( xy) max81.2若实数 x， y 满足 xy0，且 log 2xlog 2y 1，则 的最小值为_答案 4解析 由 log 2xlog 2y 1 得 xy 2，又 xy0，所以 x y0 x y xy xy2 x y x y 4， 当且仅当 x y 2， 即 x 1 3， y

4、 3 1 时取等号，2 2所以 xy 的最小值为 4.3若函数 f ( x) x x 2( x2) 在 x a 处取最小值，则 a_.答案 3解析 当 x2 时， x 20， f ( x) ( x 2) x 222 x 2 x 2 2 4，当且仅当 x 2 x 2( x2) ，即 x 3 时取等号，即当 f ( x)取得最小值时， x 3，即 a3.4若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 _m .答案 25解析 设矩形的一边为 x m，则另一边为 (20 2x) (10 x)m，y x(10 x) x 0 x 2 25，当且仅当 x 10 x，即 x 5 时，

5、ymax25. 2 / HYPERLINK l _bookmark1 17x 3 x 1x 1 231 11 x 21x2 21当且仅当 5 4x11 116xword5已知 x， yR ，且 x 4y 1，则 xy 的最大值为 _1答案解析 1 x 4y2 4xy 4 xy，xy(4) 2 16，当且仅当 x 4y ，即 1 时， ( xy) max 116 .y 8题型一 利用基本不等式求最值命题点 1 配凑法求最值例 1 (1) 已知 x1) 的最小值为 _(3) 函数 y 的最大值为 _1答案 (1)1 (2)2 3 2 (3) 5解析 (1) 因为 x0，则 f ( x) 4x 24

6、x 5 (5 4x 54x) 3 2 3 1.5 4x，即 x 1 时，等号成立故 f ( x) 4x 24x 5的最大值为 1.(2) yx2x 2 x 1 x 1( x 1) x 12233 2.3 / 17x 11 | a|3x 12y 1t t1 31 35y 13y9 4 3x 12y 13 12 t 4t 141t 4t 1 51 1word当且仅当 (x 1)3 ，即 x 3 1 时，等号成立(3) 令 t x 10，则 x t 2 1，所以 yt 2 1 3t t 2 t 4 .当 t 0，即 x 1 时， y 0；当 t 0，即 x1 时， y ，因为 t t 2 44( 当

7、且仅当 t 2 时取等号 )，所以 y ，即 y 的最大值为 ( 当 t 2，即 x5 时 y 取得最大值 )思维升华 (1) 应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等” 所谓“一正”是指正数， “二定”是指应用基本不等式求最值时， 和或积为定值， “三相等”是指满足等号成立的条件(2) 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式命题点 2 常数代换或消元法求最值例 2 (1) 若正数 x， y 满足 x 3y 5xy，则 3x 4y 的最小值是 _(2)( 高考改编题 ) 设 a b2， b0，则 2| a| b

8、 取最小值时， a 的值为 _ 答案 (1)5 (2) 2解析 (1) 方法一 由 x 3y 5xy 可得 5y 5x 1，3 x4y (3 x 4y)( 5y 5x)5 5 5y 5x 5 5 5.( 当且仅当 5y 5x ，即 x 1， y 2时，等号成立 )，3 x4y 的最小值是 5.方法二 由 x 3y 5xy 得 x ，4 / 179y1 9 4b | a| awordx0， y0， y，133 x4y 5y 14y 113 9 55 5 y1 514( y )5y 5 5 5 4y5y 14y135 2当且仅当1365，25y 2时等号成立， (3b | a|1 | a| 2(2

9、) a b2，2| a| b 4| a|4| a| ba b | a|a b | a|4| a| 4| a| b当且仅当 4| a| b 又 ab 2， b0，a| a| b4| a| 2时等号成立x 4y) min 5.4| a| b 4| a| 1，当 b 2a， a 2 时， 2| a| b 取得最小值1 | a|思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系， 然后代入代数式转化为函数的最值求解； 二是将条件灵活变形， 利用常数“ 1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值(1) 已知 x，y(0，)，2x 3 ( )y，若

10、1x m0) 的最小值为 3，则 m_.(2)(201 5 某某模拟 ) 已知 x0， y0， x 3yxy 9，则 x 3y 的最小值为 _ 答案 (1)4 (2)6解析 (1) 由 2x 3 ( )y 得 xy 3，x y3( xy)( x y)1 m 1 1 m (1 m 5 / 171y 2 12 126 1y 3y3124 12 29 3y9 3y 3y 91y 1 y31word(1 m2 m)，( 当且仅当 ) (1 m2 m) 3，解得 m4.(2) 由已知得 x 1y .方法一 (消元法 )x0， y0， y0， y0，1 1 x 3y9 ( x 3y) xy 3x (3 y

11、) 3 ( 2 ) 2，当且仅当 x 3y 时等号成立设 x 3y t 0，则 t 2 12t 1080，(t 6)( t 18) 0，又 t 0， t 6.故当 x3， y 1 时， ( x3y) min 6.题型二 基本不等式与学科知识的综合命题点 1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题例 3 (1) 已知直线 axbyc 1 0( b， c0) 经过圆x2y2 2y 5 0 的圆心，则 b c的最小值是 _(2) 已知 a 0，b0，a，b 的等比中项是 1，且 m b1a，n a 1b，则 mn 的最小值是 _ 答案 (1)9 (2)4解析 (1) 圆 x y 2y 5 0 化成

12、标准方程，6 / 17113 1 9b a9b a3 1 m3 1 m4 1 4 1 4c b2 1 4 14c b4c b 4c bword得 x2( y 1) 2 6，所以圆心为 C(0,1) 因为直线 axby c 1 0 经过圆心 C，所以 a0 b1 c 1 0，即 b c 1.因此 b c ( bc)( b c) b c 5.因为 b， c0，所以 b c2 b c 4.当且仅当 b c时等号成立由此可得 b 2c，且 b c 1，即 b3， c 3时， bc取得最小值 9.(2) 由题意知： ab1， mba 2b， mn2( a b) 4 ab 4，当且仅当 命题点 2 求参数

13、的值或取值 X 围na b2a，a b 1 时，等号成立例 4 (2015 滨州模拟 ) 已知 a0，_答案 12解析 由a ba 3b得 m(a3b)( a b) a b 6.又 a b62 9 6 12，b0，若不等式 a ba3b恒成立，则 m 的最大值为m12， m的最大值为 12.思维升华 (1) 应用基本不等式判断不等式是否成立：基本不等式求解对所给不等式 (或式子 )变形， 然后利用(2) 条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解(3) 求参数的值或 X 围： 观察题目特点， 利用基本不等式确定相关成立条件， 从而得参数的值或 X 围(1) 已知各项均为正数

14、的等比数列aman4a1，则 1m4n的最小值为 _ an满足 a7a6 2a5，若存在两项 am， an 使得7 / 171 4 3x2 ax 822130word(2) 已知函数 f ( x) (aR) ，若对于任意 xN*， f ( x) 3 恒成立，则 a 的取值 X 围是 _ 答案解析所以解得因为所以(1) (2) ，)(1) 由各项均为正数的等比数列q2 q2 0，q2 或 q 1( 舍去 )aman4a1 ，所以 qmn 2 16， 2m n224，所以 mn 6.611所以m (5 4n ( mn)( 1m4n)m n )n 4m61 (5 2m n ) 2 .n 4m 3当且

15、仅当 m n 时，等号成立，n 4m故mn的最小值等于 2 .(2) 对任意 xN*， f ( x) 3 恒成立，即设 g( x) x ， x N* ，则 g(2) 6，17 an 满足 a7 a6 2a5，可得 a1q6 a1q5 2a1q4，x 1 113 恒成立，即知 a ( xx) 3.g(3) 137 .8 8g(2) g(3) ， g( x) min 3 . ( x x) 3 3，a ，故 a 的取值 X 围是 ， )题型三 不等式的实际应用例 5 运货卡车以每小时 x千米的速度匀速行驶 130 千米， 按交通法规限制 50 x100( 单位：千米/ 时) 假设汽油的价格是每升 2

16、 元，而汽车每小时耗油 (2 30)升，司机的工资是每小时 14 元(1) 求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2) 当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解 (1) 设所用时间为 t x (h) ，8 / 1710 00013018 213011813018 213010 000 x10 00010 00013018 21303 x 31wordy 102(2 ) 14 x50,100 所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y x 360 x， x50,100 ( 或 y 2 0 13x， x50,100) (2) y x 360 x26 10，当且仅当

17、 x 360 x，即 x 18 10，等号成立故当 x 18 10千米/ 时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26思维升华 (1) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数(2) 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值(3) 在求函数的最值时，一定要在定义域 (使实际问题有意义的自变量的取值10元X 围) 内求解某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元， 每生产 x 千件， 需另投入成本为 C(x )，当年产量不足 80 千件时， C( x) 3x2 10 x(万元 ) 当年产量不小于 80 千件时， C( x) 51x x 1 450( 万元 )

18、每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1) 写出年利润 L( x)( 万元) 关于年产量 x(千件 ) 的函数解析式；(2) 当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1) 当 0 x80 时，L( x) 1 000 x0.05 (x2 10 x) 2502 40 x 250.当 x80 时，L( x) 1 000 x0.05 (51x 1 450) 2501 200 ( x x ) x 1 2 40 x250 0 x80 ， L( x)1 200 x x x80 .9 / 173y 2x23 3 31 236word(2) 当 0 x0

19、， y0，且 x y 1，则 xy 的最小值是 _(2) 函数 y 1 2x x( x0) 的最小值为 _易错分析 (1) 多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件如：2 2， xy2 xy 4 2，得 ( xy) min 4 2.(2) 没有注意到 x0， y0 ， xy ( xy)( 1x2y)3x y 3 2 2( 当且仅当 y 2x 时取等号 )， 当 x 2 1， y 2 2时， ( xy)min 32 2.1 21x y2xy， xy(2) x0， b0) 等，同时还要注意不等式成3对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数 失误与防 Xyx m0) 的单调性1使用基本不等式

20、求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可2连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致A 组 专项基础训练( 时间： 30 分钟 )1下列不等式一定成立的是lg( x2 4)lg x( x0)；_sin x sin x2( xk ， kZ)；x2 12| x|( x R)；x2 11(x R)答案 解析 当 x0 时， x242 x 2 x，所以 lg( x2 ) lg x( x0)，故不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”，而当 xk ， kZ 时， sin x 的正负不定，故不正确；11 / 171 b 4a 1 53 32 4b 4a 914 3 3a 4

21、ba b4 30，0.1 4 921 4 1 1 4abword由基本不等式可知，正确；当 x 0 时，有 x2 1 1，故不正确2设非零实数 a， b，则“ a2 b22 ab”是“ ba2 成立”的 _条件 答案 必要不充分a b解析 因为 a， b R时，都有 a2 b22ab ( ab) 20，即 a2b2 2ab，而 ba2 ? ab0，所以“ a b 2 ab”是“ ba2 成立”的必要不充分条件1 42 2 a b3已知 a0， b0， a b2，则 ya b的最小值是 _9答案解析 依题意，得 a b2( a b) (a b)2 ( a b ) 2(5 2当且仅当ab 2， b

22、 4a a b，a0， b0，a b ) 2，即 a ， b 时取等号，即ab的最小值是 2 .4 若 log 4(3 a 4b) log 2 ab，则 ab 的最小值是 _ 答案 7 4 3ab0，解析 由题意得 ab0， 所以3a4b0，又 log 4(3 a4b) log 2 ab，所以 log 4(3 a 4b) log 4ab，所以 3a 4b ab，故 a b 1.所以 ab ( ab)( a b) 7 b a12 / 17z x2 3xy 4y2 x 4yx1?x xx 1 1x x xx1word7 2 b a 7 4 3，3a 4b当且仅当 b a 时取等号3a 4b5已知正

23、数 x， y 满足 x 2y xy 0，则 x 2y 的最小值为 _ 答案 8解析 由 x 2y xy 0，得 2x 1y 1，且 x0， y0.x 2y ( x 2y) (2x1y) 44 4 8.6规定记号“ ?”表示一种运算，即 a?b abab( a、 b 为正实数 ) 若 1?k 3，则 k 的值为_，此时函数 f ( x) k?x的最小值为 _答案 1 3解析 1? k k 1 k3，即 k k 2 0， k 1 或 k 2( 舍去 )k 1.f ( x) 1 x 1 2 3，当且仅当 x ，即 x 1 时等号成立7已知 x0， y0，且 4xy x 2y 4，则 xy 的最小值为

24、 _ 答案 2解析 x0， y0， x 2y2 2xy，4 xy ( x 2y) 4xy 2 2xy，44 xy 2 2xy，即( 2xy 2)( 2xy1) 0， 2xy2， xy2.8设正实数 x， y， z 满足 x2 3xy 4y2z 0. 则当 取得最小值时， _答案 2解析 由题意知： z x23xy 4y2，则xy xy y x 31，当且仅当 x 2y 时取等号，此时x 2y z 的最大值为z xy 2y2 .13 / 172解得2 21 1word所以 x2y z2y 2y 2y2 2y24y 2(y 1) 2 22.9若当 x 3 时，不等式 axx 3恒成立，则 a 的取

25、值 X 围是_答案 ( ， 2 2 3解析 设 f ( x) x x 3 ( x3) x 3 3，因为 x 3，所以 x 30，故 f ( x) 2当且仅当 xx 3 x 3 32 2 3，2 3 时等号成立，所以 a的取值 X 围是 ( ， 2 2 310若关于 x 的方程 9x(4 a)3 x 4 0 有解，则实数 a 的取值 X 围是 _答案 ( ， 8解析 分离变量得 (4 a) 3x x4，得 a 8.11已知 x0， y0，且 2x 5y 20.(1) 求 u lg xlg y 的最大值；(2) 求x y的最小值解 (1) x0， y0，由基本不等式，得 2x 5y2 10 xy

26、.2 x5y 20，2 10 xy20， xy 10，当且仅当 2x 5y 时，等号成立因此有2x 5y 20， x 5，2x 5y， y 2，此时 xy 有最大值 10. u lg xlg y lg( xy) lg 10 1.当 x5， y 2 时， ulg(2) x0， y0，2012x 5y20 7 21 1xy1 1x y20 7 x y1 5y 2xxlg y 有最大值 1.5y 2xx y14 / 175y 2x10 10 2020 4 102 12 1 3a 2b 2 11 2b a 102b a 16 2b a1 11 1 2 1 161 11 1word7 220当且仅当10，x y 时，等号成立2x 5y 20，由 5y 2x 解得x y，x 3 ，y 3 .1 1xy的最小值为7 2 10.20B 组 专项能力提升( 时间：12一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为b、 c(0,1) ，已知他投篮一次得分的均值为答案解析163由已知得， 3a 2b0 c2，即 3a2b 2，其中 3， 0b1.20abc0，则 2a2aba a b 10ac 25c2 的最小值是 _ 答案 4解析 2a2 aba a b 10ac 25c2( a5c) 2 a2 ababa1b a a b( a5c) 2 ababa( a b) a a