(新高考)江苏省南通市高三数学上学期期中备考试题Ⅱ-人教版高三全册数学试题

1、zB C D，故选 CAword（新高考）某某省某某市 2021 届高三数学上学期期中备考试题注意事项：1 答题前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的1已知集合A ( ,3【答案】 AA x | x2 x 6 0， B x | x 1 0 ，则 A B （ ）B ( ,2) C ( ,1) D 2,1)【解析】 A x |2已知复数 z 13 i2【答案】 C【解析】由题意，得2 x 3， B x | x 1 ，所以 A B x | x 3i， z 为 z 的共轭复数，则 1 z （ ）1 i 1 3i 1 3i2 2 21 z 2 i (2 i)(1 i) 1 3iz 1 i (1 i)(1 i) 23已知向量 a (0,2)， b (2 3, x) ，且 a 与 b 的夹角为A 2 B 2 C 1，则 x （ ）3D 1- 1 -

3、 / 17x3nmm mn nxword【答案】 B【解析】由题意，得所以 x 0 ，且 2x 4设 x R ，则“A充分不必要条件C充要条件【答案】 Acos a , b cosx2 12 ，解得 x2 4 ”是“ lg(| x |2x2 x2 122，故选 B1，21) 0 ”的（）B必要不充分条件D既不充分也不必要条件【解析】由 2 4 ，得 x 2，由 lg(| x | 1) 0 ，得 | x | 1 1 ，解得 x 2 或 x 2，因为“ x 2 ”是“ x 2 ”或“ x 2 ”的充分不必要条件，所以“ 2x5若双曲线1A4【答案】 D4 ”是“ lg(| x | 1)mx2ny2

4、 1(m1 B4【解析】因为 mx2 ny2 1(m0 ”的充分不必要条件0) 的离心率为 5 ，则 （ ）C 4 D 40) 可化为x2 y21 1m n1(m 0)，所以双曲线的离心率 e 11n1m5 ，所以 1 5 ，即 4 ，故选 D6 X 衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五 已知三棱锥 A BCD 的每个顶点都在球 O 的球面上， AB 底面 BCD， BC CD，且 ABA 30【答案】CDB3， BC 2 ，利用 X 衡的结论可得球 O 的表面积为（ ）B 10 10 C 33 D 12 10- 2 - / 17exex aa21

5、)2 516 8Sn 和Tn ，且T nT 2n 1 b6ex 1 2即 f ( x) xa7 6b6 7ee a 1 aword【解析】因为 BC CD ，所以 BD 7，又 AB 底面 BCD ，所以球 O 的球心为侧棱 AD 的中点，从而球 O的直径为 10，利用 X 衡的结论可得所以球 O的表面积为ex 7已知 f (x)A ( 2,6)【答案】 C【解析】因为 f ( x)，则 10 ，4 ( 10 2 10 10 10 ，故选 B是定义在 R 上的奇函数，则不等式 f (x 3) f (9 x2 ) 的解集为（）B ( 6,2) C ( 4,3) D ( 3,4)ex 1 是定义在

6、 R 上的奇函数，所以 f (1) f ( 1) 0，1即 e 1 1 0，解得 a 1，ee 1 1 ex 1，故 f ( x) 在 R 上为增函数，又 f (x 3) f (9 x2 ) ，所以 x 3 9 x2 ，解得 4 x 3，故选 C8已知等差数列 an， bn 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ，且 Sn n 5 ，则 a7 （ ）nA612BC1816 D7112521【答案】 A【解析】因为等差数列 an， bn 的前 n 项和分别为 Snn 52n 1，所以可设 Sn kn( n 5)， Tn kn(2n 1)，所以 a7 S7 S6 18k， b6 T6 T5 21k

7、 ，所以 ，故选 A- 3 - / 17word二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分9 为了了解运动健身减肥的效果， 某健身房调查了 20 名肥胖者， 健身之前他们的体重 （ kg ）情况如图（ 1），经过四个月的健身后，他们的体重（ kg ）情况如图（ 2）对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（）A他们健身后，体重在 90,100) 内的肥胖者增加了 2 名B他们健身后，体重在 100,110) 内的人数没有改变C因为体重在 100,110) 内的

8、人数所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响D他们健身后，原来体重在 110,120) 内的肥胖者体重都有减少【答案】 ABD【解析】体重在区间 90,100) 内的肥胖者由健身前的 6名增加到健身后的 8名，增加了 2名，A 正确；他们健身后，体重在区间 100,110) 内的人数的百分比没有变，所以人数没有变， B 正确；他们健身后，已经出现了体重在 80,90) 内的人，健身之前是没有这部分的， C 错误；因为题图（ 2）中没有体重在区间 110,120) 内的部分，所以原来体重在区间 110,120) 内的肥胖者体重都有减少， D 正确，故选 ABD10将函数 f (x)

9、sin 3x 3 cos3x 1的图像向左平移个单位长度，得到函数 6 g( x) 的图- 4 - / 178lg 23word像， 对称； 9给出下列关于函数 g( x) 的结论： 它的图像关于直线 x 5 它的最小正周期为；它的图像关于点 ( ,1)对称；它在 , 上单调递增其中正确的结论的编2 11 5 19 3 18 3 9号是（）A B C D【答案】 BC【解析】因为 f (x) sin3x 3cos3x 1 2sin(3x ) 1，所以 g ( x)6 32sin3(x ) 1 2sin(3x) 16Z )，6令 3x 2 3 9k (k Z )，得 x k (k5 不是 g(x

10、) 图像的对称轴，错误；9所以直线 x最小正周期T ，正确；3 18 182 2 3k(k Z) ，得 x k (k Z) ，取 k 2 ，得 x 11 ，6令 3x 2故函数 g( x)令 2k 取 k 2，得故选 BC11若 10a18的图像关于点 (11,1)对称，正确；9 3 92 x 2k ， k6 2 33x 2k ， k Z ，得 2k x ；取 k 3，得10 13 16 9 9 9x ，所以错误，19 9104， b 25，则（）A a b 2 B b a 1 C ab 2 D bZ，a lg 6- 5 - / 17word【答案】 ACD【解析】由 10a则 a b lg1

11、00ab 4lg 2 lg54， b 25 ，得 a lg 4， b lg 25，102， b a4lg 2 lg 42542lg lg 6，8lg 2，故选 ACD12已知四棱台 ABCDAA1 BB1 CC1 DD 1A1 B1C1D1 的上、下底面均为正方形，其中2 ，则下列叙述正确的是（）AB 2 2， A1B1 2，A该四棱台的高为 3C该四棱台的表面积为 26【答案】 AD【解析】 将四棱台补为如图所示的四棱锥连接 AC ， BD， A1C 1， B1D1， A1O，B AA1 CC1D该四棱台外接球的表面积为 16 P ABCD ， 并取 E， E1 分别为 BC， B1C1 的

12、中点，OE， OP， PE，记四棱台上、下底面中心分别为 O1， O，由条件知 A1， B1， C1， D1 分别为四棱锥的侧棱 PA， PB， PC，1 1则 PA 2 AA1 4， OA 2 ，所以 OO1 PO2 2PA OA2 2故该四棱台的高为由 PA PC 4，确；四棱台的斜高 h3 ，故 A 正确；AC 4 ，得 PAC 为正三角形，则 AA1 与 CC11 1PE2 22 2 1 2 22PO OE (2 3) ( 2)- 6 - / 17PD 的中点，3，所成角为 60 ，故 B 不正14，2( 1)x 2x , x 01 13a 5b5 1 1 5 1 1 5b a 26a

13、 5b 2 a 5b 2 a 5b 518word所以该四棱台的表面积为 (2 2) 2 ( 2) 2 42 2 22易知 OA1 OB1 OC1 OD1 0，2 2A1 O1O 2 OA所以 O 为四棱台外接球的球心，1410 6 7 ，故 C不正确；2OB OC OD，所以外接球的半径为 2 ，外接球表面积为 4 22 16 ，故 D 正确三、填空题：本大题共13已知函数 f (x)【答案】 5第卷4 小题，每小题 5 分3 ，则 f ( f (8) 4 log 2 x , x 0【解析】因为 f (8) 4 log 2 814某工厂质检部要对即将出厂的4 3 1，所以 f ( f (8)

14、 f ( 1) ( ) 2 51000个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为0.95， 且每个零件质检是否合格是相互独立的 设质检合格的零件数为 X ， 则随机变量 X 的方差 D (X ) 【答案】 47.5【解析】由题意可知， X B(1000,0.95)， D (X ) 1000 0.95 (1 0.95) 47.515已知 a 0， b 0，且 a b 2 ，则 5 1 的最小值是【答案】5【解析】因为 a b 2 ，所以 ( a b)( ) ( )- 7 - / 17所以a 5b 3 31 26 18，所以2 5 5AM AB 3 ANDD 1word因为 a 0，5 1a 3

15、b16 在正方体b 0 5b a 2 （当且仅当 a 5， b 1 时，等号成立） ，(2 ) ABCD A1B1C1 D1 中， E 为棱 CD 上一点， 且 CE 2DE， F 为棱 AA1 的中点，DG平面 BEF 与 DD 1 交于点 G ，与 AC1 交于点 H ，则AH，HC 1【答案】1 3，6 8【解析】如图， G 为平面 BEF 与 DD 1 的交点，连接易证 BF平面 CDD 1C1 ，则 BF GE ，则 AFBGE， EF DGE ，AF 则ABDG DG ，即DE DE1，2又 CEDG2DE ，所以1DD 16连接 AC1 ，连接 AC 交 BE 于点 M ，过点

16、M 作 MN CC 1， MN 与 AC1 交于点 N ，连接 FM ，则 H 为 FM 与 AC1 的交点，因为 ABCE ，所以 ，所以 MC CE 2 NC HYPERLINK l _bookmark1 1AMMC3，2MN 所以CC13，所以 5MNFA6 HN AH ，故5 AH HC 138- 8 - / 17a 3 sin A，21b cos B 13) ， 2，3sin A 3sin Asin B cosB 1word四、解答题：本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）在 cos2B 3sin B 2 0 ， 2b cosC 2

17、a c ， 这三个条件中任选一个，补充在下面横线处，并加以解答已知 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c ，若，且 a， b， c成等差数列， 则 ABC 是否为等边三角形？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由【答案】见解析【解析】选 cos2B 1 2sin 2 B ， 2sin 2 B 3 sin B 3 0，即 (2sin B 3)(sin B 0 ，解得 sin B 3 （舍去）或 sin B 3 0 B ， B 或 B 2 3 3又 a， b， c成等差数列， 2b a c ， b 不是三角形中最大的边， B b2 a2 c2 2ac cos B ， a2

18、 c2 2ac 0 ，即 a c，故 ABC 是等边三角形选由正弦定理，得 2sin BcosC 2sin A sinC，即 2sin B cosC 0 C ， 0 B ，2sin( B C)sinC 0，B 3sin C ，整理，得 2cos BsinC sinC 0，cos B ， a， b， c成等差数列， 2b a c ，故 ABC 是等边三角形选由正弦定理，得 - 9 - / 176n，word) sin A 0 ， 3 sin B cos B 1 ，即 sin(B 0 B ， B ， B ，得 5 6 6 6 6 6由余弦定理 b2 a2 c2 2ac cos B ，得 a2 c2

19、 2ac 故 ABC 是等边三角形1，2B 30，即 a c，18（12 分）设等差数列 an bn 的公差为 2 ，等比数列 an bn 的公比为 2 ，且 a1 2，b1 1（ 1）求数列 an 的通项公式；2（2）求数列 2an【答案】 （1） an【解析】 （1） a1 依题意，得 an bn故 an 2n 1 3（2）由（ 1）可知故2n 的前 n 项和 Snnn22n 1 32， b11 2(nn 122a 21，2nn1； （2） Sn1， a1 b1 1， 1) 2n 1， an2n 1 5 2Sn(1 32n 1) 5 (1 21n2 )19（12 分）如图（ 1），平面四边

20、形 ABCD 中，5 2 n2 5a1 b1 3bn 3 2n 1n(1 2n 1)25 (2n 1) 5 2n n2 5AB AC 2， AB AC ， AC CD ，E为 BC 的中点将 ACD 沿对角线 AC 折起，使 CD BC ，连接 BD ，得到如图（ 2）的三棱锥 D ABC- 10 - / 17word（ 1）证明：平面 ADE 平面 BCD ；（2）已知直线 DE 与平面 ABC 所成的角为 ，求二面角 46【答案】 （1）证明见解析； （2） 6【解析】 （1）在三棱锥 D ABC 中，因为 CD BC， CD AC， AC BC C ，所以 CDA BD C 的余弦值平面

21、 ABC ，又 AE 平面 ABC ，所以 AE CD ，因为 AB AC ， E 为 BC 的中点，所以 AE BC ，又 BC CD C ，所以 AE 平面 BCD ，又 AE 平面 ADE ，所以平面 ADE 平面 BCD （2）由（ 1）可知 DEC 为直线 DE 与平面 ABC 所成的角，所以 DEC ，所以 CD CE 14过点 E作 EF CD 交 BD于点 F ，由（ 1）知 EA， EB， EF 两两垂直，以 E 为原点， EA， EB， EF 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，如图（ 1），则 E(0,0,0) ， A(1,0,0)， B(0,

22、1,0)， D (0, 1,1)，- 11 - / 17n HYPERLINK l _bookmark3 26word则 AB ( 1,1,0)， AD ( 1, 1,1)，易知平面设平面 ABD 的法向量为 n2 (x , y , z) ，则 n HYPERLINK l _bookmark2 2令 x 1 ，得 n2 (1,1,2)，由图可知，该二面角为锐角，所以 cos n1 , n2所以二面角 A BD C 的余弦值为66BCD 的一个法向量为 n1 (1,0,0) ；ABx y 0，ADx y z 0n1 n2 6n1 n2 ，20（12 分）网络购物已经成为人们的一种生活方式某购物平

23、台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家作出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有 50 天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计 1分，中评计 0 分，差评计在试营业期间随机抽取 100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，图（ 1）和图（ 2）：1分某商家分别制成了（ 1）通常收件时间不超过 4天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓请根据题目所给信息完成下面 2 2 列联表，并判断能否有 99% 的把握认为“获得好评”与物流速度有关；（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的

24、评价得分为 X 该商家将试营业 50 天期间的成交情况制成了频数分布表，如下表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成- 12 - / 172(a b)(c d )(a c)(b d )26.635，word交单数的概率求 X 的分布列和数学期望；平台规定，当积分超过 10000 分时，商家会获得“诚信商家”称号请估计该商家从正式营业开始，附： K1年内（ 365 天）能否获得“诚信商家”称号？n(ad bc) 2 ，其中 n a b c d 【答案】 （1）列联表见解析，有 99% 的把握认为； （2）分布列见解析， 0.7 ；不能获得【解析】 （1）由题意可得K(50 15 30 5)

25、2 100 10080 20 55 45 11所以有 99% 的把握认为“获得好评”与物流速度有关（2）由题意可知， X 的所有可能取值为 1， 0， 1，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为 0.8， 0.1， 0.1，所以 X 的分布列为所以数学期望 E(X ) 1 0.8 0方法一：设商家每天的成交量为0.1 ( 1) 0.1 0.7Y ，则 Y 的可能取值为 27， 30， 36，- 13 - / 17x4 3 2x 2 x 2 x2 4x y24 323word所以 Y 的分布列为所以 E(Y) 27 0.4 30 0.4 36 0.2 30所以商家每天能获得的平均积分为

26、30 0.7 21，商家一年能获得的积分为 21 365 7665 10000，所以该商家在 1年内不能获得“诚信商家”称号36 10方法二：商家每天的平均成交量为所以商家每天能获得的平均积分为 30 0.7商家一年能获得的积分为 21 365 766530 20 27 2030，5021，10000所以该商家在 1年内不能获得“诚信商家”称号21（12 分）已知 O为坐标原点， A( 2,0)， B(2,0) ，直线 AG， BG 相交于点 G ，且它们的斜率之积为 记点 G 的轨迹为曲线 C4（ 1）若射线 x 2(y 0) 与曲线 C 交于点 D ，且 E 为曲线 C 的最高点，证明：

27、ODAE；（2）直线 l :y kx( k 0) 与曲线 C 交于 M ， N 两点，直线 AM ， AN 与 y 轴分别交于 P，Q 两点 试问在 x 轴上是否存在定点 T ， 使得以 PQ 为直径的圆恒过点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】 （1）证明见解析； （2）存在， T ( 3,0) 【解析】 （1）证明：设 G( x , y) ，则 kAG kBG y y y22整理，得 1(y 0)，将 x 2( y 0) 代入 y2 1，得点 D 的坐标为 ( 2, 6) ，T ？若存在， 求出点 T3，4- 14 - / 172 2 2x1 2 ，word6又由题意易得 E(0, 3)

28、， kOD 2 3， kAE 3 ， kOD kAE ， ODAE（2）方法一：设 M ( x1 , y1 )， N ( x2 , y2 )，y由 x24kxy23，消去 1y 并整理，得 (3 4k 2 )x212 0，2 123 4k x1 x2 0， x1x2x1 2y1 ( x 2) ，2x2 2 yP y A 的坐标为 ( 2,0) ，直线 AM 的方程为 y2y同理可得 Q (0, 2 )以 PQ 为直径的圆的方程为 x2 ( y Q )22y y( P Q )2，令 y0 ，得 x24y1 y2 2)(x2 2)yP yQx1x24y1y2( x1 2)( x2 2)4k 2 x1x2 2(x1 x2 ) 4，4k 24x1x2 124k x1x2 x1x2 41 ( x1 x2 3， x 3，故以 PQ 为直径的圆恒过定点 T ( 3,0) x1 2 ，P(0, 2 y1 )方法二：设 M ( x1 , y1) ，则 N ( x1 , y1 )，则直线 AM 的方程为 yx1 2y1 ( x 2) ，则x1 2 同理可得 Q (0, 2y1 )假设存在 T( x0 ,0) 符合题设，则 PT QT 0 ， x02- 15 - / 1724y1 x1 40，P(0, 2 y1 )4k 2 3，3 4k 23ln( aex ) ln( aex) ln x 对任意