mathematic使用说明第二讲

1、第2讲在Mathematica中作图一个较强的符号计算系统均有很好的绘图功能，Mathematica也不例外，Mathematica拥有非常强 大的绘图功能。并且提供了一大批基本数学函数的图形，利用这些提供的函数，用户可以方便地组 合成所需要的、复杂的函数图形，所有这些都使得Mathematica系统在处理和解决数学问题和一般的 计算问题中表现得非常突出。2.1基本图形与图形处理的原理首先画出一个周期正弦函数sin(x)的图象：Outl=-Graphics-其次画一个含有奇异点的函数曲线，Mathematica会选取适当的比例:In2:=PlotTanx, x, -3, 340aoJ-3-31

2、.3-so-1QOut2=-Graphics-Mathematica可以将一组函数的曲线画在一张图上:Out=-Graphics-当Mathematica去画函数f的图象时，为了得到光滑的曲线，系统需要计算许多点的函数值。 Mathematica中存在两种可能的方法解决这个问题。第一种方法是先设法求出函数f关于x的大致的 表达式，然后按顺序计算出相应的x处的函数表达式的值。另一方法就是，先写出各点的x值，然 后顺序算出相应点X的函数值fo如果输入PlotSinx, x, 0, 2Pi，Mathematica使用了上面所述的第二种方法。使用这种方法的好 处在于，Mathematica只需要去计算

3、对应的x的函数值，这样它就不需要去关注当x为符号的时候所 对应的函数表达式。在有些情况下，在画出该函数的曲线之前，计算出函数f的表达式还是非常有用的，一个典型的实 例是，当f是生成一个函数表的命令，此时系统先要生成一个表，然后计算函数值。可用绘图格式 PlotEvaluatef,x,xmin,xmax来实现。下面的例子就使用了这样的方法来绘制Bessel函数Jn(x)在n 从14的函数图形。Out4=-Graphics-对Mathematica系统的图形输出原理，各种不同的计算机和不同接口具有不同的形式。使用 Mathematica系统来进行图形的输出大致可以分为三步进行：执行绘图命令比如Pl

4、ot得到Mathematica系统的原始图形，这些原始图形中包括图形的基本结 构如 Point、Line、Polygon 和基本图形提示比如 RGBColor，Thickness 等。将图形变换成与设备无关的标准图形，使用PostScript页描述形成这种图形。采用PostScript表示图形，并在读者所在的装置上画出。2.2函数作图2.2.1 一元显函数(二维)作图(1) Plot函数的介绍若函数以显函数形式给出，即y=f(x)形式，可用Plot函数来进行作图。其格式为：格式一：Plot函数 f, x, xmin, xmax,选项功能：在区间xmin,xmax上，按选项的要求画出函数f的图形

5、。格式二：Plot函数fl,函数卫, x, xmin, xmax,选项功能：在区间xmin,xmax 上，按选项的要求画出函数f1、函数f2等图形。即同时画出几个函数 的图形.Mathematica绘图时允许用户设置选项值对绘制图形的细节提出各种要求。例如，要求取消坐标轴， 给图形加框线等，每个选项都有一个确定的名子，以“选项名-选项值”的形式放在Plot中最右边位 置，一次可设置多个选项，选项依次排列，以逗号相隔，若不设置选项，系统取各选项的默认值。下例是带有多个选项的绘图命令：（2）用选项对图形进行修饰修饰曲线的样式（第一类选择项）Mathematica所提供的第一类选项用来控制图形的生成

6、过程、控制图形元素的构造，这是比较重要的一类选项，其选项名只有一个PlotStyle，它的用法见表2-1。 表2-1选项PlotStyle选项的取值选项名取值范SI映省值意义PlotStyleRGBCohrrnb 匚味取oiJi之间的数Automatic红绿兰三色的强彥Thickness tt取D到1之间的数显示线的宽度（整个图形的宽度为1? t的值应远屮于1）的数用虚实线段序列画线虚实线战的长度依次取小.GrayLsYBlfg 名取到1之间的数灰度比值PlotPoiiLts25采样函小值CompiledTrue 或 FalseTrue是否对所画的函数編辑注意表2-1中PlotStyle选项的

7、取值可以有若干项，这若干项构成一个表，表中的内容分别用来控 制线条的粗细、虚实和色彩，若Plot同时绘出几个函数的图形，则PlotStyle取值的表中应是若干个 子表，每一个控制相应的图形。其中正弦函数Sin（2x）以灰度0.05和虚实结合的线绘出，而余弦函数的图形以红色加粗的方式绘出， 在PlotStyle取值的表中，第一个子表的内容控制第一个函数的图形，第二个子表的内容控制第二个 函数的图形。PlotStyle取值是由四项内容所组成的表，但仅有前两项起作用分别控制第一个和第二个函数的图 形。 修饰整幅图的外观（第二类选择项）Mathematica可以通过选项改变图形的显示比例、为图形加背景

8、、加网格、控制作图的区域及图形 是否显示。有关的选项及其取值见表2-2：表2-2修饰图形外观的选项选项名取值范圉默认值意熨AspectRjatio实數Automatic,实际l/GoldRatio=a.61g图形的高度与宽度的比例Gia.yLeveiigroundHwt0到1之间的数图的背景颜邑RGBrr&b烏舀少取口到1之间的数GiudLmeNoneAutomaticNone星習画阿格线A31yOyi系统自动切除奇点州近 区域的曲繼指走绘團的范围Plo-t LabelNone字符串Noiie确走圉的标题DisplayFunctionSDispLayFmicti&rLIdentityt 不显示

9、）WisplflyFuiuction是否显示图形对坐标轴外观进行修饰（第二类选择项）下面介绍的选项是针对坐标轴而言的，它可以确定是否显示坐标轴，坐标原点的位置，坐标轴上 的刻度等。表2-3修饰坐标轴外观的选项选项名取值范圉默认值意熨AxesTrueFalseTree星否画坐标铀Axes OrL ginAutomatic 阴Automatic坐标轴经过的点（坐标原点）Axes LabelNoris字符串1,字符串刀None坐标轴上的标记符号FiarueTiueFalseFalse團形周團星否加框AutomaticTicksxi,yiKhK2n.n-yly2n.Automatic设置坐标轴上的刻度

10、位置FianeLab elNone串1 丁串2丁串笨串 4None是否在框的周围加标记（3）重画和组合图形Mathematica系统对于图形的处理也是把它当成一个对象来处理的，其实这个对象也是表示生成图形的一个表达式，所以对于画出的图形，我们可以实行再显示和组合等操作。从一般的输出图形结 果中，我们看到的表达式Outn=-Graphics-,其实它是一个极为复杂的图形表达式的缩写，系统认 为我们不必关心这样的表达式，所以以一个缩写来表示。虽然如此，但系统内部还是记录了这一表 达式。对于图形的重画和组合的操作，主要用到Show和GraphicsArray函数，具体用法见表2-4。表2-4 Sho

11、w和GraphicsArray函数的使用函数定文说明SkiEpic,选项名一=选项值设gm pic的各种选项(17对第二类选项有数)并显示團形Showp ic 1 ic 2,. picii将川牛畏1在一起品示ShowGraphic sAirayK p 11 12,. ,p 21 ,p22,.隹矩阵形式显示毎亍團刑2.2.2二维参数作图在很多数学问题中，人们往往无法显示地表达一个函数。对于二元或三元函数，可以引入另外一 个变量，其他变量都可以表示成该变量的表达式，这样无论对数学计算、分析和作图都有不可比拟 的优点。在Mathematica中，提供了绘制这样的参数方程的函数。对于含参数的函数绘图大

12、致也可以 分为两大类，就是二维参数作图和三维参数作图。下面是二维参数作图常用的格式，它们的区别一个作一条曲线，一个作一组曲线：格式一：ParametricPlotxt,yt, t,tO,tl,选项功能：画一个x轴，y轴为x(t),y(t)，参变量t在tO,t1 中的参数曲线。格式二：ParametricPlotxlt,ylt, x2t,y2t,;i项,t0,t1,功能：画一组参数曲线。2.2.3平面数据点作图有时需要绘出给定数据的图形，Mathematica也有直接绘出数据的图形命令，还可以使用Fortran 或C等其他高级语言生成数据点作图。表2-5是数据点作图的函数及使用：2-5平面数据点

13、作图画閔函数意义ListPlot仏1唄,忍曲,.Lis tPlot yl 曲.ynListPlct 黴据,PlntJained画出数据点丽,血理2, 画出数据点1囲,2,y2”,%yn 画一条通过数据点的光滑曲线注意：二维数据点的表示形式，平面上每一个点用表xi,yi表示，数据点再次构成表的集合。2.2.4平面图形元素作图我们在前面曾经提及图形的基本元素的概念，在Mathematica的二维图形中，基本元素有点、线、 矩阵以及多边形和圆等等，所有的二维图形都可以由这些基本的图形元素构成。表2-6列出基本的二 维图形元素：表2-6二维图形元素二维團形元素几何意文在（,血处画一点Lan叭図，呎,疝

14、筋,一.一惓扶彥接相邻两点的线段R-ect：iiile :口丫叫尹但止讣实心範形，两点为对角顶点Polyon xlnyln垃莎2封闭窑边形Cirebgyhr風画心在也F）,半径宵FCireljeyni7；ty楠風中心在（爲HCircle任 y,r,tl,从弧廃仕到2的圆弧D诫肚吋实心風画&在（X/）,半径为尸Tertexpr,j;y在（扎月处显不文本expr使用图形元素可做出复杂的图形。先用Graphics图形元素做出平面图形表达式，再用Show图形 表达式显示完整的图形。注意若图形元素有多个，需用构成表。2.3二元（三维）函数作图2.3.1二元（三维）显函数作图前面我们讲述了一元（二维）函数

15、作图，同样对于二元（三维）也有相应的作图方式，也分显函数作图、 参数方程作图和数据点作图。下面是二元显函数的作图格式：格式：Plot3Dfx,y, x,xO,x1,y,yO,y1,选项xe aO3z1 ye O.yl作用：在区域和上，画出空间曲面f（x,y）。在上述例子中，并未使用该函数的可选项设置，此时系统仍然使用它默认选项进行绘图，其实在 Mathematica的三维绘图中，完全可以像二维绘图时一样，控制绘图的多种选项，与二维相比三维绘 图还可设置图形的色彩光照等效果，产生出栩栩如生的图形。（1）修饰曲面的外观表2-7例出了常用的修饰曲面外观的选项：表2-7修饰曲面外观的选项选项名取值范围

16、獣认值意义PkitPointsIL15采样函数的点数指定“轴的采祥点数另别対FLotRangeAll指走坐标的范團MeshTrne, FalseTrue指齐县否齐曲面卜画网格ShadingTrue，FalseTrue指走是否给團形画上阴亮LightFalse是否设胃光源Light Sources光滙位置，进游颤色点迸游的方向和颜色增加函数的采样点数，可使函数显示更为精确，但同时也降低了绘图的速度。Mathematica在绘图 的过程中，会自动对奇异点附近作取舍，可用PlotRange不断调整作图的区域，以达到所需的目的。Mesh和Shading及Light均用来对三维图形的表面进行处理。Mat

17、hematica系统已经对三维图的表 面效果进行了自动处理，而且处理得不错，一般情况下不用作处理，你也可以对参数进行设置，达 到自已理想的效果。(2)修饰整幅图的外观除了修饰曲面的外观，还可修饰整幅图的外观，表2-8列出了常用的选项：表2-8修饰图形外观的选项选项名取值荊围默认值意文Tme, FalseTrue指定是習给圏形加上立萍框AwesTrue, FalseTme指走是否给團形画上坐粧轴BosRatios14,0.4三蹬立体边怅的比例PlotLabe0串匚串入串3None在坐标轴上加标志这里所介绍的选项与二维作图有关的选项用法基本上一样，读者可自行加以自己动手。(3)修改视点在三维问题中

18、，坐标系统与二维坐标系统有相似的地方，那就是关于其原点坐标与刻度坐标的区 别。在二维问题中用一个矩形来规定图形的范围，在三维问题中则使用一个长方体的盒子来限定绘 图的空间。三维图形从不同的视点来观看会有“横看成岭侧成峰”的效果，所以对于三维图形有一个 视点的选择问题。可通过选项ViewPoint来设置。表2-9常用视点点的坐标意义点的坐标意义1-3,-242一般观点正罰丄前下为0A2正上方2-训左下方0,-2,2刖上方2,-2,0右下力同样的图形，从不同的角度，可以得到不同的效果，下面的例子是将本节第一个图形换了一个角 度得到的效果：2.3.2三维参数方程作图与二维作图一样，三维参数作图函数的

19、使用方法与二维函数参数作图非常类似。根据三维参数方 程参量是一个还是二个，可以作出空间曲线或曲面。格式一：ParametricPlot3Dx,y,z, u,uO,ul,v,vO,vl，选项冷厶匕一一姙吴務宀卄序烹=託血叭丫=丫他砲呱 町口引叫口口vg叫功能：画二维参数空间曲面。格式二：ParametricPlot3Dx,y,z, t,t0,t1，选项功能：画三维参数空间曲线,功能：画三维参数空间曲线,2.3.3等值线图和密度图在Mathematica系统中，用于绘制等值线和密度图的函数分别为ContourPlot和DensityPlot。等值 线图形的一个最易理解的例子是地理上等高线的例子，等

20、值线实际上是把物体表面上位于相同高度 上的点连在一起。下面是两个函数使用的格式：格式：ContourPlotfx,y,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax,选项功能：作二元函数f(x,y)在区域上的等值线图。格式：DensityPlotfx,y,x,xmin,xmax,y,ymin,ymax选项功能：作二元函数f(x,y)在区域上的密度图。它们使用时还可利用选项进行设置，表2-10列出了常用的选项：表2-10等值线图与密度图的选项选项名默认值意爻CalcrFunctknAutomatic停田白HgBRg庐 口彷戸事杀洁田一壬总1邸1任望匚ISfflnJ .pbiS.、Hut：祝于Kffl 曲7U曰:J巴韦-Contcuis10等值裟的条数PLotRangeAutomatic起括的翌圈区域ContouiS hadingTrue是否使用明暗度CQntcLnSnwQtliitigName是否对等值线进行平滑处理PLotPo ints15毎?方向上计算的点数2.3.4三维图形元素画图同二维图形一样，三维图形在Mathematica系统中仍然由基本的图形元素构成，我们可以利用这