大学物理第四章题解

1、 -13.质量为m的质点在Oxy平面内运动，其运动学方程为x=acost,y=bsinot,a、b、a、b、解所以2）均为常量求：(1)质点对z轴的角动量；(2)质点所受对z轴的合力矩.(1)对运动学方程r=acosoti+bsinotj求时间导数，可得drv=一aosinti+bocosotjdt一一L=rxmv=(acosoti+bsinoj)xm(-aosinoti+bocosotj)O=m(abocos2ot+abosimot)k=mabokf-L=Lk士abmo-zO因L为常量，由对Oz的角动量定理，可知质点所受对Oz轴的合力矩z=业=0zdt4-14如图，刚性转动系统放在盛有液体的

2、容器内，长为的细杆一端固定一质量为m的小球，另一端垂直地固定于转轴z.小球受液体阻力与小球质量及系统转动角速度的大小成正比，即F=kmo，k为比例常量.z轴及细杆的质量及所受阻力均忽略不计，问：经过多长时间系统的角速度的大小变为初始值0的Ve0解由题意知M=-lkmo，L=ml2o，根据-=M，得zzdtz分离变量并积分ml2dodt=-分离变量并积分ml2dodt=-lkmoJdo=-Jkdtollno=-kt+C由t=0时o=o定出积分常数，C=lno，则00Io=oe-kti0ol所以，当o=f时t=.ek4-15如图所示，小球m系于不可伸长的轻绳的一端，绳经O点穿入竖直小管开始时小球绕

3、管在水平面内做半径为R的圆周运动，每分钟转120转由绳的A端将绳拉入小管，拉绳后小球绕管在水平面内做半径为R2的圆周运动求:（1）拉绳以后小球每分钟之转数；（2）拉绳过程中小球对O点角动量是否守恒？为什么？解（1）在拉绳过程中，因为小球所受重力与OA轴平行、绳拉力与OA轴相交，对OA轴力矩均为零，所以在拉绳过程中小球对OA轴角动量守恒RQmv一=mvR20拉绳前，每秒转两转，2兀R2=v.设拉绳后，每秒转n转，0R2兀n=v.把v=4兀R和v=n兀R代入角动量守恒方程，得20Rmn兀R=m4兀RR即可求出拉绳后小球每秒转n=8转，即每分钟480转.（2）因为小球所受合力对O点力矩不为零，所以小

4、球对O点角动量不守恒.4-16试判断以下说法是否正确：(1)静摩擦力一定不做功；(2)滑动摩擦力一定做负功；(3)摩擦力总是阻碍物体运动；(4)运动质点如受摩擦力作用，则能量一定减小答均不正确4-17试证明F=(3x2+sinx+)i(N)是保守力质点在F作用下由x二0运动到x=1m，试用两种方法计算力F对质点做的功.解由于F=(3x2+sinx+ex)i(Np在位移dr中所做元功-Fdr=(3x2+sinx+ex)i(dxi+dyj+dzk)-=(3x2+sinx+ex)dx=d(x3一cosx+ex)可以表示为只与位置有关的标量函数U(x)=x3一cosx#ex的微分，所以此力为保守力.方

5、法质点沿Ox轴由x=0运动到x=1,F对质点所做的功为方法W=JFdr=f1(3x2+sinx+ex)dx=(x3一cosx+ex)|i0_=1一cos1+e+1一1=1一cos1+e方法二：因F为保守力，引入势能E=_U+C=_(x3-cosx+ex)+C，则pW=-(E一E)=1一cos1+e+1一1=1一cos1+ep2p14-18如图，一劲度系数为k的弹簧，一端固定于A点，另一端与质量为m的质点相连弹簧处于自由伸张状态时，质点位于竖直面与半径为R的半圆柱面的交界处B质点在力F的作用下，由B点从静止开始运动到光滑半圆柱面的顶点C，到达C点时质点速率为vC求力F对质点所做的功.解在质点由B

6、到C点的过程中，所受重力和弹簧弹性力为保守力，以B点为重力势能及弹性势能零点质点受面的支撑力不做功，设力F做功为A由质点的机械能定理F(E+E)-(E+E)=AkCpCkBpBF可得A=丄mv2+mgR+k(丄兀R)2(0+0)可得F2C22=1mv2+mgR+1k兀2R22C84-19时的速率接题4-18，质点到达C点后，力F被撤除，求质点运动到4-19时的速率解质点平衡时mg=kAl，Al=竽，电卩质点的平衡位置位于B点下方竽处.kk在质点由C到平衡位置的过程中，由于所受重力和弹簧弹性力为保守力，受面的支撑力不做功，所以机械能守恒以B点为重力势能及弹性势能零点，则mv2+mgR+k兀2R2

7、=mv2一mgAl+k(Al匕2C822TOC o 1-5 h zm2g2m2g2m2g2=mv2一+=mv2一 HYPERLINK l bookmark96 o Current Document 2k2k22k卩可求出质点运动到AB之间的平衡位置时的速率v=(v2+2gR+1沁+竺)12C4mk4-20如题4-15图之装置设小球质量m=0.5g，初态管外绳长=2m，绳与竖直方向夹角0=30，速度为v末态绳与竖直方向夹角=60,速度为v.求：(1)v、1。12。21v；(2)绳对小球所做的功2解视小球为质点，受重力w和绳的张力F如图.T所以初态小球做水平圆周运动，合力F=W+F指向圆轨道圆心,

8、Tv2所以初态小球做水平圆周运动，合力F=W+F指向圆轨道圆心,Tv2v2m+=mf=mgtg0R1sin01-112x9.8x23=2.38m.：sv=1sin2O11g品=1设末态1=1，小球做水平圆周运动，有2mZ=mgtg0,1sinO222由牛顿第二定律可知sin20v2=1g222cos02lsin20cos011亠=cos0sin203.3l122在由初态到末态的过程中，小球所受合力对竖直轴AB的力矩为零，所以小球对轴ABv2=v221)的角动量守恒所以(1)的角动量守恒所以(1)x(2)得可求出(1)(2)2得2)mv1sinO=mv1sinO111222TOC o 1-5 h

9、 zv1sinO11=-22=v1sinO12111v311=v33.2v=313v=3.43m.s21纪=9打132=()131=0.80m9j31由机械能定理，以O点为势能零点，绳对小球所做的功为W=AE+AE=m(v2一v2)+mg(1cos30-1cos60)=0.00805Jkp221124-21.质量为02kg的小球B以弹性绳在光滑水平面上与固定点A相连.弹性绳劲度系数为8Nm，其自由伸张长度为0.6m.小球初位置和速度v如图所示当小球速率变为v时，它与A点距离最大且等于08m.求初态与末态之速率v和v.0解小球在水平面上仅受弹性绳弹性力，弹性力作用线过A，所以小球在运动过程中对过

10、A的竖直轴角动量守恒；注意到小球与A点距离最大时其速度与弹性绳垂直；则0.4mvsin30=0.8mv0。小球在水平面内仅受弹性绳弹性力，弹性力为保守力，因此小球在运动过程中机械能守恒，以弹性绳自由伸张时为弹性势能零点；则mv2mv2=1mv2+1k（0.8-0.6）2022所以v=4v，v2一v2=1.600联立求解上述二式即可求出vo=1.31ns,v=0.33rn；s.4-22如图,在升降机内有一和升降机固定的光滑斜面,斜面相对水平方向的倾角为0当升降机以匀加速度a沿竖直方向上升时，质量为m的物体沿斜面下滑，试以升降机为参考系,求：（1）物体相对升降机的加速度；（2）物体对斜面的压力；（

11、3）物体对地面的加速度.解以升降机为非惯性参考系，建立与斜面固连的坐标系Oxy如图视物体为质点，受重力mg、支承力化和惯性力FI=-ma，物体在非惯性系中的动力学方程为m（g+a）sin0=mx-Ff-m（g+a）cos0=0所以，物体相对升降机的加速度a=xi所以，物体相对升降机的加速度a=xi=（g+a）sin0i物体对斜面的压力F=一F=-m（g+a）cosOjNN物体对地面的加速度a=a=asin0i+acos0j+（g+a）sin0i=gsin0i+acos0j地4-23如图，一理想定滑轮固定于升降机上，一不可伸长之轻绳跨过滑轮后，两端各悬挂一物体，有物体质量为m和m，m主m升降机以

12、加速度a沿竖直方向下降时，试以升1212降机为参考系，求：两个物体相对地面的加速度及绳内张力解以升降机为非惯性参考系，建立与升降机固连的坐标系Ox如图视二物体为质点，物体受重力、绳张力和惯性力F=-ma、F=-ma，I11I22物体受重力、绳张力和惯性力F=-ma、F=-ma，I11I22mg-F-ma=mxT11r*1 HYPERLINK l bookmark102 o Current Document mg-Fma=mx-_T222J HYPERLINK l bookmark104 o Current Document x=x12F=F=FT1T2T HYPERLINK l bookmar

13、k108 o Current Document （m一m）g+（m一m）a=x=1221-*2在非惯性系中的动力学方程为绳不可伸长根据牛顿第三定律所以x1绳内张力两个物体相对地面的加速度为m+m122mmF=（ga）Tm+m12.（m一m）g+（m一m）a.a.（m一m）g+（m一m）a.a=a+xi=ai+i221i11TOC o 1-5 h z1211 HYPERLINK l bookmark114 o Current Document m+mm+m1212.（m一m）g+（m一m）a.（m一m）g+2ma.m+m12 HYPERLINK l bookmark134 o Current Document a=a+x禺=ai1221i=2111m+m121.jm+m124-24如图所示有一绕竖直z轴以角速度k作匀角速度定轴转动的光滑水平大转台在距z轴R的A处立一竖直杆，杆端有一长度为l的不可伸长的轻绳，绳末端挂一质量为m的小球当绳与竖直杆夹角0保持不变时，以转台为参考系，求0与的关系.解以转台为非惯性参考系视小球为质点小球受重力m，绳的拉力F，惯性离心力F，F=2(R+lsin0).小球在非