勾股定理典型例题归类总结

1、专业资料9已知RMABC的周长为2+虑，其中斜边2，求这个三角形的面积。10.如果把勾股定理的边的平方理解为形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广（1）如图，以RfABC的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积S、S、S之间有何123关系？并说明理由。（2）如图，以RfABC的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积S、S、S之间有何关系？123（3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙）题型二：利用勾股定理测量长度例1.如果梯子的底端离建筑物9米，

2、那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？跟踪练习：1如图（8）,水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.2座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A、12米B、13米C、14米D、15米3如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米.一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）團2A、8米B、10米C、12米D、14米题型三：勾股定理和逆定理并用一例3.如图3，形ABC

3、D中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB4AB那么pEF是直角三角形吗？为什么？注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。跟踪练习：如图，形ABCD中，E为BC边的中点，F点CD边上一点，且DF=3CF,求证：zAEF=90题型四：利用勾股定理求线段长度一如图4,落在E3已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好，求CE的长.c跟踪练习：1如图，将一个有45度角的三角板顶点C放在一宽为3cm的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30角，求三角板的最大边AB的长.2如图，在ABC

4、中，AB二BC,zABC=90,D为AC的中点，DE丄DF，交AB于E,交BC于F(1)求证：BE=CF;(2)若AE=3,CF=1,求EF的长.C3.如图，CA=CB,CD=CE,zACB=zECD=90,D为AB边上的一点若AD=1,BD=3，求CD的长.题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直一例1.有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？跟踪练习：1如图孑每个小形的边长都是1,3BC的三个顶点分别在形网格的格点上试判断ABC的形状；并说明理由.（1）求证：zABD=90;（2）求四

5、畑加的值B1.5C1.5Nc7B2下列各组数中，以它们边的三角形不是直角三角形的是（）111A、9,12,15B、7,24,25C、】iD、I,一，三3.在ABC中，下列说法zB=zC-zA:：/,：:zA:zB:zC=3:4:5;a:b:c=5:4:3;-:-=1:2:3,其中能判断ABC为直角三角形的条件有（）A、2个B、3个C、4个D、5个4在MBC中,zAszBszC的对边分别是a、b、c判断下列三角形是否为直角三角形？并判断哪一个是直角？（1）a=26,b=10,c=24;（2）a=5,b=7,c=9;（3）a=2，：,-A、2个B、3个C、4个D、5个5已知ABC的三边长为a、b、

6、c,且满足:.-I，则此时三角形一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、锐角三角形6在MBC中，若a二n2-1，b=2n，c=n2+1，则BC是（）A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、直角三角形7如图，形网格中的ABC是（）/B、A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、锐角三角形或钝角三角形8已知在ABC中,zAszBszC的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（）A、如果zC-zB=zA,那么zC=90B、如果zC=90,那么-.：?.疳C、如果（a+b）（a-b）=-,那么zA=90D、如果zA=30,那么AC=2BC9已知ABC的三边分别为a,b

7、,c,且a+b=3,ab=1,广，求-的值，试判断ABC的形状，并说明理由观察下列各式：；-.-八-*11.-迄Z，根据其中规律，写出下一个式子为已知，mn,m、n为正整数，以.-,2mn,广为边的三角形是三角形.12个直角三角形的三边分别为n+1,n-1,8,其中n+1是最大边，当n为多少时，三角形为直角三角形？题型六：旋转问题：例题6.如图，P是等边三角形ABC点，PA=2,PB二2J3,PC=4,求MBC的边长.跟踪练习1如图，ABC为等腰直角三角形zBAC=90,EsF是BC上的点且zEAF=45试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由.题型七：关于翻折问题例题7如图，矩形纸片

8、ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.跟踪练习1如图，AD是MBC的中线,zADC=45,把MDC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求BC的长.A（一）折叠直角三角形1如图，在SBC中,zA=90,点D为AB上一点，沿CD折叠MBC,点A恰好落在BC边上的A处，AB=4,AC=3，求BD的长。如图，RfABC中,zB=90,AB=3,AC=5.将ABC折叠使C与A重合，折痕为DE,求BE的长.C（二）折叠长方形1如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，F为CD上一点，将长方形沿折痕AF折叠，点D

9、恰好落在BC上的点E处，求CF的长。2.如图，长方形ABCD中，AD=8cm,AB=4cm,沿EF折叠，使点D与点B重合，点C与C重合.（1）求DE的长;（2）求折痕EF的长.（2013）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边CD落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D处若AB=3,AD=4，则ED的长为（）如图，长方形ABCD中，AB=6,AD=8,沿BD折叠使A到A处DA交BC于F点.（1）求证:FB=FE（2）求证：CAIIBD（3）求DBF的面积专业资料1A7.如图，形ABCD中，点E在边CD上，将MDE沿AE对折至MFE，延长EF交边BC于点G,G为BCDE的中点，连结AG、C

10、F.(1)求证：AGIICF;(2)求厂匸的值.C题型A：关于勾股定理在实际中的应用：例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学,AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？M专业资料例2辆装满货物高为1.8米，宽1.5米的卡车要通过一个直径为5米的半圆形双向行驶隧道，它能顺利通过吗？跟踪练习：1.某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km的速度向北

11、偏东60方向移动，距风暴中心200km的围为受影响区域。试问A城是否受这次风暴的影响？如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。2.一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?3.有一个边长为50dm的形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）4如图，铁路上A,B两点相距25km,C,D为两村庄，DA丄AB于A,CB丄AB于B,已知DA=15km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C,D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？题型九：关

12、于最短性问题例1如右图1-19,壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（n取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）例2.跟踪练习：1如图为一棱长为3cm的体，把所有面都分为9个小形，其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？2如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分

13、别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？3个长方体盒子的长、宽、高分别为8cm，6cm，12cm,-只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？B4如图将一根13.5厘米长的细木棒放入长、宽、高分别为4厘米、3厘米和12厘米的长方体无盖盒子中，能全部放进去吗？题型十：勾股定理与特殊角（一）直接运用30或45的直角三角形1如图，在ABC中,zC=90,zB=30,人。是ABC的角平分线，若AC二2Q，求AD的长。2

14、如图，在ABC中,zACB=90,AD是MBC的角平分线，CD丄AB于D,zA=30,CD=2，求AB的长。3如图，在ABC中，AD丄BC于D,zB=60,乙C二45,AC=2，求BD的长。作垂线构造30或45的直角三角形将105转化为45和601如图，在ABC中,zB=45,zA=105,AC=2，求BC的长。2.如图，在四边形ABCD中,zA=zC=45,zADB=zABC=105,M若AD=2,求AB的长；若AB+CD二2J3+2，求AB的长。将75转化为30和453.如图，在ABC中,zB=45,zBAC=75,AB=再，求BC的长。题型十一：运用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方

15、程如图，在ABC中,zC=90,AD平分zCAB交CB于D,CD=3,BD=5，求AD的长。如图，在ABC中，AD丄BC于D,且zCAD=2zBAD,若BD=3,CD=8，求AB的长。C（二）巧用连环勾”列方程1.如图，在ABC中，AB=5,BC=7,AC二4*2，求sABCB2.如图，在ABC中，zACB二90,CD丄AB于D,AC=3,BC=4，求AD的长。如图,ABC中，zACB=90,CD丄AB于D,AD=1,BD=4，求AC的长4.如图,ABC中，zACB=90,CD丄AB于D,CD=3,BD=4，求AD的长题型十二：勾股定理与分类讨论（一）锐角与钝角不明时需分类讨论1.在MBC中，

16、AB二AC=5,，求BC的长2.在MBC中，AB=15,AC=13,AD为MBC的高，且AD=12,求MBC的面积。（二）腰和底不明时需分类讨论3如图1ABC中,zACB=90,AC=6,BC=8,点D为射线AC上一点，且ABD是等腰三角形，求ABD的周长.直角边和斜边不明时需分类讨论1已知直角三角形两边分别为2和3，则第三边的长为2在MBC中，/ACB=90,AC=4,BC=2，以AB为边向外作等腰直角三角形ABD，求CD的长3如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x轴上的顶点坐标.题型十三：、亠或I儿问题的证明1如图1A

17、BC中，CA=CB，/ACB=90,D为AB的中点，M、N分别为AC、BC上一点，且DM丄DN.(1)求证：CM+CN=lBD(2)如图2,若M、N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系式。2.已知zBCD=a,zBAD=p,CB=CD.(1)如图1,若a二p=90,求证：AB+AD=IAC;(2)如图2,若a邙=90,求证：AB-AD-JAC;(3)如图3,若a=120,p=60,求证：AB=AD=】AC;(4)如图3，若a邙=120,求证：AB-AD=AC;tH1.Vraa题型十四：I、问题的证明1如图，OA=OB,OC=OD,zAOB=zCOD=90,M、N分别为

18、AC、BD的中点，连MN、ON.求证:MN=JON.2已知ABC中，AB=AC,zBAC=90,D为BC的中点，AE=CF，连DE、EF.(1)如图1,若E、F分别在AB、AC上，求证：EF=%E;(2)如图2,若E、F分别在BA、AC的延长线上，则中的结论是否仍成立？请说明理由.图E3如图，3BD中，0为AB的中点，C为DO延长线上一点，/ACO=135,zODB=45探究OD、OC、AC之间相等的数量关系.HG&八二羽(乙)【VG&8G(I)壬G日军T壬日V军8疗B圭打SV乙二XGVIIX。06二GV疗卑阜制翕者GEV園口幼专业资料题型十五：勾股定理（逆定理）与网格画图1如图，每个小形的边

19、长为1,A、B、C是小形的顶点，则zABC的度数为.2如图，每个小形的边长都是1,在图中画一个三角形，使它的三边长分别是32、H且三角形的三3如图，每个小形的边长都是1,在图中画一个边长为的形，且形的四个顶点在格点上.4在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其部已标注的格点只有3个.5如图，在4个均匀由16个小形组成的网格形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不團46如图，形网格中的每个小形边长都为1,每个小形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：(1)2)画一条线段MN，使MN二iH;(2)画MBC，三边长分别为3,;：，二7如图，在5x5的形网格中，每个小形的边长均为1,线段AB的端点在格点上.團2图1中以AB为腰的等腰三角形有个，画出其中的一个，并直接写出其底边长.图2中，以AB为底边的等腰三角形有个，画出其中的一个，并直接写出其底边上的高.题型十六：利用勾股定理逆定理证垂直1如图，在ABC中，点D为BC边上一点，且AB=10,BD=6,AD=8,AC=7，其求CD的长.2如图，在四边形ABCD中，zB=90,AB=2，川,CD=5,AD=4,ABCDnA3如图，在ABC中,AD为BC边上的中线，AB=5,AC=13,AD=6，