群与子群课件

1、主要内容二元运算及其性质一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质代数系统代数系统定义及其实例子代数代数系统的同态与同构第十章 群与子群1第十章 群与子群主要内容群的定义与性质子群与群的陪集分解2半群、独异点与群的定义半群、独异点、群的实例群中的术语群的基本性质10.1 群的定义与性质3半群、独异点与群的定义定义10.1(1) 设V=是代数系统，为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群.(2) 设V=是半群，若eS是关于运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点. 有时也将独异点V 记作 V=. (3) 设V=是独异点，eS关于运算的单位元，若aS，a1S，则称V是群. 通常将群记作G.

2、4实例例1 (1) ,都是半群，+是普通加 法. 这些半群中除外都是独异点(2) 设n是大于1的正整数，和都是半群，也都是独异点，其中+和分别表示矩阵加法和矩阵乘法(3) 为半群，也是独异点，其中为集合对称差运算(4) 为半群，也是独异点，其中Zn=0,1,n1，为模n加法 5例2 设G= e, a, b, c ，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群 e a b ceabc e a b c a e c b b c e a c b a e 实例特征：1. 满足交换律2. 每个元素都是自己的逆元3. a, b, c中任何两个元素运算结 果都等于剩下的第三个元素6有关群的术语定义10.2 (1

3、) 若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群. 群G 的基数称为群 G 的阶，有限群G的阶记作|G|. (2) 只含单位元的群称为平凡群.(3) 若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔 (Abel) 群.实例：和是无限群，是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. 是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群. 7群的性质：幂运算规则定理10.1 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) aG，(a1)1=a(2) a,bG，(ab)1=b1a1(3) aG，anam = an+m，n, mZ(4) aG，(an)m =

4、 anm，n, mZ (5) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.证 (1) (a1)1是a1的逆元，a也是a1的逆元. 根据逆元唯一性，等式得证. (2) (b1a1)(ab)= b1(a1a)b = b1b = e, 同理 (ab)( b1a1)=e，故b1a1是ab的逆元. 根据逆元的唯一性等式得证. 10群的性质：方程存在惟一解定理10.2G为群，a,bG，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解. 例3 设群G=，其中为对称差. 解下列群方程： aX=，Ya,b=b解 X=a1=a=a， Y=ba,b1=ba,b=a 证 a1b 代入方程左边的x 得 a(a1b) = (

5、aa1)b = eb = b所以a1b 是该方程的解. 下面证明惟一性. 假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有 c = ec = (a1a)c = a1(ac) = a1b 同理可证ba1是方程 ya=b的惟一解.1110.2 子群与群的陪集分解定义设是一个群，且SG是一个非空集合。若满足下列三个条件，则称是的子群： （1）e是的幺元，且e S；（保持幺元） （2）对任一 a S一定有a-1 S ； （保持逆元） （3）对任一a,b S一定有a*b S （运算的封闭性）例如 nZ (n是自然数) 是整数加群 的子群. 当n1时,nZ是Z的真子群.对任何群G都存在子群. G和e都是G的

6、子群，称为G的平凡子群. 12典型子群的实例:生成子群定义10.6 设G为群，aG，令H=ak| kZ，则H是G的子群，称为由 a 生成的子群，记作.证 首先由a知道. 任取am,al，则 am(al)1 = amal = aml根据判定定理二可知G.实例：例如整数加群，由2生成的子群是 =2k | kZ=2Z中，由2生成的子群=0,2,4Klein四元群 G = e,a,b,c的所有生成子群是： =e, =e,a, =e,b, =e,c. 16典型子群的实例:中心C定义10.7 设G为群,令 C=a| aGxG(ax=xa)，则C是G的子群，称为G的中心. 证 eC. C是G的非空子集. 任

7、取a,bC，只需证明ab1与G中所有的元素都可交换. xG，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知CG. 对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可交换，G的中心就等于G. 但是对某些非交换群G，它的中心是e.17典型子群的实例:子群的交例6 设G是群，H,K是G的子群. 证明(1) HK也是G的子群(2) HK是G的子群当且仅当 HK 或 KH18图1定义10.8 设G为群, 令 L(G) = H | H是G的子群则偏序集称为G的子群格子群格实例：K

8、lein四元群的子群格如下： 19定理10.9 设H是群G的子群，则a,bG有 aHb ab1H Ha=Hb陪集的基本性质证 先证aHb ab1H aHb h(hHa=hb) h(hHab1=h) ab1H 再证 aHb Ha=Hb. 充分性. 若Ha=Hb，由aHa 可知必有 aHb. 必要性. 由 aHb 可知存在 hH 使得 a =hb，即b =h1a 任取 h1aHa，（根据陪集的定义h1 H）则有h1a = h1(hb) = (h1h)bHb 从而得到 Ha Hb. 反之，任取h1bHb，则有h1b = h1(h1a) = (h1h1)aHa 从而得到Hb Ha. 综合上述，Ha=Hb得证.23定理10.10 设H是群G的子群，在G上定义二元关系R： a,bG, R ab1H则 R是G上的等价关系，且aR = Ha.陪集的基本性质证 先证明R为G上的等价关系. 自反性. 任取aG，aa1 = eH R 对称性. 任取a,bG，则 Rab1H(ab1)1Hba1HR 传递性. 任取a,b,cG，则 RR ab1Hbc1H ac1H R 下面证明：aG，aR = Ha. 任取bG，（p123等价类