基本不等式4-完整版PPT

1、基本不等式(2)若a、bR，则a2+b22ab，（当且仅当a=b时，等号成立）如果a0，b0，则：aba+b2当且仅当a=b时，等号成立几何平均数算术平均数例1：（1）用篱笆围一个面积为100 m2矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？分析：矩形菜园的面积是确定的，长和宽没有确定如果长和宽确定了，篱笆的长也就确定了，因此我们要解决的问题是：当面积确定时，长和宽取什么值时篱笆的长最短？解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy=100，篱笆的长为2(x+y) mxyx+y2由可得x+y21002(x+y)40等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10因此，这

2、个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40 m例1：（1）用篱笆围一个面积为100 m2矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？结论1：两个正数积为定值，则和有最小值探究1：正实数a，b若积ab是定值P，当且仅当_时，和a+b有最小值为_a=b2P试一试: 已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？例1：（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？分析：矩形菜园的周长是确定的，长和宽没有确定如果长和宽确定了，矩形菜园的面积也就确定了，

3、因此我们要解决的问题是：当周长确定时，长和宽取什么值时篱笆围成的面积最大？解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则2(x+y)=36， x+y=18，矩形菜园的面积为xy m2由可得xy81等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=9因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积是81 mxyx+y2=9182例1：（2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？结论2：两个正数和为定值，则积有最大值探究2：正实数a，b若和a+b是定值S，当且仅当_时，积ab有最大值为_a=bS2()2试一试：用20 cm长的铁丝折

4、成一个面积最大的矩形，应当怎样折?注意：在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应验证三点：“一正、二定、三相等”后才能取最值当条件不完全具备时，应创造条件 例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？分析：水池呈长方体形，它的高是3 m，底面的长与宽没有确定如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池的总造价最低解：设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元根据题意有z=150

5、(48003)+120(23x+23y)=240000+720(x+y)由容积4800m3，可得3xy=4800因此xy=1600由基本不等式与不等式的性质，可得即所以，将水池的地面设计成边长为40 m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元当x=y，即x=y=40时，等号成立240000+720(x+y)240000+7202xyz297600z240000+720216001某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12 m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元如果墙高3 m，且不计房屋背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造

6、价最低？最低造价是多少？分析：房屋呈长方体形，它的高是3 m，底面的长与宽没有确定如果底面的长与宽确定了，房屋总造价也就确定了因此我们应当考察底面的长与宽取什么值时房屋的总造价最低总造价最低为34600元解：设正面的长为x m，侧面的宽为 m，房屋的总造价为y元根据题意有12xy=12003x+80032+580012x当3600 x= ，即x=4时，总造价最低124800 x=3600 x+5800124800 x23600 x+5800=34600124800 x2某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如下图）如果池四周围墙建造单价为400元/m2，中间两道隔

7、墙建造单价为248元/m2，池底建造单价为80元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价分析：设污水处理池的长为x m，总造价为y元，（1）建立x 的函数 y ； （2）求y的最值解：设污水处理池的长为x m，总造价为y元，则答：池长18m，宽 m时，造价最低，为30400元1009当且仅当800 x= ，即x=18时，取等号259200 xy=400(2x+2)+248(2)+80200200 x200 x+16000800 x259200 x2=800 x+ +16000.259200 x3现有一批货物用轮船从上海洋山水港运往青岛，已知该船航

8、行的最大速度为45海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用每小时960元（1）把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数；（2）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解：（1）由题意，每小时燃料费用为0.6x2(0 x45)，全程所用的时间为小时500 x则全程运输成本y=0.6x2+960=300(x+ )，x(0，45500 x500 x1600 x故所求的函数y=300(x+ )，x(0，451600 x（2）y=300(x+ )3002=240001

9、600 xx1600 x1600 x当且仅当x= ，即x=40时取等号成立故当轮船速度为40海里/小时时，所需成本最小4某单位为了职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30000m2的宿舍楼(每层的建筑面积相同)已知土地的征用费为2250元/m2，土地的征用面积为第一层的1.5倍经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/m2，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/m2试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用(总费用为建筑费用和征地费用之和)解：设楼高为n层，总费用为y万元，则征地面积为(m2)，征地费用为2250万元，各楼层建筑费用和为400n+30万元

10、总费用为1.53n1.530000n3nn(n-1)2y=400n+30+2250n(n-1)21.53n=15(3n+77)15(23n+77)=2505675n675n当且仅当3n=，即n=15时等号成立675n这幢宿舍楼楼高层数为15时，总费用最少，为2505万元5甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路程，用速度b行走了另一半路程，若ab，则两车到达B地的情况是( ) (A)甲车先到达B地 (B)乙车先到达B地 (C)同时到达 (D)不能判定 A6某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站() (A) 5公里(B) 4公里(C) 3公里(D) 2公里 C某食品厂定期购买面粉已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元（1）求该厂多少天购买一