新人教版初三下册数学 28.2.2应用举例 教学课件

1、28.2 解直角三角形及其应用28.2.2 应用举例解直角三角形的简单应用 高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能“喜剧”变“悲剧”.导入新知 你知道高跟鞋的鞋底与地面的夹角为多少度时，人脚的感觉最舒适吗？（2）两锐角之间的关系（3）边角之间的关系（1）三边之间的关系 ABabcC探究新知知识点 1利用解直角三角形解答简单的问题 小明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了300m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为30 ，你知道缆车垂直上升的距离是多少吗?ABABD30300m解：BD=ABsin30=150m探究新知DABC 小明乘坐索道

2、缆车继续从点B到达比点B高 200m的点C， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为60，缆车行进速度为2m/s，小明需要多长时间才能到达目的地？ABDCE60200m小明需要115.5s才能到达目的地.探究新知解：2312=115.5（s）30 例1 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km，取3.142 ，结果取整数）？OF

3、PQFQ是O的切线，FQO为直角.最远点求 的长，要先求POQ的度数探究新知素养考点 1建立直角三角形模型解答简单的问题解：设FOQ =，FQ是O切线，FOQ是直角三角形 当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离P点约2051km.探究新知OFPQ 的长为【讨论】从前面的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？【方法点拨】一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并非直角三角形时，需添加辅助线构造直角三角形，然后运用三角函数解决问题探究新知小结探究新知 归纳总结解直角三角形的应用：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图

4、形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等知识去解直角三角形；(3)得到数学问题答案；(4)得到实际问题答案。注：数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解.1.如图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？ABC解：如图所示，依题意可知B= 60 答：梯子的长至少4.62米.巩固练习 例2 如图，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为60，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？0.5m3m

5、60探究新知素养考点 2建立直角三角形模型解答生活问题0.5m3mABCDE60探究新知分析：根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为CE的长度.因此，本题可抽象为：已知 DE=0.5m，AD=AB=3m，DAB=60，ACB为直角三角形，求CE的长度.解：CAB=60，AD=AB=3m，3mABDE60CAC=ABcosCAB=1.5m， CD=ADAC=1.5m， CE=AD+DE=2.0m.即秋千踏板与地面的最大距离为2.0m.探究新知FEA2. (1)小华去实验楼做实验, 两幢实验楼的高度AB=CD=20m，两楼间的距离BC=15m，已知太阳光与水平线的夹角为30，求南楼的影子在北楼上

6、有多高？北ABDC20m15mEF南解：过点E作EFBC，AFE=90，FE=BC=15m.即南楼的影子在北楼上的高度为巩固练习(2) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距BC至少应为多少米?AB20m?m北DC南答案：BC至少为巩固练习 （2018台州）图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m当起重臂AC长度为9m，张角HAC为118时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据：sin280.47，cos280.88，tan280.53）巩固练习连接中考图1图2巩固练习连接中考解：作CE

7、BD于E，AFCE于F，易得四边形AHEF为矩形， EF=AH=3.4m，HAF=90， CAF=CAHHAF=11890=28， 在RtACF中， ， CF=9sin28=90.47=4.23， CE=CF+EF=4.23+3.47.6（m），答：操作平台C离地面的高度为7.6m图2EF1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A、B的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：AC，ACB；EF、DE、 AD；CD，ACB，ADB其中能根据所测数据求得A、B两树距离的有(

8、 ) A. 0组 B. 1组 C. 2组 D. 3组 D课堂检测基础巩固题2. 如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得BAD=30，在C点测得BCD=60，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为( )BDCAA. 100米 B. 米 C. 米 D. 50米B课堂检测基础巩固题3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为45，则这棵大树高是 米.ACB4米45课堂检测基础巩固题OCBA “欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有

9、多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，O为地球球心，C是地面上一点， =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5= 0.997)？能力提升题课堂检测解：设登到B处，视线BC在C点与地球相切，也就是 看C点，AB就是“楼”的高度， AB=OBOA=63896370=19(km).即这层楼至少要高19km，即19000m. 这是不存在的. OCBA在RtOCB中，O课堂检测能力提升题 如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆. 拉线CE和地面成60角，在离电线杆6米的A处测得AC与水平面的夹角为30，已知A与地面的距离为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号） G解：作AG

10、CD于点G，则AG=BD=6米，DG=AB=1.5米.(米).拓广探索题课堂检测GCD=CG+DG= ( +1.5) (米)， (米).课堂检测拓广探索题利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：1. 将实际问题抽象为数学问题；2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；画出平面图形，转化为解直角三角形的问题3. 得到数学问题的答案；4. 得到实际问题的答案.课堂小结利用俯角和仰角解直角三角形 青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且屡败屡试,永不言弃.如图所示,一天,灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60,然后下到城堡的C处,测得B处的俯角为30.已知AC=

11、40 m,若灰太狼以 5 m/s的速度从城堡底部D处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果精确到个位)(假设懒洋洋不动) 导入新知铅直线水平线视线视线仰角俯角 在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.探究新知俯角、仰角问题知识点 1巧记“上仰下俯” 例1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高（结果取整数）？分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，=30,=60. 在RtABD中， =30，

12、AD120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BCABCD仰角水平线俯角探究新知一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题素养考点 1解：如图， = 30,= 60， AD120答：这栋楼高约为277m.ABCD探究新知（m）探究新知 方法点拨解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法 根据仰角、俯角的定义画出水平线、视线，找准仰角、俯角，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用解直角三角形使问题获解.1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的C点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线AC和地面成60角，另一根拉线BC和地面成45角则两根拉线的总长度为 m

13、(结果用带根号的数的形式表示). 巩固练习 例2 如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37和45 ，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin370.8，cos37 0.6，tan 370.75）AB3745400米P素养考点 2探究新知两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题ABO3745400米P设PO=x米，在RtPOB中，PBO=45，在RtPOA中，PAB=37，OB=PO= x米.解得x=1200.解：作POAB交AB的延长线于O.即故飞机的高度为1200米.探究新知2. 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A

14、，用测角仪测得塔顶D的仰角为30，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）用测角仪测得塔顶D的仰角为75，且AB间的距离为40m(1) 求点B到AD的距离； 答案：点B到AD的距离为20m.E巩固练习(2) 求塔高CD（结果用根号表示）解：在RtABE中，A=30，ABE=60，DBC=75，EBD=1806075=45，DE=EB=20m，则 (m)，在RtADC中，A=30，答：塔高CD为 m. (m).巩固练习E（2018长春）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C

15、处，在C处观察B地的俯角为，则A、B两地之间的距离为（）A. 800sin米 B. 800tan米 C 米 D 米连接中考巩固练习D1. 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离BC=_米.2. 如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30，测得C点的俯角为60，则建筑物CD的高为_米.100图BCA图BCAD3060基础巩固题课堂检测3. 为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角ACD=52，已知人的高度是1.72米，则树高 (精确到0.1米）. ADBEC20.9 米课堂检

16、测基础巩固题4. 如图，小明想测量塔AB的高度.他在D处仰望塔顶，测得仰角为30，再往塔的方向前进50m至C处.测得仰角为60，小明的身高1.5 m.那么该塔有多高?(结果精确到1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗?DABBDCC课堂检测基础巩固题解：由题意可知，ADB=30，ACB=60，DC=50m. 课堂检测DB=xtan60，CB=xtan30，xtan60-xtan30=50，DABBDCC DAB=60，CAB=30，设AB=x m.基础巩固题 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54，观察底部B的仰角为45，求旗杆的高度（精确到0.1m）.ABC

17、D40m5445ABCD40m5445解：在等腰RtBCD中，ACD=90，BC=DC=40m.在RtACD中 ，AB=ACBC=55.240=15.2 (m).课堂检测能力提升题AC=DCtanADC=tan54401.3840=55.2（m)解：由题意，ACAB610（米）.拓广探索题 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39（tan390.81） (1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；课堂检测解：DEAC610（米）， 在RtBDE中， .(2) 求大楼的高度CD（精确到

18、1米） BEDEtan39 CDAE，CDABDEtan39 610610tan39 116（米）.课堂检测拓广探索题利用仰俯角解直角三角形仰角、俯角的概念运用解直角三角形解决仰角、俯角问题课堂小结利用方向角、坡度解直角三角形 宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一(如图).喜爱数学的小伟决定用所学的知识测量大观楼的高度,如图所示,他站在点B处利用测角仪测得大观楼最高点P的仰角为45,又前进了12 m到达点A处,测得点P的仰角为60.请你帮助小伟算一算大观楼的高度(测角仪的高度忽略不计,结果保留整数).导入新知图图方向角的定义： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的角叫做方

19、向角。北偏东30南偏西453045BOA东西北南探究新知知识点 1方向角的有关问题也叫西南方向探究新知注意（1）因为方向角是指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“北偏”, “南偏”,的形式.（2）解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线构造直角三角形来求解.（3）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，通常借助于此性质进行角度转换. 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？

20、6534PBCA探究新知有关方向角的实际问题距离素养考点 1解：如图 ，在RtAPC中，PC=PAcos（9065）=80cos25800.91=72.505.在RtBPC中，B=34，因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34方向时，它距离灯塔P大约130n mile6534PBCA探究新知探究新知 归纳总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案巩固练习1.美丽的东昌湖滨位于江北水城,周边景点密布.如图所

21、示，A、B为湖滨的两个景点，C为湖心一个景点.景点B在景点C的正东，从景点A看，景点B在北偏东75方向，景点C在北偏东30方向.一游客自景点A驾船以每分钟20 m的速度行驶了10分钟到达景点C，之后又以同样的速度驶向景点B，该游客从景点C到景点B需用多长时间(精确到1分钟)?解:根据题意,得AC=2010=200(m).如图所示,过点A作ADBC于点D.在RtADC中, ,DC=ACsin CAD=200sin 30=100.在RtADB中, . . (分). 例2 海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方向上，航行12海里到达C点，这时

22、测得小岛A在北偏东30方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BAC60素养考点 2探究新知有关方向角的实际问题预测路线30解：过A作AFBC于点F， 则AF的长是A到BC的最短距离. BDCEAF， DBA=BAF=60， ACE=CAF=30， BAC=BAFCAF =6030 =30.北东ACB6030DEF探究新知又ABC =DBFDBA = 9060=30=BAC， BC=AC=12海里， ，故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险北东ACB6030DEF探究新知 (海里)，2. 如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB

23、)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30和B城市的北偏西45的方向上已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据： 1.732， 1.414)?巩固练习北东解：过点P作PCAB于点C 则APC30，BPC45， ACPCtan30，BCPCtan45.ACBCAB， PC tan30PC tan45200，即 ， 解得 PC126.8km100km.答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区C巩固练习 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝或山的高度h时

24、，我们无法直接测量，我们又该如何呢？hhll知识点 2坡度、坡角有关的问题探究新知【思考】如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？如何用数量来刻画哪条路陡呢？ABC探究新知坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示。坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成 的形式。hl坡度越大坡角越大坡面越陡 探究新知水平面坡面（1）斜坡的坡度是 ，则坡角 =_度.（2）斜坡的坡角是45 ，则坡比是 _.（3）斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_.lh301 : 1巩固练习3.完成下列各题 例3 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中

25、ADBC，=60，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角=45若原坡长AB=20m，求改造后的坡长AE(结果保留根号) 探究新知利用坡度、坡角解答大坝问题素养考点 1解：过点A作AFBC于点F，在RtABF中，ABF =60，则AF=ABsin60= (m)，在RtAEF中，E=45，则 (m).故改造后的坡长AE 为 m.F探究新知4. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为45，高10米经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2米，加固后背水坡EF的坡比 求加固后坝底增加的宽度AF.

26、(结果保留根号)ABCDEF45巩固练习ABCDEF45GH解：作DGAB于G，EHAB于H，则GH=DE=2米，EH=DG=10米.(米)，(米).又AG=DG=10米，故加固后坝底增加的宽度AF为 米.巩固练习 (米). 例4 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01，长度精确到0.1m）？i=1:2探究新知素养考点 2利用坡度、坡角解答山坡问题在RtABC中，B=90，A=26.57，AC=240m，解：用表示坡角的大小，由题意可得因此 26.57.答：这座山坡的坡角约为26.57，小刚

27、上升了约107.3 m从而 BC=240sin26.57107.3（m）因此探究新知BACi=1:25. 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走 米到达山顶A处这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30请求出点B和点C的水平距离ACBD30答案：点B和点C的水平距离为 米.巩固练习E1.（2018徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据： ， 巩固练习连接中考连接中考巩固练习解：在RtCDE中， ， ， EF=AD=6m，AF=DE=7m四边形AFED是矩形，答：该坝的坝高和坝底宽分别为

28、7m和25.1m在RtABF中，B=45，BF=AF=7m，BC=BF+EF+EC7+6+12.12=25.1225.1（m），2.（2018重庆）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为 i=1：0.75、坡长为10 米的斜坡CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走40 米到达点 E（A，B，C，D，E均在同一平面内）在E处测得建筑物顶端A的仰角为24，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin240.41，cos240.91，tan24=0.45）（）A21.7米 B22.4米C27.4米 D28.8米 A巩固练习连接中考1. 如图，C岛在A岛的北偏东50方向，C岛在B岛的北偏西40方向，则从C岛看A，B两岛的视角 ACB等于 90基础巩固题课堂检测2. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60方向上，航