概率论与数理统计 五大数定理

1、用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的定理.切比雪夫不等式:设随机变量 X 有数学期望 EX 及方差 DX，则对于任何正数 ，下列不等式成立：第五章 大数定理与中心极限定理“大数定律”:或就 X是连续型随机变量的情况证明：证一、切比雪夫不等式设X 的概率密度为则1例1 利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三倍标准差的概率.解当X 的分布未知时，利用E(X)、D(X)可以得到关于概率的粗略估计。放大被积函数其值也大放大积分区间其值也大注：2例2 为了确定事件 A 的概率, 进行了10000次重复独立试验. 利用切比雪夫不等式估计：用事件A 在10000次试验中发生的频率作为事件 A

2、的概率近似值时, 误差小于0.01的概率.解设事件A 在每次试验中发生的概率为 p，在这10000次试验中发生了X 次,则因此，所求事件的概率为3的数学期望是：独立随机变量 的算术平均值：二、大数定理的方差为：若方差一致有上界，则当 n 充分大时，随机变量分散程度是很小的，由此，也就是说，的值较紧密地聚集在它的数学期望的附近.4切比雪夫定理：设独立随机变量 ,则对于任何正数 ，恒有分别有数学及方差即存在某一常数K，使得且方差是一致有上界的，期望并按概率收敛于当 时，按概率收敛于零。或说这就是说，5证并注意到概率不能大于1，得证.对于随机变量由切比雪夫不等式所以6若对于任何正数 ，定义：记作当

3、时按概率收敛于数 a ，则称随机变量注：则 的算术平均值当期望 及方差 ，设独立随机变量服从同一分布,并且有数学时，按概率收敛于，即对于任何正数 ，恒有推论(辛钦大数定律)7伯努利定理：在独立试验序列中，当试验次数无限增加时，事件A 的频率按概率收敛于事件A 的概率.概率很小的事件在个别试验中是不可能发生的。小概率事件的实际不可能性原理：即：设事件 A 的概率 P(A) = p， 发生的次数，事件 A 的频率为 恒有m 表示 A 在 n 次独立试验中则对于任何正数 ， 8若次品率不大于0.01，则任取200件，发现6件次品的概率应不大于利用泊松定理，取=2000.01=2此概率很小，据小概率事

4、件的实际不可能性原理，不能相信该工厂的次品率不大于0.01。品能否相信该工厂的次品率不大于0.01。例3 从某工厂的产品中任取200件，检查结果发现其中有6件次解9设事件表示“在 n 次独立试验中，事件A发生”；表示“在第 i 次试验中，事件A发生”。而显然，例4 设在每次试验中，事件 A 发生的概率均为 p(0p1)，且 p很小(小概率事件)，求在 n 次独立试验中，事件A发生的概率。解注 小概率事件尽管在个别试验中不可能发生，但在大量试验中几乎必然发生。10第二节 中心极限定理概率论中有关论证随机变量的和的极限分布是正态分布的定理叫做中心极限定理。设 是独立随机变量，并各有则：11设独立随

5、机变量林德伯格条件 林德伯格定理:则当 时,有若每一个别随机变量对于总和不起主要作用，注当 n 充分大时,近似地服从正态分布12列维定理则当 时，它们和的极限分布是正态分布，即(z 为任意实数.)考虑随机变量:则学期望和方差： 设独立随机变量服从同分布,并且有数13解由列维定理知, 所求的概率 例1 计算机进行加法计算时, 把每个加数取为最接近于它的整数来计算. 设所有的取整误差是相互独立的随机变量, 并且都在区间-0.5,0.5上服从均匀分布, 求 300 个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。设随机变量 表示第i个加数的取整误差，则在区间上服从均匀分布，并且有14德莫威尔拉普拉斯定理其

6、中z 是任何实数，设在独立实验序列中，事件A 在各次实验中发生的概率为随机变量 表示事件A 在n 次实验中发生的次 数，则有由于随机变量 服从二项分布拉斯定理说明：当 n 充分大时，服从的随机变量所以德莫威尔拉普近似地服从正态分布15(1) 已知 n=200, p =0.75，解np=150，(1) 任一时刻有144至160台机器正在工作的概率；(2) 需供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率例2 200台同类型的机器，每台工作时所需电功率为Q千瓦 ，每台实际工作时间占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的。求：不小于0.99。16(2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m，则：所以需要供应165Q千瓦的电功率。17例3. 在一家保险公司里,有10000人参加某险种的保险,每人每年付120元保险费,在一年内 1 个人死亡的概率为0.007,死亡时其家属可向保险公司领取10000元,求保险公司一年内利润不少于400000元的概率?解以 X 表示一年内死亡人数,保险公司一年内利润不少于400000元,即即保险公司一年内利润不少于400000元的概率为88.49%.18例5.8 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹中命中5发的概率. 上一页下一页返回解 500发炮弹中命中飞机的炮弹数目X服从二项分布，