以前三高作业reading material for chapter

1、2.随机的 Ramsey 模型w(k ) max E u(c )t00tc ,k t t1 t0t 0s.t.ct kt 1 f (kt ) (1 )ktk0 0(1)技术冲击的假定这里生产函数f (k ) ezt k 且 z z ， N (0, )2t 1ttttt没有不确定性的情况下， z 0 ， f (k ) ktttt1 0zt 1 t 1zt 2 t 1 t 2zt 3 2t 1t 2t 3f (k ) z k 且log z (1 ) log z log z tt ttt 1tlog zt log z (log zt 1 log z) t与长期趋势的偏离服从 AR(1)。没有不确定性

2、的情况下， z z 1， f (k ) k 。 0tttt 1maxE uc (s )ttt t 0c ( st ),k ( st )tt1t0 maxttt(s )uc (s )tc ( st ),k ( st )tt1t0t 0 s St ts.t. c (st ) k(st ) z f k (s) (1 )k (s) ,t 1t 1(t, st )t 1ttttk0 0写成递归问题：(2)求解动态规划：v(k, z) maxu f (k ) (1 )k k Ev(k , z )k k0 0s.t.问题的解包括值函数v(kt , zt ) 和政策函数kt 1 g(kt , zt ) 。Eu

3、ler 方程为：u (ct ) Et u (ct 1 )zt 1 f (kt 1 ) (1 ) | zt c1u(c ) t1 ttf (k ) e kztt定义 Rt 1 rt f (kt 1 ) (1 ) ，not a net rate。Ramsey 模型在随机情况下可写为：ctt 11 E R()1/ Euler 方程tt 1cR ek (1 )z 1t1t 1t 1c k e k (1 )kz ttt 1ttz z ， N (0, )2t 1ttt 1稳态状态 zt 01 R *R* k * 1 (1 )c* k * k *(3)对数线性化 log-linearizationx *对于

4、变量 x ，其稳态 x *，定义ttx *x *ln xt x *e x *extx*对 xt 围绕 x 0 进行 1 阶展开x x *e0 x *ex )tt变量 xt 转换成其稳态值以及其与稳态值的偏离的百分比。xt yt x * y *(1 xt )(1 yt )f (xt ) f (x*)x*)txt* f (x*)f 1) f (x*) df (x*) x * f (x*) (1 x 1)tdx *f (x*) f (x*) f (x*) xt f (x*)(1 xt ) df (x*) x *dx *f (x*)t )yt f (xt ) y * f (x*)(1 yt xt )

5、k * (1 k )kttf (xt )g( yt ) f (x*)g( y*) (1x y z )f tg th th(z )h(z*)tctt 11 E R()1/ Euler 方程tt 1cR ek (1 )z 1t1t 1t 1c k e k (1 )kz ttt 1tt对于资源约束c k e k (1 )kz ttt 1ttln ezt ln ez* ztezt e0 e0 (z 0) 1 zttc * (1 c ) k * (1 k ) (1 z )k * (1 k ) (1 )k * (1 k )tt 1ttt(1 c )c * (1 k )k* (1 z k )k * (1 )

6、(1 k )k *t 1ttttc * k* k* (1 )k *c c * k k* (z k )k * (1 )k k *t 1ttttc c* z k * ( k *1 )k k * k k * 1t 1ttty * zk *c ( k * 1 )k k * k1tttt 1c *c *1 R *y * zk * k k * kc c *t 1tttc *c *关于价格决定R ek (1 )z 1t1t 1t 1R* k * 1 (1 )R * (1 R) k * 1 1 z ( 1)k (1 )t 1t 1t 1R* z ( 1)k k * 1Rt 1t 1t 11 R *R ( 1)

7、k k * 1 zt 1t 1t 1 z ( 1)k 1 (1 )Rt 1t 1t 1 1 (1 )z (1 )kRt 1t 1t 1Euler 方程ctt 11 E R()1/ tt 1c1 E R * (1 R 1 (c c)t 1tt 1t0 E R 1 (c c)tt 1tt 10 E 1 (1 )z (1 )k 1 (c c)t 1t 1tt 1t经过对数线性化后，原来的非线性系统：ctt 11 E R()1/ Euler 方程tt 1cR ek (1 )z 1t1t 1t 1 e k (1 )kz c kttt 1ttz z ， N (0, )2t 1ttt 1 转化为关于(z,

8、k , k) 的线性系统 the linear rational expecions system of equations：t 1tt 1y * zk * k k * kc t 1tt c *tc *c * 1 (1 )z (1 )kRt 1t 1t 10 E 1 (1 )z (1 )k 1 (c c)t 1t 1tt 1tz z ， N (0, )2t 1ttt 1(4)待定系数法(the method of undetermined coefficients)假定每一个内生变量都是专题变量的线性函数：k a k b zt 11 t1 tct a2k b zt2 t这里 a1 1 。才能保

9、证一个冲击发生后系统最终回到稳态状态，即横截性条件满足。接下来求解四个系数 a1 ， a2 ， b1 ， b2 。y * zk * k k * kc tt c *tt 1c *c *y * zk * k k * (a k b z )(a k b z )c 2 t2 ttt c *t1 t1 tc *c *k *k * aa 2 c *c *1y * k * bb 21c *c *0 E 1 (1 )z (1 )k 1 (c c)t 1t 1tt 1tzt 1 zt t1 (1 ) z (1 )(a k bz ) a k b z a (a k bz ) b ( z ) 0E ttt1 t1 t2

10、 t2 t21 t1 t2tt1 (1 ) zt (1 )(a1k b z ) a k b z a (a k b z ) b z 0t1 t2 t2t21 t1 t2ta2 a2a1 1 (1 )(1 )a1 k 1 (1 ) (1 )b1 b2 a2b1 b2 zt 0ta2 a2 a1 1 (1 )(1 )a1 01 (1 ) (1 )b1 b2 a2b1 b2 0这样，以下四个方程将求解四个系数： a1 ， a2 ， b1 ， b2k *k * aa 2 c *c *1y * k * bb 21c *c *a2 a2 a1 1 (1 )(1 )a1 01 (1 ) (1 )b1 b2 a

11、2b1 b2 0 1a a 0211 1 1 ( 1 (1 )(1 ) c * 1k * 2 1 a 121a ( ) 2212取一个较小的正根， a1 11a ( ) 2212(4)随机动态系统的性质经过上述的两个步骤的处理后，社会计划者问题关于消费与资本存量水平c , k的tt 1 t 0最优路径被转换为以下关于两个状态变量(z, k ) 的一个线性动态系统：t 1tk a k b z(6.2.39)t 11 t1 tct a k b z(6.2.40)2 t2 tzt 1 zt t 1利用(6.2.39)式至(6.2.41)式可刻画模型经济的动态特征。可以分析由这个模型经济所生成的宏观变

12、量的统计特征。计算这些加总的变量的无(6.2.41)条件方差(unconditional varian)，然后比较这些方差与由现实经济产生的实际数据获得的样本方差，检验模型经济设定的合理性。由 zt 1 zt t 1 ，技术进步冲击的方差为： 2 1 22(6.2.42)z由 k a k b z ，以及两个状态变量 k , z 之间相互独立，变量 k 的方差为：t 11 t1 ttttb 2 2 21z(6.2.43)1 a2k1由ct a k b z ，可以计算变量c 的方差为：2 t2 tta b 2 2 2 b2 22 22 1z(6.2.44)c1 a2z1最后，把生成函数 y f (

13、k ) ezt k 对数线性化后得 y z k ，变量 y 的方差为：ttttttt b 22 2 22z1z(6.2.45)y1 a21 ) b1 z a(1进一步由i k (1 )k ，对数线性化后代入(6.2.39)式i1k ，tt 1tttt这样关于投资变量的方差为： (a (1 )2b 2 2 1211z 2(6.2.46)1 a2i1(6.2.42)式至(6.2.46)式给出了在一个存在技术进步冲击的模型经济中，产出、消费、投资及资本存量等宏观变量的波动特征。这些特征可与一个现实经济体做对比。利用一个现实经济体的样本数据可计算上述变量的样本方差。通常利用 HP 滤波获得相关变量的周

14、期TT性成分 y , c , k , i , r ，之后计算相关变量样本方差 var( y) T( y T11y ) ，然后2ttt t tttt 1t 1与(6.2.42)式至(6.2.46)式等模型经济生成的结构相对比。如果有模型经济生成的变量的波动幅度与现实经济相关变量的波动性较接近，那么，说明模型经济的设定是合理的。利用模型经济可模拟外生的冲击源对现实经济的影响。(5)脉冲响应函数把(6.2.39)式至(6.2.40)式的动态系统扩展为以下的方程组：b1 a1 k1 t 1 kyt t ab(6.2.47)c22 z t t(1 )abi 1 1 t利用(6.2.47)式连同(6.2.

15、41)式模拟一个技术进步的外生冲击对模型经济的影响。假定 z0 0 ，1 1 ， t1 0 。这相当于给了模型经济一个正的冲击(即一个正的脉冲)，通过(6.2.47)式可观察这个冲击导致的宏观效应。在 t 0 期，由于 z0 0 ， 0 ，那么， k y c i 0 。到 t 1 期k01000z z 1，代入(6.2.47)式得到(k , y, c , i ) 。到t 2 期， z z ，得到101211 1212(k , y , c , i ) 。依次类推，到在模型经济中一个正的技术进步的冲击，所导致的资本322 2存量、产出、消费及投资与各自稳态值偏离程度的变化，对应地，得到一序列所谓的

16、脉冲相应函数。 0 ；同时，由于 1，则 z 0 。因而一个外部的冲这里，由于 a 1 ，所以 kt 11t击在一定时间之后其影响会，模型经济会回到其稳态状态。图 6.6 技术进步冲击对产出的脉冲相应函数3.一个简单 RBC 模型把劳动供给引入上述新古典增长模型中，就一个简单的 RBC 模型。这里，技术进步冲击对经济波动的传导机制是这样的：技术进步水平的变化将改变经济中劳动力的价格，从而影响代表性家庭的劳动供给，从而影响产出、消费与投资等。假定生成函数为 f (kt ) zt f (kt , nt ) ，其中log zt (1 ) log z log zt 1 t ，即假定技术进步与其长期趋势

17、的偏离服从一个 AR(1)的过程。没有不冲击的情况下， zt z 1。log zt log z (log zt 1 log z) t(6.2.48)构建一个社会计划者问题的递归形式。内生的状态变量为资本存量 kt ，外生的状态变量为技术进步水平 zt 。定义值函数为v(kt , zt ) ，策略函数为 kt 1 g(kt , zt ) 。一个没有约束的 Bellman 方程为：v(k, z) maxuzf (k, n) (1 )k k ,1 n Ev(k , z )n,k (6.2.49)上式动态规划问题的解包括值函数v(kt , zt ) 和政策函数kt 1 g(kt , zt ) 。求解上

18、述最大化问题，关于两期消费(ct , ct 1 ) 应满足的 Euler 方程为：u1 (ct ,1 nt ) Et u1 (ct 1,1 nt )zt 1 f1 (kt 1, nt 1 ) (1 ) | zt (6.2.50)关于同期消费与劳动供给(ct , nt ) 应满足以下的 1 阶条件：u1 (ct ,1 nt ) zf2 (kt , nt ) u2 (ct ,1 nt )(6.2.51)(6.2.50)式、(6.2.51)式、连同资源约束条件 kt 1 zt f (kt , nt ) (1 )kt ct 以及(6.2.48)式就了社会计划者问题最优解需满足的必要条件。6.3 竞争性

19、均衡前面两节主明了在不确定下社会计划者。这里将说明如何定义一个不确定性经济的竞争性均衡。首先说明关于竞争性均衡的三个概念：Date-0 市场竞争性均衡、序贯市场竞争性均衡以及递归的竞争性均衡；然后，正如第二章所的，在不确定性的情况下，代表性家庭用于金融资产投资的资产种类与其可能的不确定性状态的数量之间如果不一致，市场为不完全的，那么，序贯市场竞争性均衡的结果就会偏离 Pareto 最优。在完全市场的假定下，所有竞争性均衡的结果都是 Pareto 最优的。1.Date-0 竞争性均衡在一个 Date-0 市场上，代表性家庭把任何一个时点上以及任何一种可能实现的状态下的消费品都看成是不同的“商品”

20、，因而，家庭可在 Date-0 市场上签订各类“商品”的合同(dated se-contingent claims)。其最优的“商品”组合既体现了其资产在不同时点的配置，同时还体现了在同一时点不同可能实现的状态下选择。这样的市场是完全的(complete)，其竞争性均衡的结果是 Pareto 最优的。引入一个具有马尔可夫链性质的随机过程， (Z , P, 0 ) ，其中随量 zt Z ，Z z , z , z 。记 st (z , z, z ) ， z Z ，为一条从起点开始到时间t 的一条历tt 1012nt史路径。这里，先定义一个纯交换经济的竞争性均衡，然后再看加入生产部门的情形。(1)纯

21、交换的模型经济假定代表性家庭的禀赋为，e (st ) 。在t 0 的时点上，已知 s0 z 。记在t 时点和tt 00历史 st 上的“商品”价格 p (st ) ，家庭选择的“商品”数量为c (st )。tt 0tt 0一个 Date-0 市场的竞争性均衡为，存在一组资源配置(allocation)：c (st ) 以及价格tt 0 p (st ) ，满足：tt 0(i)代表性家庭在给定资源配置以及价格的条件下，最大化效用决定商品需求c (st ) 。家庭tt 0为：0 tu(u(c (st )max E(6.3.1)tc ( st )tt0t 0t 0 s St t tt ttp (s )

22、c (s ) ttp (s )e (s )tts.t.(6.3.2)t 0 st Stt 0 st St(ii)市场均衡c (st ) e (st )t ， st(6.3.3)tt当上述定义的 Date-0 市场竞争性均衡实现时，这个纯交换经济的资源配置为c (st ) e (st ) ，经济的均衡价格为：tt (st ) u c (st )u c (st )p (s ) (stt ttt| z) t(6.3.4)t (z ) u c (z )0u c (z )00000(2)引入生产部门的模型经济一个 Date-0 市场竞争性均衡为，存在一组资源配置c (st ), n (st ), k(s

23、t ) ，以及价t 1t 0tt格 p (st ), w (st ), r (st ) ，满足：tt 0tt(i)代表性家庭给定初始资产 k0 0 ，时间以及价格的条件下，最大化效用决定其商品需求、劳动供给及资产存量c (st ), n (st ), k(st ) 。家庭为：t 1t 0ttE uc (s ),1 n (s )tttmax0ttc ( st ),n ( st ),k ( st )ttt1t0t 0 t 0 st St tt(s )uc (s ),1 n (s )tt(6.3.5)tt t 0 st St t 0 st Stp (s )c (s ) k(s ) p (s )(1

24、r (s )k (s) w (s )n (s )t 1ttttttts.t.ttt 1ttttt(6.3.6)k0 0(ii)代表性企业利润生产技术给定的条件下，企业利润最大化决定资本和劳动的需求。其 1 阶条件为：r (s ) z F k (s), n (s )t 1tt(6.3.7)tt 1 ttw (st ) z F k (st1), n (st )(6.3.8)tt 2tt(iii)市场均衡c (st ) k(s ) z Fk (s), n (s ) (1 )k (s)t 1t 1t ，sttt(6.3.9)tt 1tttt可以证明上述 Date-0 市场竞争性均衡的结果与社会计划者配

25、置资源的结果是一致的。2.序贯市场竞争性均衡(SMCE)引入 1 期到期 Arrow-Debreu 资产。正如在第二章所分析的，这类资产对应不同的状态而设计，资产的数目等同于状态的数目。是一种随状态变化的 1 期保险合同(Contingent claims，insurance contracts)。当这类资产存在时，代表性家庭将其资产在不同时点以及在不同状态下分配，以实现效用的最大化(Wealth transfers across dates and s es)。其竞争性均衡的结果是 Pareto 最优的。如果一个马尔可夫过程具有 n 种状态，如， Z z , z , z 。记 q (st , z z ) 为12ntt 1j在t 时点、历史路径为 st 时，t 1期到期、在状态实现为 zt 1 z j 情形下的 A-D 资产的价格；对应地，资产的数量记为 B (st , z z ) 。以下，以一个纯交换经济为例，定义t 1t 1j序贯市场竞争性均衡。假定家庭的禀赋水平为 (st ) 。tt 0一个序贯市场均衡为，存在一组资源配置c (st ); B (st , z Z ) 以及价格t 1t 1t 0tq (st , z Z ) ，满足：tt 1t 0E u(c (s )ttmax0tc ( st