最新高等数学第六版微分方程答案

1、高等数学第六版微分方程答案【篇一：高等数学第七章微分方程试题及答案】一变量可别离方程及其推广 1变量可别离的方程 1方程形式： 3伯努利方程 dy ?p?x?q?y?dx ?q?y?0? 通解? dy ?p?x?dx?c qydy ?p?x?y?q?x?y?0,1? dx dz ?1?p?x?z?1?q?x? 再按照一阶线性 令z?y1?把原方程化为dx 非齐次方程求解。 4方程： 注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加 2方程形式：m1?x?n1?y?dx?m2?x?n2?y?dy?0 dy1dx 可化为?p?y?x?q?y? 以y为自变量，x dxq

2、y?pyxdy 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。m?x?n?y? 通解?1dx?2dy?c ?m2?x?0,n1?y?0? m2xn1y 2变量可别离方程的推广形式 1齐次方程 dy?y? ?f? dx?x? 令 ydydu ?u?x?f?u? ?u， 那么dxdxx ? dudx ?c?ln|x|?c fu?ux 二一阶线性方程及其推广 1一阶线性齐次方程 dy?p?x?dx ?p?x?y?0它也是变量可别离方程，通解y?ce?，c为任意常数 dx 2一阶线性非齐次方程 dy ?p?x?y?q?x? 用常数变易法可求出通解公式 dx 令y?c?x?e ?p?x?dx 代入方程求出c

3、?x?那么得 ?p?x?dx y?e ?p?x?dx ?q?x?e dx?c 1 ? 四线性微分方程解的性质与结构 我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的 线性微分方程。 二阶齐次线性方程y?p?x?y?q?x?y?0 1 二阶非齐次线性方程 y?p?x?y?q?x?y?f?x? 2 1假设y1?x?，y2?x?为二阶齐次线性方程的两个特解，那么它们的线性组合 五二阶和某些高阶常系数齐次线性方程 1二阶常系数齐次线性方程 y?py?qy?0 其中p，q为常数， 特征方程?2?p?q?0 特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式 1特征方程有两个不同的实根?1

4、，?2那么方程的通解为y?c1e ?1x ?c2e?2x 2特征方程有二重根?1?2 那么方程的通解为y?c1?c2x?e 3特征方程有共轭复根? ?1x c1y1?x?c2y2?x?c1，c2为任意常数仍为同方程的解，特别地，当 ，也即y1?x?与y2?x?线性无关时，那么方程的通解y1?x?y2?x?为常数为y?c1y1?x?c2y2?x? 2假设y1?x?，y2?x?为二阶非齐次线性方程的两个特解，那么y1?x?y2?x?为 对应的二阶齐次线性方程的一个特解。 3假设?x?为二阶非齐次线性方程的一个特解，而y?x?为对应的二阶齐次线性 方程的任意特解，那么?x?y?x?为此二阶非齐次线性

5、方程的一个特解。 4假设为二阶非齐次线性方程的一个特解，而c1y1?x?c2y2?x?为对应的二 阶齐次线性方程的通解c1，c2为独立的任意常数那么 ?i?， 那么方程的通解为y?e?x?c1cos? x?c2sin? x? 2n阶常系数齐次线性方程 y?n?p1y?n?1?p2y?n?2?pn?1y?pny?0其中pi?i?1,2,?,n?为常数。 相应的特征方程? n?p1? n?1?p2? n?2?pn?1?pn?0 特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。 1假设特征方程有n个不同的实根? 1,?2,?,?n那么方程通解 y?c1e?1x?c2e?2x?cne?nx 2假设?0为特征方

6、程的k重实根?k?n?那么方程通解中含有 y=c1?c2x?ckxk?1e ? ?0 x y?x?c1y1?x?c2y2?x?是此二阶非齐次线性方程的通解。 5设y1?x?与y2?x?分别是y?p?x?y?q?x?y?f1?x?与 y?p?x?y?q?x?y?f2?x?的特解，那么y1?x?y2?x?是 y?p?x?y?q?x?y?f1?x?f2?x?的特解。 3假设?i?为特征方程的k重共轭复根?2k?n?，那么方程通解中含有 e?xc1?c2x?ckxk?1cos? x?d1?d2x?dkxk?1sin? x 由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上

7、代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。 ? 2六、二阶常系数非齐次线性方程 方程：y?py?qy?f?x? 其中p,q为常数 通解：y?c1y1?x?c2y2?x? 其中c1y1?x?c2y2?x?为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨yduu2 ?令?u,那么u?x udx?x(1?u)du?0 xdxu?1 1?udxc1?uu ，ln|xu|?u?cxu?e?ce,?y?cex du?c1?u?x1 y 论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？1f?x?pn?x?e?x其中pn?x?为n次多项式，?为

8、实常数， 1假设?不是特征根，那么令?rxn?x?e? 2假设?是特征方程单根，那么令?xrn?x?e?x 3假设?是特征方程的重根，那么令?x2rn?x?e?x 2f?x?pn?x?e?xsin? x 或 f?x?p?xn?x?ecos? x 其中pn?x?为n次多项式，?,?皆为实常数 1假设?i?不是特征根，那么令?e?x?rn?x?cos? x?tn?x?sin? x?2假设?i?是特征根，那么令?xe?x?rn?x?cos? x?tn?x?sin? x? 例题： 一、齐次方程 1.求y2 ?x 2 dydy dx?xydx 的通解 ?y? 2 解：y2?(x2?xy)dydyy2?x

9、? ?dx ?0 dx?xy?x2? ?y? ?x? ?1 2. ?x?1?ey ?x ?dx?ey?x? ?1?y?dy?0 x ey ?x? 解：dx?y?1?dy?x ，令x?u,x?yu.(将y看成自变量) 1?e y ydxdudueu(udy?u?ydy, 所以 u?ydy?1)1?e u ydudy?ueu?euu?eu 1?eu?u? 1?eu 1?eudyd(u?eu)dy u?eudu?y,u?eu?y,ln?u?eu?c? ?lny?ln1y 1u?eu ?x y?c,y?ccu?eu?x x , ?x?yey? ?c. ? y ?ey二、一阶线形微分方程 1.ydx?(

10、y?x)dy?0,y(0)?1. ?解：可得?dx?dy?x y?1 . 这是以y为自变量的一阶线性方程解得 x?y(c?lny). ? x(1)?0 x(1)?0, c?0. 所以得解 x?ylny. 3 dyy 2.求微分方程的通解 ? dxx?y4 2.2y?(y)2?y，y(0)?2,y(0)?1 解：令y?p，那么y?p dxx?y4dx1 解：变形得：?即?x?y3，是一阶线性方程 dyydyy 1 p(y)?,q(y)?y3x?e 1?dyy dpdp，得到 2p?p2?y dydy ? ?ye1 ?dy3y ?14 dy?c?y?cy 令p2?u, 得到 du ?u?y为关于y

11、的一阶线性方程. dy y ? ?3 三、伯努力方程xy?y?x3 y6 ?5 解：xy?6 y?y ?5 ?x3 ，dydxy?6?yx ?x2， 令y?5?u, ?5y?6y?u,?u?5?ux ?x2，u?5 xu?5x2. 解得 u?x5(c?5?2?532x)， 于是 y5?cx5 ?2 x 四、可降阶的高价微分方程 1.求(1?x)y?y?ln(x?1)的通解 解：令y?p,那么y?p?,原方程化为(x?1)p?p?ln(x?1) p? 1x?1p?ln(x?1)x?1 属于一阶线性方程 p?e?1 x?1 dx?ln(x?1)?1x?1dxdx?c?x?11? ? 1 x?1?l

12、n(x?1)dx?c1 ? ?ln(x?1)?1?c1x?1 y? ?c? ln(x?1)?1?1x?1?dx?c2 ?(x?c1)ln(x?1)?2x?c2 u |x?0 ?p2(0)?y(0)2?1，解得 u?y?1?ce?y 所以 1?u |x?0 ?y(0)?1?ce?y(0)?2?1?ce?2, c?0. 于是 u?y?1, p?y?1 dy ?dxxy?1 , 2y?1?x?c1, y?1?2?c12 y(0)?2, 得到 c1 ?1, 得解 y?1? x2 2 ?1 五、二阶常系数齐次线形微分方程 1.y (5) ?y(4)?2y?2y?y?y?0 解：特征方程 ?5 ?4 ?2

13、?3 ?2?2 ?1?0 (?1)(?2?1)2?0，?1?1,?2,3?i,?4,5?i 于是得解 y?c?x 1e?(c2?c3x)sinx?(c4?c5x)cosx 2.y (4) ?5y?10y?6y?0，y(0)?1,y(0)?0,y(0)?6,y(0)?14解：特征方程 ?4?5?2 ?10?6?0, (?1)(?3)(?2?2?2)?0 4 _ 3131 sin2x 解联立方程得a?,b?，因此y?cos2x? 10101010 31?2x ?c2ex?cos2x?sin2x 故原方程的通解为y?c1e 1010 ?1?1, ?2?3,?3,4?1?i 得通解为 y?c1ex?c

14、2e?3x?ex(c3cosx?c4sinx) 由 y(0)?1,y(0)?0,y(0)?6,y(0)?14 3.y?y?x?3sin2x?2cosx 解：特征根为?i，齐次方程的通解为：y?c1cosx?c2sinx 11 ,c2?,c3?1,c4?1 221x1?3x ?ex(cosx?sinx) 得特解 y?e?e 22 得到 c1? 六、二阶常系数非齐次线形微分方程 1.求y?2y?3y?2e的通解 解：先求齐次方程的通解，特征方程为?2?3?0，特征根为?1?3,?2?1。 因此齐次方程通解为y?c1e ?3x 2 y?y?x，y?c1?c2x?c1?0,c2?1?y?x y?y?3

15、sin2x，y?x0e?x?c1cos?x?c2sin?x?c1sin2x?c2cos2x 待入原式得出：c1?1,c2?0，所以y?sin2x ? x ?c2ex y?y?2cosx，y?x1e?x?c1cos?x?c2sin?x?(c1cosx?c2sinx)x 待入原式得出：c1?0,c2?1，所以y?xsinx ? 设非齐次方程的特解为y,由于?1为特征根，因此设y?xaex, 1x1?3xx 代入原方程可得a?，故原方程的通解为y?c1e?c2e?xe 22 2.求方程y?y?2y?2cos2x的通解 解：特征方程为?2?0，特征根为?1?2,?2?1， 因此齐次方程的通解为y?c1

16、e ?2x 2 故原方程的通解为y?c1cosx?c2sinx?x?sin2x?xsinx 七、作变量代换后求方程的解 1.求微分方程(y?x)?x 2 dy ?(1?y2)的通解 dx ?c2ex sec2udu3 ?secu 解：令y?tanu,x?tanv, 原方程化为(tanu?tanv)secv2 secvdv 化简为sin(u?v) 设非齐次方程的特解为y,由于题目中?0,?2,?i?2i不是特征根， 因此设y?acos2x?bsin2x，代入原方程可得 (?2a?2b?4a)cos2x?(?2b?2a?4b)sin2x?2cos2x ?6a?2b?2，?6b?2a?0 5 dud

17、zdu?1 再令z?u?v,那么?1,方程化为 dvdvdv dzsinz(sinz?1)?1sinz?1?sinz，?dz?dv?c,?dz?v?c, 1?sinz1?sinzdv 1?sinz1?sinz?z?v?c?z?，?cos2zdz?v?c 1?sin2z ?z?tanz?secz?v?c最后z再返回x,y,v也返回x,即可。【篇二：?同济大学第六版上?较全高数1习题】选择题 1.设f?x? 1?x ，g?x?1?x，那么当x?1时, f(x)是g(x)是的 无穷小. 21?xf?1?x?f?1? . ?x (a高阶b低阶 c同阶但不等价d等价 2设f?x?arctanx，那么li

18、m ?x?0 a1 b-1 c x 11 d)? 22 3极限lim x?0 ? (arctant)2dt x3 ?( ) . a.0b. 11 c. d.? 36 4.如果lim(1?)kn?e，那么k?( ) n? 3 n 11 b.3 c.?3d. 33 1 5.x?0是函数f(x)?xsin的( ) x a.? a、连续点b、可去间断点c、跳跃间断点d、第二类间断点 6.以下各极限均存在，那么_成立. a、lim f(x0)?f(x0?x)f(x0)?f(x0?x) ?f(x0)b、lim?f(x0) ?x?0?x?0?x?x f(x0?x)?f(x0)f(x0?2?x)?f(x0)

19、c、lim?f(x0)d、lim?f(x0) ?x?0?x?0?x?x ?1?2xy?7.设? ?0 x?0，那么x?0是该函数的 . x?0 a连续点；b 可去间断点； c跳跃间断点； d 第二类间断点 8.函数y?f(x)在点x?x0处取得极大值，那么必有 . af?(x0)?0 bf?(x0)?0cf?(x0)?0且f?(x0)?0df?(x0)?0或不存在 11、设f(x)的连续区间为0,1，那么fln(x?1)的连续区间为( a.0,1b.0,e?1 c.1,e d.e,e 12、函数f(x)?x?2x在0,4上满足拉格朗日中值定理条件的c?( ) a.1b.2 c.3d. 2 ?1

20、 5 2第 2 页 dx ?1?cosx=( ) a、tanx?secx?c b、?cotx?cscx?c xx? c、tan?c d、tan(?)?c 224 14、15、 ? ? e?xdx?( )。 a、发散 b、收敛于0c、收敛于1 d、收敛于?1 17、函数 f(x)在点x0处取得极值，那么有 . af?(x0)?0 ； bf?(x0)不存在 ； c假设 f?(x0)存在，那么f?(x0)?0 ； df(x0)必是最值. dx ?2(x?1)2? 4?4a ； b ； c?2；d发散. 33?1 19. 广义积分?dx? ( ) 21x?2x?1 1? a收敛于1； b收敛于； c收

21、敛于； d发散. 22 18广义积分 2 1当x?0时，x?sinx是x的 a等价无穷小 b同阶但不等价的无穷小c高阶无穷小 d低阶无穷小 2设函数f(x)在点x?1处可导，且lima ?x?0 2 f(1?2?x)?f(1) ?1，那么f?(1)等于() ?x 11 b? c2d ?2 22 3假设f?(x)?f(x)，那么 ?f(x)dx= a. f(x) b. f(x)c. f(x)?c d. f(x)?c 4以下反常积分收敛的是 a. ? ? e ?dxlnx dx b. ?1 e2xx(lnx) c. ? ? e ?dxdx d. ? exlnxx(lnx)2 6设f(x)? x?1

22、 ，那么x?1是函数f(x)的 。 2 x?2x?3 f(2?x)?f(1) 。 ? x?1 a连续点b可去间断点 c跳跃间断点d第二类间断点 7设f可微，那么lim x?1 a?f?(x?1)bf?(?1) c?f?(1) d f?(2) 3x?2dy )，f?x?arcsinx2，那么x?0等于( )。 3x?2dx ?3?3? a b?c d ? 2222 8y?f(第 3 页 9设f(x)的一个原函数是x2，那么xf(1?x)dx? 。 ? 2 a2(1?x)?cb?2(1?x)?c c 2222 11 (1?x2)2?cd ?(1?x2)2?c 22 4n3?n?1 11lim3?(

23、) n?5n?n2?n4 a. b.0 c.?1 d. 5 12设y?e ?1x 是无穷大量，那么x的变化过程是 ? a. x?0b. x?0c. x? d. x? ? 13函数f(x)? x?3 的间断点是 x2?3x?2 a.x?1,x?2 b.x?3 c.x?1,x?2,x?3d.无间断点 14设 ? x0 f(t)dt?a2x?a2,f(x)为连续函数，那么f(x)等于( ) 2x a. 2a b. a 2x lna c. 2xa2x?1 d. 2a2xlna 二、填空题： 1x?0 ? . 2?_. x?0 2 3设f(x)是可导函数，f?x?0，函数y?f ?e?的导数y? . x

24、 4函数f?x?x?1?1在?2,1?上的最大值为 . 2 3 ? 5当b? 时，点(1,3)是曲线y? 33 x?bx2的拐点. 2 2?e?x,x?1 6设f(x)?，那么?f(x)dx=. 0 x,x?1? x31ex dx = _. 8?dx=. 7?201?e2x1?x 11、lim(x?1)sin x?1 1 ?_. x?1 ?1?x 12、设f(x)?e?2x?0，那么limf(x)?_. x?0 x ?e?1x?0? 3、设曲线y?x?x上点m处的切线斜率为1，那么m点的坐标为_. 4、设y?x?e，那么y n x (n) 2 (0)?_. 15、曲线y?x4?3为凹的区间是_

25、.第 4 页 16、在积分曲线族y? 中，过(1,1)点的积分曲线是y?_. e 17、定积分i1?18定积分 ? e1 lnxdx与i2?ln2xdx的大小关系是 i1_i2. 1 ?0 ? ?_. 19、当p?0时，反常积分? e?pxdx?_. an2?bn?5 21、lim?2，那么a?_，b?_. n?3n?2 22、设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?n)，那么f(0)?_. x223 23、设y?2x，那么dy?_.24、函数y?3x?x的凹区间为_. e 25、函数f(x)?ln(2x?1)在1,2内满足拉格朗日中值定理的?_ 6、函数f(x)?3e的全部原函数为_.27

26、、函数?(x)?9、微分方程xy?y?cosx在y39、微分方程：y?e 2 x2 x?y x? xx ? x2 a etdt，那么?(x)?_. ?1的特解为 通解是_。40、微分方程：2y?y?y?0通解是_. 2?x?1,x?0 28、?xecosxdx?_. 29、设f(x)?，那么?f(x)dx?_. ?2?1x?1,x?0? 31. 如果x?0要无穷小asinx比1?cosx是等价无穷小a2 ?1 x?0?xsinx ? x?0在 x?0处连续，那么p?_,q?_. 32、设函数f(x)?p ?1 ?xsin?qx?0 x? sin(x?h)?sinx 33、极限lim?_ . h

27、?0hy 34、 曲线xe?y?1在点(1,0)处切线方程为?ex5 dx?36、不定积分?. 37、定积分sinxdx?. 2x?1?e 1?2?3?(n?1)1lim? n?n2 ?e3x?1 ?x?0 在x?0处连续，那么a? 2假设函数f(x)?x ?x?0?a 3设y?arcsinx，那么dy?第 5 页 4函数y?2x?lnx单调增加的区间是_ 2 x2sinx 5不定积分?_， 6不定积分dx?dx?_ 23?1?xcosx 7定积分 ? 3 1 max(2,x)dx?_ 8反常积分? ? e?2xdx?_ 11.当x?0时，1?cos2x是xsinx的无穷小。 an2?bn?2

28、12a,b为常数，lim?3，那么a? ,b? ， n?2n?1 13设y?tan(x?y)，那么 dy ?， dx 14设函数y?f?x?在x?2处可导，并在点x?2处取得极大值，那么在曲线y?f?x?上的点?2,3?处的切线方程为 ， 15d ) = 1 dx，16函数y?(x?1)(x?1)3的单减区间为 2x ? ?x?1,x?11?sinx 17?，那么? 18设f(x)? cosx,x?1x?cosx? 19 ? 2 f(x)dx= ? ? e?2xdx= 21x?2 1 ? _. 22lim3xsin?x?2x23物体的运动规律为s?e 2x2 2t?1 ，那么该物体在t?0时的

29、速度为_. 32 24设y?xe，那么y?(0)?. 25曲线y?x?5x?3x?5为凹的区间是_. 2?1,0?x?1x 26?cos(?1)dx? _.27设f(x)?，那么?f(x)dx?02,1?x?23?2 y?x,y?0,x?0,x?3围成图形的面积为_. 28曲线 三、计算题： 1.计算 lim(? x?0 1 x 1?1?arctan2x ?xarctan?. ).2计算lim? x?x2x?sinx? 1ln(a?bex) 3、求极限lim(n?1?n)n? .4、求极限lim(b?0). 22x?n?a?bx【篇三：高数答案(全集)第六章参考答案】1.(1) b,c,d (

30、2) a,c (3) b,d 2. (1) 二阶,线性(2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性 d2y23. (1)-(3)均为微分方程?y?0的解,其中(2) (3)为通解 2dx 4. (1)将变量别离,得dy11 两边积分得 通解为?cosdx?sinx?cy?,此外,2ysinx?cy 还有解y?0 ydx1d(1?y2)11dy?或?(?)dx222(2)别离变量,得1?y 21?yx1?xx?x 1ln(1?y2)?lnx?ln(1?x)?lnc两边积分,得2 即(1+ y)(1+ x)2=c1 x 22 xdx (3)将变量别离,得?x 22?ydy?y2

31、?0 2积分得通解?x+?y?c(0?c?2) 2还有使因子?x?y?0的四个解. 2 x=?(?1?y?1), y=?(?1?x?1) (4)将方程改写为(1+y)e 2x22xdx-(1+y )e ?(1?y)dy?0 ?y?edx=?(e ? ?y1?y?dy 2?1?y? 积分得12x11e?ey?arctany?ln(1?y2)- 222 (5)令 z=x+y+1,dzdz?1?sinz分解变量得到?dx(*) dx1?sinz 为了便于积分,用1-sinz乘上式左端的分子和分母,得到1?sinz1?sinzdz?dz?(se2z?secztanz)dz 221?sinzcosz 将

32、(*)两端积分得到tanz-secz=x+c ?z?)=x+c,将z换为原变量,得到原方程的通解 22 ?x?y?1x+c=-tan(?) 42即-tan( 6.令y=ux,那么dy=udx+xdu 代入原方程得x2( u2-3)(udx+xdu)+2 x2udx=0 dxu2 232y?du别离变量得,即得y=c(-) x2xu(u-1) 7. 令u?112y2222,那么原方程化为udu?dx,解得u?lnx?c,即y?xlnx?cx,由定x2x y2?x2lnx2?x4, 解条件得c?4,故所求特解为 8. 将方程化为y?()?y x211yydu?dx ，令u?，得y?xu?u,代入得

33、xxx?u2 得arcsinu?lnx?lnc，arcsiny?lncx x dyyexex1x9化为，解得y?(c?e)，代入y(1)?e得c?0特解y? ?xdxxxx 10由公式得y?ce 11.化为?(x)?(x)?1 dyydudyy ?y2lnx为贝努里方程令u?,那么原方程化为?y?2 dxxdxdxx du1111代入方程的?u?lnx用公式求得u?xc?(lnx)2解得y?c?(lnx)2?1 dxx2x2 另为，y?0也是原方程的解 12为贝努里方程令u? 解得y?2duy,那么原方程化为?2xu?2x3用公式求得u?ce?x?x2?1 dxx1 ce?x2?x?12 13

34、dy1dy?yx?y3x2将上式看成以y为自变量的贝努里方程令z?有?yz?y3 dxxdx 1?y2 2z?ce?y?2，得通解x(ce 221?y22?y2?2)?1 14令m?y?3x,n?4y?x有?m?n?1?，这是全微分方程du?0 ?y?xu?(x,y) (0,0)32即方程得通解为xy?x?2y?c (y?3x2)dx?(4y?x)dy?2y2?x3?xy， 15 化为1?xyydx?xdy2ln?x?c ，得通解为?xdx?0221?xy1?xy 该方程有积分因子161 x2?y2， ydx?xdy?xdy?ydx1y22?d(ln(x?y)?d(arctan) 2xx2?y

35、2 17y?xedx?xde?xe?edx?xe?e?c1 ?x?xx?xxx y?(xex?ex?c1)dx?ex?c1x?xex?ex?c2?ex(x?2)?c1x?c2 18y?lnxlnx1dx?2?3? ?1x2xx xlnx11y?(3?)dx?3x?ln2x?lnx?21xx2 x13x1y?(3x?ln2x?lnx?2)dx?x2?2x?ln2x? 12222x 19令z?y?，那么 z?z?x，dx?dxz?e?xe?dx?c1?ex?(x?1)e?x?c1?(x?1)?c1ex即 1y?(x?1)?c1ex得y?x?c1ex?c2 2 20令y?p，那么 y?dpdpdyd

36、pdpdp3所以yp?p?p2?p3?p(y?p?p2)?0那么得dxdydxdydydy dpdpdyp前者对应解，后者对应方程积分得?p?p2?0，?c1y即dyp(1?p)y1?pp=0或y dycy?2?p?1两边积分得y?c1ln|y|?x?c?，因此原方程的解是dx1?c1y ?y?c1ln|y|?x?c?2及y=c。 5证明：易验证y1?x1x1e，y2?e?x，是齐次线方程xy?2y?xy?0的两个线性无关xx?xex1*解，因此y?(c1e?c2e)是xy?2y?xy?0的通解，又易验证y?为非齐次线性2x1ex x?xx方程的特解，所以y?(c1e?c2e)?是xy?2y?xy?e的通解。 x2 ?(x)和6应用常数变异法，令y?c1(x)cosx?c2(x)sinx将它代入方程，那么可得决定c1 ?(x)c2 ?(x)?sinxc2?(x)?0?cosxc1?的两个方程：?1 ?(x)?cosxc2?(x)?sinxc1?cosx? 71特征方程为?2?(?2)(?