极值点偏移终极套路专题

1、全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)专题08：极值点偏移第六招一一极值点偏移终极套路值点偏移问题在高考中很常见，此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程数形结合、转换的思想解决函数问题的能力，层次性强,能力要求较高.F面给出引例，通过探究，归纳总结出解决此类问题的一般性方*1,已知f(x)=xlnxmx2-X,m壬R右f(x)有两个极值点X,x?,且XX,求证：XX2(e为自然对数的底数).i2i解法一：齐次构造通解偏移套路证法欲证西：叼A亡2,需证InjqH-Jn若/(X)有两个极值点珂，乃J即函数于心)有两个雾点又所乩补花是方程r(x)=0的两个不同实根.于是，有1吓-吧=0另

2、一方面，由：;策社得2-】吓二町7,从而可亀11+甩于是I+Inx_X丿2InXTnXi2+Xi)iX2XiOnL1XitT要证InX,+1nX22，即证:七订1？1/；】即：当ti时有心警)设函数叽心心得，5，则12GnCi)h(t所以，h(t)为(1代)上的增函数注意到，h(1)=0,因此，h(t)3h(1)=0于是，当t1时，有山上嚮所以，有mx成立，解法二变换函数能妙解证法2：欲证xxe2，需证In为+Inx2若f122即函数(x)有两个零点又fYx)=lnx-mx,所以，X，1x)有两个极值点x,1沁是方程x)=0的两个不同实根显然m0,否则，函数r(x)为单调函数,不符合题意Hnx

3、imx1-0=inx+|nX=m(x+x),i2i2InX-mx=022即只需证明m佃+可)2即可即只需证明码+X2设马(力(力一”2-丸5列T),如二茶諾0,故如在由于厂T,EP(x)5丿刘=丄_胡=12竺,故在仏丄XX巧，令乂二码，贝fxy二/M/2=故二-X55/KT/,+Qoji)f-jqVVffl解法三构造函数现实力证法3：由Xi,X2是方程f(x)=0的两个不同实根得mJ,令全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）1戶g(xi)=g(x2)，由于g(x)二匕響，因此，g(x)在(l,e)XX(e,p)J2设1X,ee2，只需证明X

4、j=（0,e），只需证明gff,即fF”2丿，即f）_f已0KS5U微信公众号中学数学研讨部落即h(x)=f(X)f22(11nxKeX)丄=0,故h(x)在(l,e)，故h(x)h(e)=0,即f(x)f令X=X,则iVx丿f(X2)=f、/2KfI，因为2X,邑亡（e,址），f（X牡（e,址N，所以2X一，Xi2xxe2l解法四巧引变量（一）证法4:设1=1门石亡（0,1t，%巳心）2则由Pnx；：mx；：00得X2【；二寫-t二尸，设k“i70,则t舟，厂#欲证xJe,需证【D画+1口花人2即只需证明专+石A2，即八(A:)二Jtl+e*)2e*l)(it0)-e*+1畧（在）二辰止e（

5、0）=O,au仗）在（，因此1仗）（0）=0命题得全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)解法五巧引变量(二)证法5：鳥二X2：0)得设t严1忙(0,1),tInX巳山)，则由2=2tml血kInk,t_Lt2=让e，设tr”)，则t口，t厂R欲证xxe,需证InX+lnx1212,2即只需证明t卄2,2pt=meInk2，即(k+rnkk-1?卄/化一一Inkk1。，k+1k+1、八设g(k)=2(k1)lnk-k+1(kM(0,1)，g2(k1)(k)=0，k(k+1)故g(k在(0,1)，因此g(k)cg(1)=0,命题得证已知函数f(

6、X)=x2-(a-2)x-alnx,若方程f(x)=c有两个不相等的实数根0X2，2求证：fU：0【解析】证明：法一：由/(X)=JC-a-2x-tjlnx得/V=49纟勺上=2J-S-2)=(2x-g+l)故只有时，方程=E才有两个不相等的实数根西:兀：不妨设画C帀，则0羽彳弋乃西一(口一2)Xl-3111西二c,八2(a2)花一din=：满足两式相减得：码2(口2)坷一一cln西卷+(o2)疋2+ahi=0“时十2咼-花2-2花jq+lii西一巧一Id化简得：欲证：f子Ao=f-(j)，结合f-(x)的单调性,即证：22+lnx等价于证冷为圾2n二吒亠xz1x2xxx,+x22x2x2令t

7、=一,（0t1），构造函数g（t）=1nt-ct1），t+1求导由单调性易得原不等式成立，略法二：接后续解:由得：(X+X)(xX)(a2)(人一X)aln乞一X,2122=02即：+花)一(a2)=0而计m2二一由得：八占二亠_上_20“丑一1要证*f(生色)西一画一花迪+1构造函数m(t)=1nt-2(t),(00,XX0,故f(g)：0成立.i-2法三：接后续解：视X为主兀，设g(x)=1nx一Inx2-2(xX2)卫仕)=丄4x_(X-X2)212x+XX(x+X)2_(x+X)222则g(x)在xW0,X)上单调递增，故g(x)Vg(X)=0,22再结合小，一，故f(宁)0成立.2f

8、G+x)f(X2)=f(Xi)f(a-Xi)i从而f(X)f(ax),(0 xa7,2即匕，从而f(4)0成立.222招式演练：已知函数f(x)=lnx-ax+b(a,b忘R)有两个不同的零点：x2(I)求f(X)的最值;（II）证明：xiXa【答案】（1）一Ina-1+b,无最小值见解析全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）【解析】试题分析：求出导函数f（x）=-a,f仗）0二二/（在0二上单増,Xaaj（九珂扑论-屮，无最小值;通过鹽；：二两式相,故B证Jq花V4即证111纽：垒一2+互，不妨设珂5,令卷二已%-帀-（0），a花花西可则只需证111牛-2+1,构造函数gt=nh-t

9、+2通过a数的导数臥及的数的单调性求解最值即可一试题解析：（I）r（x）二-di/（力有两个不同的零点知引A/（x）在（6血）内必不单调故X此时f（力AOn工丄/（刃在10丄）上电増,fL他）上单减，I丿丿C）三-In3l+if无最小值r_,L=0In由题知砖-;+两式相减得哙-心即定故要证还V4，即证A,违二（兀可），即证I垒匚帀）丑-2+互a%备乃花西不妨设丙令兰=fE（0J），则只需证g讥一2+1七f4I21nff+-设訴）=】-+2,贝馆尸2如一1+丁二亘/ttt设/i（）=2W-/+-J则矶f）=-（x刈1）=0,:.st在1）上单增，二（0）=0,即h左一2+在fE（ai）时恒成立

10、原不等式得证*【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明，属于难题不等式证明问题是近年咼考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明.已知函数g（x）=xe（2x（a亡R）,e为自然对数的底数.全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)讨论g(x)的单调性；若函数f(x)=lng(x)-ax2的图象与直线y二m(R交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：fYxO)O(fS)为函

11、数f(x)的导函数)【答案】(1)见解析(2)见解析t解析】d)由题可知，农(兀)二呂炉咖+握(2-曲气2a)=&ffl匸4x-a-2令y(K)0j贝ij(2ax+l0X2日寸，令y(兀)0,BJ2zi)jc+l0,jc令丫兀)0,贝J(2-a)x+l2时二在(2)f(x)=2ax2x+Tax1)xln(xef/虫厶)上单调递増，在I-3-27丄皿上单调递a2Jxax2=Inx+(2-a)x-ax2(x；0),(x)J+(2-a)-2当a兰0时，f(X)：0,y=g(x在(0,+处上单调递增，与直线y二m不可能有两个交点，故a0.令f(x)30,贝U0 x丄；令f(x)0,贝UxJ，故y二g(

12、x)在0八上aala上单调递减.不妨设A(X,m),B(X,m),且i2单调递增，在,邑C12丿C10 x1X2要证f(Xo)，需证aXo-lA。口、即证1Xo=Xa2+X2a2X2ax,(2rf(X2f1一X152丿又f(X1)=f(X)，所以只需证f(xj2_，即证：当0 x丄时，vafxLf(X)0la丿、(2、设F(X)=fI-xf(X)=In(2-ax)-1(ax)+2ax-2,la丿1laF(x)-a1-+22-axX22(ax1)0ax)(2la丿),21丿laa丿-f-f(x)在上单调递减，又0，-f0，原不等式成立.丿故F(x)=f-Xla已知函数f(x)=ax2-1nx-2

13、的图象的一条切线为x轴(1)求实数a的3Xi,X2满足值；(2)令g(x)=|f(x)+厂(x|，若存在不相等的两个实数g(xg(x)，求证：XX02X12二吨-J压-二f设切点坐标为（观4由题意得XQ2观=1解得：2.3=3当XA1时，0Vi0,lx丿全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)、f1)不妨设OcXlvX，贝g(X)=g(X):gIi0恒成立，故y=g(t)在(0,1)上单调递增从而得出不存在试题解析：函数y=f(X)的定义域为(0,+处)，且f1x)=1-ax+b,x又(1)=0，整理得b=a1.(1)fgJ-ax+bJ-ax

14、+a-1axFxFxx当aXO时，易知X巳0,1),f(x):0,x巳1,址)时f(x)0，故y=f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,母)上单调递减.当av0地，令fYx)=0，解得X=1或X=，贝Ja当-1=1，即a=-1时，a(x)X0在(0,代上恒成立，则y=f(x)在(0,代)上递增.全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编（附详解）当一-A1,即一140；当英屮一才时，厂（力0-所以：$=/（刘在（0）及（一丄如上单调递増：y二A八在h-fl上递减当一一1,即4一1时，当HEQ51他）时，广0）A（bflIa丿当珂一討时，/x）0.所九y

15、二/W在卜-；J及冋上单调递増：尸mo在1J上递减综上：当20时，尸人对在（Q1）上单调递増，在口代J上单调递减.当一1a0时，y/4、=f（x）在（0,1）及】、上单调递增:Ia丿y=f(X)在1,一丄】上单调递减.当3a=T时，y=f（X）在（0,+处上递增.当aV-1时，y=f（x）在o,丄及（1,母）上单调递增;Va丿y=f(x)在满足条件的么不存在，理宙如T：假设满足条件的心启存在，不妨设/（码（乃宀）且0吗：花，则老二于爰却5又仆舛卷+口_1，又由题有：（兀），整理可得ln3q-】5_2r血吗-2jti-2Xi_码西珂+帀巾码+花A+1r2A-1I花丿兀1构造数（#）二血一年订U/

16、0/t）恒成立，故F二g（f）在（Q1）上单调遥检所以Eai）时，畫列1）二0,所叹C）不可能成立，综上满足条件的風月不存在.点睛：对于导数问题，做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响,可以通过分析导数零点的大小来逐一分析，对于此题第二问的类型,要注意函数的构造和假设，分析函数单调性求最值从而得出结论已知函数f（X）=xlnx+ax-X+a（a忘R）在2其定义域内有两个不同的极值点.（1）求a的取值范围.（2）设f（x）的两个极值点为X,X，证明XXe2i2i2【答案】（土a2彷+在)2,利用导数证明不等式关键是构造恰当的a数：西X,/等价于晒+期2彷+在)2,22而由零点可得-一代入化简得

17、m玉生山切，令巴二广，则k心竺9,因此构造函数对-花Xjjq+jf+1耳=12-些9利用导数求其最小倩为童(1二0,由于fAl,所以命题得证.试题解析：(1)依题意，函数f(x)的定义域为(0,代)，所以方程f(x)=0在(0,+处)有两个不同根即方程Inx+2ax=0在(0,+处)有两个不同根.转化为，函数g(x戶一与函数y=-2a的图象在(0,址)上有两个不同交x点八、八、又g(x)=_，即0丈xce时，g(x)A0,xe时，g(x)21-2X全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)全国名校高考数学复习压轴大题专题汇编(附详解)原不等式pH等价于曲i+lnx2:2=aw+x?)lna

18、XV2XXJ+x2KS5UKS5U.KS5U令2L=t,则t1,In生兰土匀二IntA辽X2X,+X2t+1设gm一芈尹，2,g番-，二函数g(t)在(1,母上单调递增，二g(t)g(i)=o,h(x)=f(x)-g(x)根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用即不等式1心彩成立故所证不等式xxe2成立.i2点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数单调性得不等量关系，进而证明不等式.(2)根据条件，寻找目标函数一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数已知函数，A(x,m),B(x,m)是曲线y=f(x)上两个不同12e的点.(I)求f(x)的单调区间，并写出实数m的取值范围；(n)证明：为+x0.2【答案】(I)m的取值范围是(0,1)；(n)见解析.【解析】试题分析：(I二，由f得，/仗)的单调増区间为6由/x)0e得，单调减区间为再根据一网与尸几刘有两个交点可得结果：II)根据函数的单调性原不等式等价于即是佃-1)宀+西+10,根据导数研究函数的单