竞赛培训专题5-指数函数

1、PAGE PAGE - 10 -竞赛培训训专题55指数函函数、对对数函数数一、计算算：例1.化化简(1) (22)(3)解：(11)x的指数数是所以原式式=1(2)xx的指数数是=0所以原式式=1(3)原原式=例2.若若，求解：因为为所以f(x)+f(1-x)=11=例3.已已知m,n为正整整数，aa0,a1,且求m,nn解：左边边=原式为llogaa(m+n)=llogaamn得m+nn=mn即(m-1)(n-1)=1因为m,nN，所所以从而而m=n=2二、比较较大小例1.试试比较与与的大小小解：令11219995=a0则则=所以例2.已已知函数数f(x)=llogaax (a0,a1,xR

2、+)若x1,x2R+,试比比较与的大小小解：f(x1)+f(x2)=llogaa(x1x2)x1,x2R+, (当且仅仅当x1=x2时，取取“=”号号)，当a11时，有有，即 (当当且仅当当x1=x2时，取取“=”号号)当a11时，有有，即 (当当且仅当当x1=x2时，取取“=”号号)例3.已已知y1=，y2=，当x为何值值时(1)yy1=y2 (2)yy1y2 (3)yy1y2的充要要条件是是：2xx2-3x+1x2+2x-5 解得xx3(3)yy1y2的充要要条件是是：2xx2-3x+1x2+2x-5 解得22x3三、证明明例1.对对于自然然数a,b,c (abc)和实实数x,y,z,w若

3、ax=by=cz=700w (11) (2)求证：aa+b=c证明：由由(1)得：把(2)代入得得：abbc=770=2257,aabc由于a,b,c均不会会等于11，故aa=2,b=5,c=7从从而a+b=c例2.已已知A=6lggp+lggq，其中中p,q为素数数，且满满足q-p=299，求证证：3A44证明：由由于p,q为素数数，其差差q-p=299为奇数数，pp=2,q=311A=6llg2+lg331=llg(226311)=llg199841000019984100000故3A0,a1)且 (q为锐锐角)，求求证：11a1又f(115)=siinq+cossq=1故a115 综合得

4、得：1a155例4.已已知0a1,x2+y=0，求求证：证：因为为0aa0,ay0由由平均值值不等式式故四、图象象和性质质例1.设设a、b分别是是方程llog22x+x-3=0和22x+x-3=0的根根，求aa+b及loog2a+2b解：在直直角坐标标系内分分别作出出函数yy=2x和y=loog2x的图象象，再作作直线yy=x和y= -x+3，由由于y=2x和y=loog2x互为反反函数，故故它们的的图象关关于直线线y=x对称，方方程loog2x+x-3=0的根根a就是直直线y= -x+3与与对数曲曲线y=loog2x的交点点A的横横坐标，方方程2xx+x-3=0的根根b就是直直线y= -x+

5、3与与指数曲曲线y=2x的交点点B的横横坐标设y= -x+3与与y=x的交点点为M，则则点M的的横坐标标为(11.5,1.55)，所以a+b=2xM=3 loog2a+2b=2yM=3例6.设设f(x)=mmin(3+，llog22x),其其中miin(pp,q)表示示p、q中的较较小者，求求f(x)的最最大值解：易知知f(x)的定定义域为为(0,+)因为y11=3+在(00,+)上是是减函数数，y2=loog2x在(00,+)上是是增函数数，而当当y1=y2，即3+=llog22x时，x=4，所所以由yy1=3+和y2=loog2x的图象象可知故当x=4时，得得f(x)的最最大值是是2另解：

6、ff(x)33+=33- (1) f(x)=llog22x (2)(1)2+(2)消消去loog2x，得33f(x)66，f(x)22又f(4)=2,故f(x)的最最大值为为2例7.求求函数的的最小值值解：由11-3xx0得得，x0且且a1,求证：方程aax+a-x=2a的根不不在区间间-11,1内解：设tt=ax,则原原方程化化为：tt2-2att+1=0 (1)由D=4a2-40得aa1,即a1令f(tt)= tt2-2att+1 , f(a)=a2-2a2+1=1-aa20所以f(t)的图图象与横横轴有的的交点的的横坐标标在之外外，故方方程t2-2att+1=0在之之外有两两个实根根，原

7、方方程有两两实根且且不在区区间-1,11内例3.解解方程：lg22x-llgx-22=0 (其中中x表示示不大于于实数xx的最大大整数)解：由x的定定义知，xx，故原原方程可可变为不不等式：lg2xx-lggx-20即-1llgx2当-1lgxx0时时，llgx= -1，于于是原方方程为llg2x=1 当0llgx1时时，llgx=00，原方方程为llg2x=2，均均不符合合lggx=00当1llgx0且且a1，设设u=x2+ax+55，原不不等式可可化为(1)当当0aa1时时，不等等式化为为 (22)由f(44)=11知，(2)等等价于00u4，即即0 xx2+ax+554从上式可可知，只只有当xx2+ax+55=4有有唯一解解即D=a2-4=0，aa=2时时，不等等式0 x2+ax+554有有唯一解解x= -1综上所述述，当aa=2时时原不等等式有且且只有一一个解例5.已已知a0且且a1，试试