4.4极坐标中的应力函数法

1、第四章平面问题的极坐标解答第4讲极坐标中的应力函数法14.4 极坐标中的应力函数法在第三章“平面问题的直角坐标解答”中已经充分了解到，当体力为常量时，应力函数法是求解弹性力学平面问题的一种有效方法。当采用极坐标研究问题时，希望还能继续使用这种方法，那么就需要知道极坐标中应力函数法的相关公式。回顾一下，在第二章，是从基本方程出发引入Airy 应力函数 ，并得到 在弹性体内所应满足的相容方程的。在极坐标中也可以这么做，但是过程极其繁琐。现在直接从直角坐标中的相关公式出发，利用坐标转换关系，来推导极坐标中应力函数法的相关公式。24.4.1 直角坐标中应力函数法的相关公式当体力为常量时，按应力求解平面

2、问题归结为求解一个应力函数 ，它必须满足下列条件：4 区域内的相容方程4 24 4 0.x4x2y2y4() 边界 S 上的应力边界条件(l xy my )s fy (s)这里假设全部为应力边界，即S =S ，Su =0；上式中的应力分量： 2 22fx.yxy2 对于多连体，还需补充位移单值条件。这就是直角坐标中平面问题应力函数法的完整表述。34.4.2 求导运算的坐标变换公式任意一点 P 的极坐标和直角坐标之间有如下转换关系：xOyyx cos , y sin . y2 , arctan;xx 2xP从而 、 对 x、y 的导数y x y y sin ,x cos . cos , sin

3、;xyx2y2现将应力函数 (x, y) 看做是通过中间变量 、 对 x、y 的复合函数，即(x, y) (x, y), (x, y)那么，根据复合函数的链式求导法则，有一阶导数的变换公式： cos sin 重复该运算，经整理后， 得到二阶导数的变换公式：4 cos sin y yy4.4.3 极坐标中应力分量与应力函数之间的关系 12 1212 x cos2 s 2 y222 12 121 2 sin cos y sin2 cos2 2 x 2222 1 1 22 1 sin cos (cos2 sin2 ) xy2 2 xy2当不计体力，即 fx时，以上三式为直角坐标中的应力分量。 fy

4、0 可根据上一讲推出的应力分量由直角坐标向极坐标的变换式得到。 x y x y cos 2 sin 2xy22这种方法虽然直接，但是运算量不小。 x y x y cos 2 sin 2xy22 xy2sin 2 cos 2xy54.4.3 极坐标中应力分量与应力函数之间的关系 12 1212 x cos2 s 2 y222 12 121 2 sin cos y sin2 cos2 2 x 2222 1 1 22 1 sin cos (cos2 sin2 ) xy2 2 xy2 将直角坐标旋至与极坐标重合的位置xO2 1 21 2 x y 22y002 2 xP2 y xy20 x 0 0, 1

5、 y 2 xy 0 6xy 04.4.3 极坐标中应力分量与应力函数之间的关系 12 1212 x cos2 s 2 y222 12 121 2 sin cos y sin2 cos2 2 x 2222 1 1 22 1 sin cos (cos2 sin2 ) xy2 2 xy2不计体力时，极坐标中应力分量与应力函数之间的关系式：71 1 2 2 22 2 1 4.4.4 极坐标中的相容方程 12 1212 x cos2 s 2 y222 12 121 2 sin cos y sin2 cos2 2 x 2222 1 1 22 1 sin cos (cos2 sin2 ) xy2 2 xy2 2 2 2 2 1 21前两式相加，有xyx 2y22 222 121于是极坐标中的Laplace 算子2 222从而极坐标中的相容方程：8 2112 24 02 2 2 4.4.5 极坐标中应力函数法的相关公式当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题，归结为求解一个应力函数 ，它必须满足下列条件：2 22112 区域内的相容方程4 0.2 2 () m)s f(s) 边界 S 上的应力边界条件(l这里