浙江专版2022学年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例学案新人教A版必修4

1、（浙江专版）2021学年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例学案新人教A版必修4PAGE PAGE 392.5eq avs4al(平面向量应用举例)预习课本P109112，思考并完成以下问题.(1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ (2)如何用向量方法解决物理问题？ (3)如何判断多边形的形状？ eq avs4al(新知初探)1用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把运算结果“翻译”成几何关系2向量在物理中的应用(1)物

2、理问题中常见的向量有力、速度、位移等(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中(3)动量mv是向量的数乘运算(4)功是力F与位移s的数量积eq avs4al(小试身手)1若向量(2,2)，(2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1F2|为()A(0,5)B(4，1)C2eq r(2) D5答案：D2在四边形ABCD中，0，则四边形ABCD是()A直角梯形 B菱形C矩形 D正方形答案：C3力F(1，2)作用于质点P，使P产生的位移为s(3,4)，则力F对质点P做的功是_答案：11向量在几何中的应用题点一：平面几何中的垂直问题1.如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中

3、点，求证：AFDE.证明：法一：设a，b，则|a|b|，ab0，又aeq f(1,2)b，beq f(1,2)a，所以eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,2)a)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b)eq f(1,2)a2eq f(3,4)abeq f(1,2)b2eq f(1,2)|a|2eq f(1,2)|b|20.故，即AFDE.法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，2)220，所以，即AFDE.题点二：平面几何中的平行(或共线)问题2.

4、 如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且eq f(CE,ED)eq f(AF,FB)eq f(1,2).求证：点E，O，F在同一直线上证明：设m，n，由eq f(CE,ED)eq f(AF,FB)eq f(1,2)，知E，F分别是CD，AB的三等分点，eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,3)meq f(1,2)(mn)eq f(1,6)meq f(1,2)n，eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,2)(mn)eq f(1,3)meq f(1,6)meq f(1,2)n.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上题点三：平面几何中的长度问

5、题3.如图，平行四边形ABCD中，已知AD1，AB2，对角线BD2，求对角线AC的长解：设a，b，则ab，ab，而|ab|eq r(a22abb2)eq r(142ab)eq r(52ab)2，52ab4，abeq f(1,2)，又|2|ab|2a22abb2142ab6，|eq r(6)，即ACeq r(6).用向量方法解决平面几何问题的步骤向量在物理中的应用典例(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？(2)已知两恒力F1(3,4)，F2(6，5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7

6、,0)，求F1，F2分别对质点所做的功解(1) 如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度因为，所以四边形ABCD为平行四边形在RtACD中，ACD90，|12.5，|25，所以CAD30，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30.(2)设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为WFs.(7,0)(20,15)(13，15)W1F1(3,4)(13，15)3(13)4(15)99(焦)，W2F2(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3(焦)一题多变1变设问本例(2)条件不变，求F1，F2的合力F为质点所做的功解：WF(F1F2)(3,4)(6，5)(13，

7、15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)11715102(焦)2变条件本例(2)条件变为：两个力F1ij，F24i5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴、y轴同方向的单位向量)求：F1，F2分别对该质点做的功解：(7,0)(20,15)(13，15)，F1做的功W1F1sF1(1,1)(13，15)28(焦)F2做的功W2F2sF2(4，5)(13，15)23(焦)用向量方法解决物理问题的“三步曲”层级一学业水平达标1已知三个力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力

8、f4，则f4()A(1，2)B(1，2)C(1,2) D(1,2)解析：选D由物理知识知f1f2f3f40，故f4(f1f2f3)(1,2)2人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为()Av1v2 Bv1v2C|v1|v2| D.eq blc|rc|(avs4alco1(f(v1,v2)解析：选B由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1v2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量3已知四边形ABCD各顶点坐标是Aeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(7,3)，Beq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,3)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1

9、,2)，2)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，2)，则四边形ABCD是()A梯形 B平行四边形C矩形 D菱形解析：选Aeq blc(rc)(avs4alco1(2，f(8,3)，(3,4)，eq f(2,3)，即ABDC.又|eq r(4f(64,9)eq f(10,3)，|eq r(916)5，|，四边形ABCD是梯形4在ABC中，AB3，AC边上的中线BDeq r(5)，5，则的长为()A1 B2C3 D4解析：选Beq f(1,2)，BD2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) )2eq f(1,4)，即eq f(1,4)1.|2，即AC2.5已

10、知ABC满足，则ABC是()A等边三角形 B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形解析：选C由题意得，2()2，0，ABC是直角三角形6已知力F(2,3)作用于一物体，使物体从A(2,0)移动到B(2,3)，则力F对物体所做的功是_解析：(4,3)，WFsF(2,3)(4,3)891.答案：17用两条成120角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N，则每根绳子的拉力大小为_ N.解析： 如图，由题意，得AOCCOB60，|10，则|10，即每根绳子的拉力大小为10 N.答案：108已知A，B是圆心为C，半径为eq r(5)的圆上的两点，且|AB|eq r(5)，则_.解析：由弦长|AB|

11、eq r(5)，可知ACB60，|cosACBeq f(5,2).答案：eq f(5,2)9已知ABC是直角三角形，CACB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE2EB.求证：ADCE.证明：如图，以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系设ACa，则A(a,0)，B(0，a)，Deq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，C(0,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)a，f(2,3)a).所以eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)a，f(2,3)a).所以aeq f

12、(1,3)aeq f(a,2)eq f(2,3)a0，所以，即ADCE.10已知点A(2，1)求过点A与向量a(5,1)平行的直线方程解：设所求直线上任意一点P(x，y)，则(x2，y1)由题意知a，故5(y1)(x2)0，即x5y70.故过点A与向量a(5,1)平行的直线方程为x5y70.层级二应试能力达标1已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A10 m/sB2eq r(26) m/sC4eq r(6) m/s D12 m/s解析：选B设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则

13、|v1|2，|v|10，vv1，v2vv1，vv10，|v2|eq r(v22vv1voal(2,1)2eq r(26)(m/s)2在ABC中，AB3，AC2，eq f(1,2)，则的值为()Aeq f(5,2) B.eq f(5,2)Ceq f(5,4) D.eq f(5,4)解析：选C因为eq f(1,2)，所以点D是BC的中点，则eq f(1,2)()，eq f(1,2)eq f(1,2)()，所以eq f(1,2)()eq f(1,2)()eq f(1,4)()eq f(1,4)(2232)eq f(5,4)，选C.3.如图，在矩形ABCD中，ABeq r(2)，BC2，点E为BC的中

14、点，点F在边CD上，若eq r(2)，则的值是()A.eq r(2) B2C0 D1解析：选A，()eq r(2)|eq r(2)，|1，|eq r(2)1，()()eq r(2)(eq r(2)1)122eq r(2)2eq r(2)，故选A.4.如图，设P为ABC内一点，且220，则SABPSABC()A.eq f(1,5) B.eq f(2,5)C.eq f(1,4) D.eq f(1,3)解析：选A设AB的中点是D.2eq f(1,2)，eq f(1,4)，P为CD的五等分点，ABP的面积为ABC的面积的eq f(1,5).5若O为ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，则ABC的形

15、状为_解析：()(2)()()()()|2|20，|.答案：等腰三角形6.如图所示，在倾斜角为37(sin 370.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为_J，重力所做的功为_J(g9.8 m/s2)解析：物体m的位移大小为|s|eq f(2,sin 37)eq f(10,3)(m)，则支持力对物体m所做的功为W1Fs|F|s|cos 900(J)；重力对物体m所做的功为W2Gs|G|s|cos 5359.8eq f(10,3)0.698(J)答案：0987.如图所示，一个物体受到同一平面内三个力

16、F1，F2，F3的作用，沿北偏东45的方向移动了8 m，其中|F1|2 N，方向为北偏东30；|F2|4 N，方向为北偏东60；|F3|6 N，方向为北偏西30，求合力F所做的功 解：以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1(1，eq r(3)，F2(2eq r(3)，2)，F3(3,3eq r(3)，所以FF1F2F3(2eq r(3)2,24eq r(3)又位移s(4eq r(2)，4eq r(2)，故合力F所做的功为WFs(2eq r(3)2)4eq r(2)(24eq r(3)4eq r(2)4eq r(2)6eq r(3)24eq r(6)(J)即合力F

17、所做的功为24eq r(6) J.8.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，G为BE与DF的交点若a，b.(1)试以a，b为基底表示，；(2)求证：A，G，C三点共线解：(1)eq f(1,2)ba，eq f(1,2)ab.(2)证明：因为D，G，F三点共线，则DG，即eq f(1,2)a(1)b.因为B，G，E三点共线，则BG，即(1)aeq f(1,2)b，由平面向量基本定理知eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)1，,1f(1,2)，)解得eq f(2,3)，eq f(1,3)(ab)eq f(1,3)，所以A，G，C三点共线 (时间120分钟满分150

18、分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在五边形ABCDE中(如图)，()ABC D解析：选B.2已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于()A5 B.eq r(13)C.eq r(17) D13解析：选B因为ab(3,2)，所以|ab|eq r(3222)eq r(13)，故选B.3设向量a，b均为单位向量，且|ab|1，则a与b的夹角为()A.eq f(,3) B.eq f(,2)C.eq f(2,3) D.eq f(3,4)解析：选C|ab|1，|a|22ab|b|21，cosa，beq f(1,2).

19、又a，b0，a，beq f(2,3).4已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则()A4 B3C2 D1解析：选B因为mn(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23,3)(1，1)260，解得3.5如图，M，N分别是AB，AC的一个三等分点，且()成立，则()A.eq f(1,2) B.eq f(1,3)C.eq f(2,3) Deq f(1,3)解析：选B由eq f(1,3)，且，得eq f(1,3).6设点A(1,2)，B(2,3)，C(3，1)，且23，则点D的坐标为()A(2,16) B(2，16)C(4,16) D(2,0)解析：选

20、A设D(x，y)，由题意可知(x1，y2)，(3,1)，(1，4)，232(3,1)3(1，4)(3,14)eq blcrc (avs4alco1(x13，,y214，)eq blcrc (avs4alco1(x2，,y16.)故选A.7某人在静水中游泳，速度为4eq r(3) km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为()A90 B30C45 D60解析： 选D如图，用表示水速，表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为AOC.于是tanAOCeq f(|,| |)eq f(|,| |)eq f(|v静|,|v水|)eq

21、r(3)，AOC60，故选D. 8设D、E、F分别是ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2，2，2，则与 ()A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直解析：选A()()()eq f(1,3)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) )eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,3)，()与平行且方向相反9设a，b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|解析：选C若|ab|a|b|，则a，b共线，即存在实数，使得ab

22、，故C正确；选项A：当|ab|a|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若ab，由矩形得|ab|a|b|不成立；选项D：若存在实数，使得ba，a，b可为同向的共线向量，此时显然 |ab|a|b|不成立10已知点O，N，P在ABC所在的平面内，且|，0，则点O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心解析：选C因为|，所以点O到三角形的三个顶点的距离相等，所以O为ABC的外心；由0，得，由中线的性质可知点N在AB边的中线上，同理可得点N在其他边的中线上，所以点N为ABC的重心；由得0，则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂

23、线上，所以点P为ABC的垂心11已知平面上直线l与e所在直线平行且eeq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(3,5)，点O(0,0)和A(1，2)在l上的射影分别是O和A，则e，其中等于()A.eq f(11,5) Beq f(11,5)C2 D2解析：选D由题意可知|cos()(为与e的夹角)O(0,0)，A(1，2)，(1，2)eeq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(3,5)，e1eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)(2)eq f(3,5)2|e|cos ，|cos 2.又|e|，2.又由已知可得0，则ABC为锐角三角形其中正确的

24、命题有()A BC D解析：选C，错误0，正确由()()0，得|，ABC为等腰三角形，正确0cos，0，即cos A0，A为锐角，但不能确定B，C的大小，不能判定ABC是否为锐角三角形，错误，故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13平面向量a，b满足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，则向量a，b的夹角为_解析：(ab)(a2b)|a2|ab2|b|21ab87，ab0，ab.故a，b的夹角为eq f(,2).答案：eq f(,2)14已知向量a，b的夹角为120，|a|1，|b|3，则|5ab|_.解析：|5ab|eq r(|5ab|2)eq r(5ab2)eq r(25a2b210ab) eq r(2591013blc