北师大版八年级上册数学课件（第7章 平行线的证明）

1、第七章 平行线的证明7.1 为什么要证明1课堂讲解证明的必要性 证明的常用方法 2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论. 观察、实验、 归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！(1)图1中两条线段a, b的长度相等吗？图2中的四边形是正方 形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论.图1图2(2)如图3,把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长 l m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间 的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想、 象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一 致，并与同伴进行交流. 别太信任你的眼睛和直觉哟！图31知识

2、点证明的必要性1.许多猜想的结论，数学上的一些结论以及数学之外的其他事实， 应当追其缘由，推理证明是非常必要的 (1)要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验，观察、归纳是 不够的，必须进行有根有据的证明 (2)没有经过严格的推理，仅由若干特例归纳得出的结论可能潜藏 着错误 (3)对一个结论要肯定其是正确的，必须通过一步一步推理，论证 才能下结论知1讲知1讲2.要点精析： (1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的； (2)图形的性质并不都是通过测量得出的； (3)对少数具体例子的观察、测量或计算得出的结论， 并不能保证一般情况下都成立； (4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题的本 质例

3、1 一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，若把它的 十位数字与个位数字对调，将得到一个新的两位数，这两 个数的和能被11整除吗？我们可验证一下：比如23，把它 的十位数字与个位数字对调后得到新的两位数32，而23 3255，因此我们断定，这两个数的和能被11整除问： 上述说法正确吗？导引：没有经过严格的推理，仅由特例得出的结论可能潜藏着错 误，因此要判断这两个数的和是否能被11整除，我们必须要 证明，原两位数为10ab，得到的新两位数为10ba，先求 10ab与10ba的和，再看这两个数的和是不是11的倍数， 若是，则能被11整除，否则不能被11整除知1讲解：上述验证过程只是一个特例，为

4、了验证结论的正确 性，可作如下推理：原两位数为10ab，得到的新 两位数为10ba，(10ab)(10ba)11(a b)， 因为11(ab)是11的整数倍，所以这两个数的 和能被11整除 知1讲 例2 观察图，(1)中间的圆圈大还是(2)中间的圆圈大？导引：仅凭观察得到的结论不一定正确眼睛看到的并 不一定可靠，眼睛有时会产生一些错觉本例中 感觉(1)中间的圆圈好像比(2)中间的圆圈要小一 些，实际上这两个圆圈是一样大的解：一样大知1讲 总 结知1讲 实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论知1练 1 下列推理正确的是() A弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，

5、到了明年， 哥哥比弟弟只大5岁了，因为弟弟明年比今年长 大了1岁 B如果ab，bc，那么ac CA与B相等，原因是它们看起来大小差不多 D因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对 顶角B知1练 (中考台州)某班有20位同学参加围棋、象棋比赛， 甲说：“只参加一项的人数大于14人”乙说：“两项都参加的人数小于5.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中是真命题的是() A若甲对，则乙对 B若乙对，则甲对 C若乙错，则甲错 D若甲错，则乙对 B2知识点证明的常用方法知2导做一做 (1) 代数式n2n+11的值是质数吗？取n=0，1，2，3，4， 5试一试，你能否由此得到结论：对于所有自然数n，

6、 n2n+11 的值都是质数？与同伴进行交流.知2导 (2) 如图，在ABC中，点D，E分别是AB， AC的中点， 连接DE，DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？ 请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能肯定你的 结论对所有的ABC都成立吗？与同伴进行交流.议一议 实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑.知2导知2讲1.检验数学结论常用的方法：主要有：实验验证、举出反例、推理证明实验验证是 最基本的方法，它直接反映由具体到抽象、由特殊到一 般的逻辑思维方法；举出反例常用于说明该数学结论

7、不 一定成立；推理证明是最可靠、最科学的方法，是我们 要掌握的重点实际上每一个正确的结论都需要我们进 行严格的推理证明才能得出检验数学结论的具体过程： 观察、度量、实验猜想归纳结论推理正确结论知2讲2.应用：检验数学结论常用的三种方法的应用： 实验验证法常用于检验一些比较直观、简单的结论；举 出反例法多用于验证某结论是不是正确的；推理证明主 要用来进行严格的推理论证，既可以验证某结论是正确 的，也可以验证某结论是不正确的知2讲例3 我们知道：224，224. 试问：对于任意数a与b，是否一定有结论abab?导引：通过举反例，找出使abab不成立的a，b的 值，就可以得出答案 解：326，而32

8、5， 因为65，所以不是对于任意数a与b，都有结论ab ab. 知2讲例4 如图，一根细长的绳子，对折5次，用剪刀沿5次对折后的中间 将绳子全部剪断，此时细绳被剪成_段导引：根据题意列表如下：例图对折次数123n段数3592n133总 结知2讲 实验、观察、归纳得出的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据推的证明知2练 1 下列推理正确的是() A若ab，bc，则ac B若ab，bc，则ac C因为AOBBOC，所以两角是对顶角 D因为两角的和是180，所以两角互为邻补角A知2练 2 (中考重庆)如图所示，下列图形都是由

9、面积为1的正方形按一 定的规律组成，其中，第个图形中面积为1的正方形有2个，第个图形中面积为1的正方形有5个，第个图形中面积为1的正方形有9个，按此规律，则第个图形中面积为1的正方形的个数为() A20 B27 C35 D40B第七章 平行线的证明7.2 定义与命题第1课时 定义与命题1课堂讲解定义 命题真命题与假命题2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升请阅读以下几句话：（1）具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和 国公民.（2）两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.（3）无限不循环小数称为无理数.（4）今天要下雨.（5）我们要充满梦想，执着地飞翔.1知识点定 义1.对名称和术语的含

10、义加以描述，作出明确的规定， 也就是给出它们的定义2.定义是证明的重要依据，它既可以作为性质应用， 又可以作为判定方法应用知1讲 例1 下列语句属于定义的是() A两点确定一条直线 B两直线平行，同位角相等 C等角的补角相等 D三条边都相等的三角形叫做等边三边形导引：定义是对名称和术语的含义加以描述，作出 明确的规定，只有D中语句符合要求，故选D.知1讲D 知1练 1 下列语句属于定义的有() 含有未知数的等式称为方程； 等式(ab)2a22abb2称为两数和的完全平方 公式； 如果a，b为实数，那么(ab)2a22abb2； 三角形内角和等于180. A1个 B2个 C3个 D4个B2知识点

11、命 题知2导议一议 下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流.（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；（2）对顶角相等；（3）无论n为怎样的自然数，式子n2n+11的值都是质数；（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也 互相平行；（5）你喜欢数学吗？（6）作线段AB=CD.知2讲1.定义：判断一件事情的句子，叫做命题2.命题的结论：命题由条件和结论两部分组成 条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项 呈现方法：命题通常可以写成“如果那么”的 形式；其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出 的部分是结论 注：有些命题的题设和结论不明显，可将它经过适当变

12、 形，改写成“如果那么”的形式 知2讲例2 下列语句：(1)时间都去哪儿了？(2)画一条直线的 平行线；(3)长方形的四个角都是直角；(4)4不是偶 数其中命题共有()个 A1B2C3D4导引：紧扣命题的定义进行判断：(1)是一个疑问句，没有 作出判断，所以不是命题；(2)没有包含判断的意思， 所以不是命题；(3)对一件事情作出了肯定的判断， 所以是命题；(4)对事情作出了否定的判断，所以是 命题. B总 结知2讲 命题是表示判断的语句，它包含有因果关系，一 般都是以陈述句的形式展现；其他如疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题.知2讲例3 把下列命题改写成“如果那么”的形式： (

13、1)对顶角相等； (2)垂直于同一条直线的两条直线平行； (3)同角或等角的余角相等导引：设法把命题的条件和结论部分省略的文字找出来，要从文字的 内在顺序、内在意义进行全面考虑，分清命题的条件部分和结 论部分；再将它写成“如果那么”的形式解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 (2)如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行 (3)如果两个角是同一个角的余角或两个相等的角的余角，那么这 两个角相等. 总 结知2讲 1命题改写的原则：不改变命题的原意；为了改写后 的语句通畅且保持原意，应适当地增加或删减词语 或调换词序；2命题改写的方法：先搞清命题的条件部分和结论部 分；再将其改

14、写为“如果那么”的形式： “如果”后面跟的是已知事项，“那么”后面跟的 是由已知事项推出的事项(即结论) 知2练 1 下列语句是命题的是() A过一点能作无数条直线吗 B直角大于锐角 C作A的平分线 D在线段AB上截取ACB知2练 2 (中考佛山)下列说法正确的是() A互补的两个角是邻补角是定义 B同旁内角互补不是命题 C两直线平行，内错角相等的条件是内错角相等 D相等的两个角是对顶角的条件是相等的两个角D3知识点真命题与假命题知3导做一做 指出下列各命题的条件和结论，其中哪些命题是错误的？你是如何判断的？与同伴进行交流.（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；（2）如果ab，bc,那么ac

15、；（3）全等三角形的面积相等；（4）如果室外气温低于 ,那么地面上的水一定会结 冰.知3讲1.正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.2.要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子， 使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种 例子称为反例.知3讲例4 指出下列命题的条件和结论，并判断是真命题还是 假命题 (1)互为补角的两个角相等； (2)若ab，则acbc； (3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形 的面积相等导引：(1)要指出命题的条件和结论，其实质是指出“如果 (若)”和“那么(则)”后面跟的事项；如果命题不是 “如果那么”的形式，那么需先将命题改写 为“如果那么”的

16、形式；再指出它的条件和 结论；(2)要判断命题的真假：真命题需说明理由， 假命题只需举一反例即可 知3讲解：(1)条件：两个角互为补角；结论：这两个角相等. 假命题 (2)条件：ab；结论：acbc.真命题 (3)条件：两个长方形的周长相等；结论：这两个 长方形的面积相等假命题 总 结知3讲 判断命题的真假时，真命题需说明理由；假命 题只需举一反例即可；举反例是说明一个命题是假命题的常用方法，而所列举的反例一般应满足命题的条件，不满足命题的结论知3练 (中考庆阳)已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题： 如果ab，ac，那么bc； 如果ba，ca，那么bc； 如果ba，ca，那

17、么bc； 如果ba，ca，那么bc. 其中真命题是_(填写所有真命题的序号)知3练 2 (中考漳州)下列命题中，是假命题的是() A对顶角相等 B同旁内角互补 C两点确定一条直线 D角平分线上的点到这个角的两边的距离相等B(1) 命题必须是一个完整的句子，且具有“判断” 作用(2) 命题只需具有“判断”功能，而不论这个判断 正确与否判断命题及改写命题的要求： 看一句话是不是命题，关键是看它是不是作出了明确的判断，是不是一个完整的句子在改写命题时，不是机械地在原命题中添上“如果”和“那么”，而要使改写后命题的实质不变，条件和结论明朗化，主要要求：(1)改写后的命题与改写前的命题的内容要一致；(2

18、)改写后的命题的句子要完整、语句要通顺，必要时，要对原命题加一些修饰，并且补上原来省略的部分 第七章 平行线的证明7.2 定义与命题第2课时 定理与证明1课堂讲解定理与公理 证明的意义命题的证明2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升想一想 举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？ 1知识点定理与公理知1导 用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法. 这些方法往往不可靠. 能不能根据已经知道的真命题证实呢？知1导 那已经知道的真命题又是如何证实的？哦那可怎么办？1.其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题.公元 前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基

19、础上，古 希腊数学家欧几里得 （Euclid，公元前300年前后）编写了一 本书，书名叫做原本（Elements）. 为了说明每一结论的 正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数 学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依 据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理 (axiom).除了公理外，其他命题的真假都需要通过演绎推理 的方法进行判断. 知1讲2.本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们 已经认识了其中的八条，它们是： （1）两点确定一条直线. （2）两点之间线段最短. （3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. （4）两条直

20、线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两 条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行). （5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. （6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 知1讲（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.（8）三边分别相等的两个三角形全等. 另外一条基本事实我们将在后面的学习中认识它. 此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质， 以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据. 例如，如果a=b，b=c, 那么a=c,这一性质也可以作为 证明的依据，称为“等量代换”.又如，如果ab，bc， 那么ac,这一性质同样可以作为证明的依据.知1讲例1 下列

21、命题不是公理的是() A两点确定一条直线 B两点之间线段最短 C两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D三边分别相等的两个三角形全等导引：公认的真命题称为公理，其正确性不需要推理 证实知1讲 C总 结知1讲 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等是定理，不是公理1 “两点之间，线段最短”这一语句是() A定理 B公理 C定义 D假命题2 下列叙述错误的是() A所有的命题都有条件和结论 B所有的命题都是定理 C所有的定理都是命题 D所有的公理都是真命题知1练 BB2知识点证明的意义知2讲 演绎推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为 定理. 每个定理都只能用公理、定义和已经证明 为真的命题来

22、证明. 知2讲 定义、命题、基本事实(公理)、定理之间的区别 与联系： (1)联系：这四者都是命题 (2)区别：定义、基本事实、定理都是真命题， 都可以作为进一步判断其他命题真假的依据， 只不过基本事实是最原始的依据；而命题不 一定是真命题，因而不 能作为进一步判断其 他命题真假的依据. 知2讲例2 已知：如图,直线AB与直线CD相交于点O, AOC与BOD是对顶角. 求证：AOC=BOD.证明：直线AB与直线CD相交于点O, AOB和COD都是平角(平角的定义). AOC和BOD都是AOD的补角(补角的定义). AOC=BOD(同角的补角相等). 由上面的例题，我们可以得到定理： 定理 对顶

23、角相等. 知2讲例3 如图，在直线AC上取一点O，作射线 OB，OE和OF，使OE和OF分别平分 AOB和BOC，求证：OEOF.证明：因为OE和OF分别平分AOB和BOC， 所以EOB 又因为AOBBOC180， 所以EOBBOF 18090. 即EOF90，所以OEOF. 总 结知2讲 要证明命题是正确的，可以从条件出发，根据定义、公理和已学过的定理，逐步进行推理 知2练 1 下列说法错误的是() A命题是判断一件事情的句子 B基本事实的正确性必须得到证明 C证明假命题举一个反例即可 D推理的过程叫做证明B知2练 2 在每一步推理后面的括号内填上理由 证明：(1)如图，因为ABCD，EFC

24、D，所以 ABEF(_) (2)如图，因为ABCD，过点F画EFAB (_)， 所以 EFCD(_) 平行于同一条直线的两直线平行平行于同一条直线的两直线平行过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行3知识点命题的证明知3讲证明的一般步骤： 审题，分清命题的条件和结论； 画图，结合图形写出已知和求证； 分析因果关系，找出证明途径； 有条理地写出证明过程 几何的推理方法主要有两种：一种是综合法，即由“因”到“果”，由已知条件逐步推导出结论；一种是分析法，即执“果”索“因”，根据要推出的结论，分析必须找到什么样的条件，一步一步反推到条件 第七章 平行线的证明7.3 平行线的判定1课堂讲解利用角的

25、关系判定两直线平行的方法利用第三直线判定两直线平行的方法2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升1、什么是平行线？2、判定两条直线平行的基本事实是什么？复习回顾1知识点利用角的关系判定两直线平行的方法 1.平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位 角相等，那么这两条直线平行 简述：同位角相等，两直线平行2.平行线的判定公理是证明直线平行的重要依据3.表达方式： 如图：因为12(已知)， 所以ab(同位角相等，两直线平行). 知1讲例1 如图，若12，能否确定l1l2？为什么？能 否确定l3l4？为什么？导引：利用平行线的判定公理来判定两直线平行的关键是弄清同 位角是由哪两条直线被第三条

26、直线所截形成的解：能确定l1l2，理由：同位角相等，两直线平行不能确定 l3l4，因为1和2不是直线l3，l4被第三条直线所截形 成的同位角 知1讲 如图，当13时，能判定_， 理由： (_)；当45时，能判定_，理由： (_)；当24180时，能判定_，理由：(_)知1练 1l1 l2l1 l2l1 l2内错角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补，两直线平行2 如图，下面推理过程正确的是() 因为BD，所以ABCD； 因为12，所以ADBC； 因为BADB180，所以ADBC； 因为1B，所以ADBC. A和 B和 C和 D和知1练 D3 (中考福州)下列图形中，由12能得到

27、ABCD的是()知1练 B4 (中考金华)以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸 带两条边线a，b互相平行的是() A如图，展开后测得12 B如图，展开后测得12且34 C如图，测得12 D如图，展开后再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测 得OAOB，OCOD知1练 C2知识点利用第三直线判定两直线平行的方法知2讲1. 判定定理1 （1）已知：如图,1和2是直线a，b被直线c截出的内错角， 且1=2. 求证：a/ b. 证明：1=2（已知）， 1=3（对顶角相等）， 3=2（等量代换）. a/b（同位角相等，两直线平行）.归 纳知2讲 定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等， 那么

28、这两条直线平行.简述为：内错角相等，两直线平行.知2讲2. 判定定理2 （1）已知：如图，1和 2是直线a, b被直线c截出的同旁内角， 且1与2互补. 求证： a/b.证明：1与2互补（已知）， 1+2=180（互补的定义）. 1=180-2（等式的性质）. 3+2=180（平角的定义）， 3=180-2（等式的性质）. 1=3（等量代换）. a / b（同位角相等，两直线平行）. 归 纳知2讲 定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互 补，那么这两条直线平行.简述为：同旁内角互补，两直线平行.知2讲例2 如图，已知ADE60，DF平分ADE，130， 试说明：DFBE.导引：要想说明

29、DFBE，可通过说明1EDF 来实现，由于130，所以只需求出 EDF30，而这个结论可通过DF是 ADE的平分线来得到 解：因为DF平分ADE(已知)， 所以EDF 又因为ADE60， 所以EDF30. 又因为130(已知)， 所以EDF1， 所以DFEB(内错角相等，两直线平行) 总 结知2讲 要判定两直线平行可以通过说明同位角相等或内错角相等来实现，至于到底选用同位角还是选用内错角，要看具体的题目，要尽可能与已知条件联系1 如图，给出下面的推理，其中正确的是() 因为BBEF，所以ABEF； 因为BCDE，所以ABCD； 因为BBEC180，所以ABEF； 因为ABCD，CDEF，所以A

30、BEF. A B C D知2练 B2 (中考黔南州)如图，下列说法错误的是() A若ab，bc，则ac B若12，则ac C若32，则bc D若35180，则ac知2练 C3 如图，下列条件中，不能判定ABCD的是() AABEF，CDEF B1A CABCBCD180 D32知2练 D 平行线的判定是由角之间的数量关系到直线间位置关系的判定要判定两直线平行，可围绕截线找同位角、内错角或同旁内角是否相等或互补，而选用其中一个方法说明两直线平行时，一般都要通过结合对顶角、互补角等知识来说明. 第七章 平行线的证明7.4 平行线的性质1课堂讲解平行线的性质平行线的性质与判定的关系2课时流程逐点导讲

31、练课堂小结作业提升1、什么叫做平行线？2、平行线的判定方法有哪些？复习回顾1知识点平行线的性质1.定理：两直线平行，同位角相等. （1）已知：如图1，直线AB/CD，1和2是直线AB，CD被直线 EF截出的同位角. 求证：1 = 2.知1讲 如果12，AB与CD的位置关系会怎样呢？图1知1讲 证明：假设12，那么我们可以 过点M作直线GH，使EMH= 2，如图2所示. 根据“同位角相等，两直线平行”， 可知GH/CD. 又因为AB/ CD，这样经过点M 存在两条直线AB和GH都与直线 CD平行. 这与基本事实“过直线外一点有且 只有一条直线与这条直线平行” 相矛盾. 这说明12的假设不成立，所

32、以1=2. 图2知1讲 （2）性质1：两条平行直线被第三条直线所截，同 位角相等 简称：两直线平行，同位角相等 表达方式：如图，因为ab，(已知) 所以12.(两直线平行，同 位角相等) 例1 如图，若ABCD，且12，试判断AM与CN的位置关 系，并说明理由导引：AM与CN的位置关系很显然是平行的，要说明AMCN，可考 虑说明EAMECN.因为12，所以只需说明EAB ACD即可，由于“两直线平行，同位角相等”，所以根 据ABCD即可得出EABACD. 解：AMCN. 理由：ABCD(已知)， EABACD(两直线平行，同位角相等) 又12(已知)， MAENCA(等式性质) AMCN(同位

33、角相等，两直线平行) 知1讲 总 结知1讲 当题目已知条件中出现两直线平行时，要考虑是否出现了相等的角 平行线和角的大小关系是紧密联系在一起的，由平行线可以得到相等的角，反过来又可以由相等的角得到新的一组平行线，这种由角的大小关系与直线的位置关系的相互转化在解题中会经常涉及 1 (中考泸州)如图，ABCD，BC平分ABD. 若C40， 则D的度数为() A90 B100 C110 D120知1练 B(中考枣庄)如图，把一块含有45角的直角三角 板的两个顶点放在直尺的对边上如果120， 那么2的度数是() A15 B20 C25 D30知1练 C知1讲 2.定理：两直线平行，内错角相等. （1）

34、已知：如图，直线l1/l2，1和2是 直线l1，l2被直线l截出的内错角. 求证：1= 2. 证明：l1/l2（已知）， 1=3（两直线平行，同位角相等）. 又2=3 （对顶角相等）， l=2 (等量代换）.知1讲 （2）性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角 相等 简称：两直线平行，内错角相等 表达方式：如图，因为ab (已知) ， 所以12 (两直线平行，内错角相等) . 要点精析：两直线平行是前提，只有在这个前提下 才有内错角相等 例2 如图，已知BC，AEBC， 试说明AE平分CAD.导引：要说明AE平分CAD，即说明DAE CAE.由于AEBC，根据两直线平行， 同位角相等和内

35、错角相等可知DAEB， EACC，这就将说明DAECAE转化为说明B C了 解：AEBC(已知)， DAEB(两直线平行，同位角相等)， EACC(两直线平行，内错角相等)， BC(已知)，DAEEAC(等量代换) AE平分CAD(角平分线的定义)知1讲 总 结知1讲 本题同时运用了“两直线平行，同位角相等”和“两直线平行，内错角相等”，提供了一种说明两个角相等的新思路 (中考东莞)如图，直线ab，175，2 35，则3的度数是() A75 B55 C40 D35知1练 C(中考宜昌)如图，ABCD，FEDB，垂足为 E，150，则2的度数是() A60 B50 C40 D30知1练 C知1讲

36、 3.定理：两直线平行，同旁内角互补. 性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角 互补 简称：两直线平行，同旁内角互补 表达方式：如图，因为ab (已知) ， 所以1+2=180(两直线平行，同旁内角 互补) .例3 如图，如果ABDF，DEBC，且165，那么你能说出 2，3，4的度数吗？为什么？导引：由DEBC，可得14，12 180；由DFAB，可得32， 从而得出2，3，4的度数 解：DEBC(已知)， 4165(两直线平行，内错角相等)， 21180(两直线平行，同旁内角互补) 即2180118065115. 又DFAB(已知)， 32(两直线平行，同位角相等) 3115(等量

37、代换) 知1讲 总 结知1讲 1求角的度数的基本思路：根据平行线的判定由角的 数量关系得到直线的位置关系，根据平行线的性质 由直线的位置关系得到角的数量关系，通过上述相 互转化，从而找到所求角与已知角之间的关系2两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两 条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关 系，由角的关系求相应角的度数知1讲 4.定理：平行于同一条直线的两条直线平行. （1）已知：如图，b/a，c/a，1，2，3是直线a，b， c被直线d截出的同位角. 求证：b/c. 证明：b/a (已知）， 2=1(两直线平行，同位角 相等）. c/a（已知）, 3=1（两直线平行，同位角相等）.

38、 2 = 3（等量代换）. b/c（同位角相等，两直线平行）. 知1讲 一般地，我们有如下的定理： 定理 平行于同一条直线的两条直线平行.归 纳1 (中考恩施州)如图，已知ABDE，ABC70， CDE140，则BCD为() A20 B30 C40 D702 (中考河北)如图，ABEF，CDEF，BAC50， 则ACD() A120 B130 C140 D150知1练 BC2知识点平行线的性质与判定的关系知2讲平行线的判定与平行线的性质的区别：平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线 的位置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位 置关系得到两角的数量关系；平行线的判定的条件是平行线的性质的

39、结论，而平 行线的判定的结论是平行线的性质的条件知2讲例4 如图，已知ABC与ECB互补，12，则P与 Q一定相等吗？说说你的理由导引：如果P和Q相等，那么PBCQ，所以要判断P与 Q是否相等，只需判断PB和CQ是否平行要说明 PBCQ，可以通过说明PBCBCQ来实现，由于 12，只需说明ABCBCD即可 解：PQ. 理由：ABC与ECB互补(已知)， ABED(同旁内角互补，两直线平行) 知2讲 ABCBCD(两直线平行，内错角相等) 12(已知)， ABC1BCD2(等式的性质)， 即PBCBCQ. PBCQ(内错角相等，两直线平行) PQ(两直线平行，内错角相等) 总 结知2讲 一个数学

40、问题的构成含有四个要素：题目的条件、解题的依据、解题的方法、题目的结论，如果题目所含的四个要素解题者已经知道或者结论虽未指明，但它是完全确定的，这样的问题就是封闭性的数学问题1 (中考河南)如图，直线a，b被直线c，d所截，若1 2，3125，则4的度数为() A55 B60 C70 D752 如图，已知ABCD，130，290，则3等 于() A60 B50 C45 D30知2练 AA 从图形中得出结论是图形的性质；而从具备什么条件推理出图形是图形的判定；特别说明，图形的定义既是图形的判定，也是图形的性质；即：条件定义、判定定义、性质图形结论第七章 平行线的证明7.5 三角形内角和定理第1课

41、时 三角形内角1课堂讲解三角形内角和性质和应用直角三角形两锐角的关系2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升 我们知道，三角形内角和等于180.你还记得这个结论的探索过程吗？（1）如图，如果我们只把A移到1的 位置，你能说明这个结论吗？如果 不移动A，那么你还有什么方法 可以达到同样的效果？（2）根据前面给出的基本事实和定理， 你能用自己的语言说说这一结论的 证明思路吗？你能用比较简洁的语 言写出这一证明过程吗？与同伴进 行交流. 1知识点三角形内角和性质知1导已知：如图，ABC.求证：A+B+C=180.图1分析：延长BC到D，过点C作射线CE/BA(图2)，这样 就相当于把A移到了1的位置，把

42、B移到了 2的位置.图2 这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.知1导知1导证明：延长BC到D，过点C作射线CE/BA，则 1=A（两直线平行，内错角相等）， 2=B（两直线平行，同位角相等）. l+2+ACB=180（平角的定义）， A+B+ACB=180（等量代换）. 1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180.2.定理证明的思路：因为180的角有：(1)平角；(2)邻补角的和；(3)平行线间一对同旁内角的和，因此证三角形的内 角和为180 就是要把三角形的三个内角转化为上述的三种角， 而创造平行线是转化的桥梁知1讲 例1 （山东滨州）在ABC中，ABC 123，试判断ABC

43、的形状，并说明理由导引：引用辅助量x，用x表示出ABC的三个内角 的度数，然后在ABC中，运用三角形内角和定 理构造方程，解方程后，求出ABC中各内角的 度数，再看是否有一个角是直角或有两个角互余， 从而判断ABC的形状 知1讲 解：ABC是直角三角形 理由：ABC123， 可设A，B，C的度数分别为x，2x，3x. 在ABC中，ABC180(三角形三个内 角的和等于180)， x2x3x180，解得x30. ABx2x3x90. C1809090. ABC是直角三角形知1讲 总 结知2讲 判断一个三角形的形状的方法：(1)可以看三角形中最大的角的大小：最大角是锐角，三角形就是锐角三角形；最大

44、角是直角，三角形就是直角三角形；最大角是钝角，三角形就是钝角三角形(2)也可以通过角的比例关系判断：两较小角的比例和小于最大角的比例，则此三角形为钝角三角形；两较小角的比例和等于最大角的比例(两锐角互余)，则此三角形为直角三角形；两较小角的比例和大于最大角的比例，则此三角形为锐角三角形1 (中考滨州)在ABC中，ABC345， 则C等于() A45 B60 C75 D902 (中考枣庄)如图，ABCD，AE交CD于点C， A 34，DEC90，则D的度数为() A17 B34 C56 D124知1练 CC一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示， 若 350，则12() A90 B100 C1

45、30 D180知1练 B2知识点直角三角形两锐角的关系知2导已知：直角三角形ABC中， A90求证： A 与C互余.证明： ABC180（三角形内角和 定理） A90（已知） BC90.(等量减等量差相等) B与C互余.（两角互为余角的定义） 知1讲归 纳 定理：直角三角形的两锐角互余.知2讲例2 如图，在ABC中，AD是高，AE是BAC的平 分线，B20，C60.求DAE的度数导引：DAE在AED中，而DAEBADBAE， 要求 DAE的度数，需先求出BAD和BAE的 度数 知2讲解：在ABC中，B20，C60， 所以BAC180BC100. 又因为AE是BAC的平分线， 所以BAE 在AB

46、D中，BBADBDA180. 又因为AD是高， 所以BAD180209070. 所以DAEBADBAE705020. 总 结知2讲 灵活运用三角形内角和定理，结合三角形的高及角平分线的定义是求有关角的度数的常用方法 知2练 如图，将一块含有30角的直角三角板的两个顶点 放在长方形直尺的一组对边上如果260， 那么1的度数为() A60 B50 C40 D30D知2练 2 (中考菏泽)将一副直角三角尺如图放置，若AOD 20，则BOC的大小为() A140 B160 C170 D150B 利用三角形内角和定理求角的度数时，常结合三角形的角平分线，三角形的高，补角、余角、对顶角等角的关系，以及角的

47、和、差关系进行计算还可以利用题目中的等量关系列方程求解 第七章 平行线的证明7.5 三角形内角和定理第3课时 三角形的外角1课堂讲解三角形外角的定义三角形外角的关系三角形的外角和2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升三角形的内角和定理是什么？复习回顾1知识点三角形外角的定义知1导三角形外角的定义：如图，ACD是由ABC的一条边BC的延长线和另一条相邻的边CA组成的角，这样的角叫做该三角形的外角知1讲在ABC中，A等于和它相邻的外角的四分之一，这个外角等于B的两倍，那么A_，B_，C_.例1导引：A和与它相邻的外角互为邻补角，A又等于和它相邻的外角的四分之一，所以A36，A的外角为144 ，所以B

48、72，根据三角形内角和为180，可以求得C72. 367272总 结知1讲三角形的外角与他相邻的内角互补.1知1练下边的角是ABC的外角的是( )ACE B.ACF C. BCD D.ACBB2知识点三角形外角的关系知2导议一议 在图中，1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗?知2讲1.三角形内角和定理的推论(三角形外角定理)： 三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的 内角： 作用：用来证明角的不等关系 知2讲例2 已知：如图，在ABC中，B=C，AD平 分外角EAC.求证：AD/BC.分析：要证明AD/BC，只需证明“同位角相等” 或 “内错角相

49、等”或“同旁内角互补”. 知2讲证明：EAC=B+C （三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和）， B=C（已知）， C= AD平分EAC（已知）， DAC= DAC=C （等量代换）. AD/ BC （内错角相等，两直线平行）. 知2练 1 (中考甘孜州)如图，在ABC中，B40，C 30，延长BA至点D，则CAD的大小为() A110 B80 C70 D602 (中考来宾)如图，ABC中，A40，点D为AB延长线 上一点，且CBD120，则C等于() A40 B60 C80 D100CC知2练 如图，P为ABC内任一点，延长CP交AB于D，则 下列结论错误的是() A13 B1A

50、C2A D3AC3知识点三角形的外角和 ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为ABC的外角.如图， 1是ABC的ABC的外角.你能在图中画出ABC的其他外角吗？知3导 1.三角形外角的定义： 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线 组成的角如图中的ACD的一条边是ABC的边 AC，另一条边是ABC的边BC的延长线知3讲 2.三角形的外角和等于360. 已知：1、2、3为ABC的三个外角，如图 求证：1+2+3=360 证明：1+BAC=180， 2+BCA=180， 3+ABC=180， 1+2+3+（BAC+BCA+ABC）=540（等 式性质）. BAC+BCA+ABC=

51、180（三角形内角和定理）， 1+2+3=360.知3讲例3 如图，CEF的外角为_导引：图中CEF的三边的延长线只有EF的延长线FA，CE 的延长线EB，延长线FA与边CF构成的角为AFC； 延长线EB与边EF构成的角为BEF.由三角形外角的 概念可以判断AFC，BEF是CEF的外角知3讲 AFC，BEF总 结知3讲 判定一个角是三角形的外角的三个条件：一是顶点在三角形的一个顶点上；二是一边是三角形的一条边；三是一边是三角形的另一条边的延长线 知3练 1 如图，射线AD，BE，CF构成1，2，3，则 123等于() A180 B360 C540 D无法确定2 若一个三角形的三个外角的度数之比为234，则 与之对应的三个内角的度数之比为() A432 B531 C324 D315BB1.三角形的外角实质上就是三角形一个内角的邻补角 三角形外角的顶点是三角形的顶点，一条边是三角形 内角的一边，另一条边是该内角另一条边的反向延长 线2.三角形内角和定理的推论：两个定理说明了三角形 的外角与内角之间的关系，其中一个是外角与内角之 间的相等关系，另一个是外角与内角之间的不等关 系在应用上述两个定理时，一定要注意“不相邻” 这个关键词语 全章热门考点整合应用第七章 平行线的证明1.已知命题“如果两条射线是两条平行线