电路基础课件第六章：一阶电路（动态电路的方程及其初始条件、一阶电路的零输入响应）

1、第六章：一阶电路（动态电路的方程及其初始条件、一阶电路的零输入响应）6.1动态电路的方程及其初始条件 1.动态电路含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。由于动态元件是储能元件，其 VCR 是对时间变量 t 的微分和积分关系，因此动态电路的特点是：当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路时的表现。1）电阻电路图 6.1 （a）（b）图6.1（a）所示的电阻电路在 t =0 时合上开关，电路中的参数发生了变化。电流 i 随时间的变化情况如图6.1（b）所示，显然电流从t0时的稳定状态直接进入

2、t0 后的稳定状态。说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。2）电容电路 图 6.2 （a）（b）图 6.2 （c） 图 6.2(a)所示的电容和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流 i 和电容电压满足：i=0，uC=0。t=0 时合上开关，电容充电， 接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态，电流 i 和电容电压满足：i=0，uC=US 。电流 i 和电容电压uC 随时间的变化情况如图6.2（c）所示，显然从t0 时的稳定状态不是直接进入t0后新的稳定状态。说明含电容的电路在换路时需要一个过渡期。 3）电感电路 图 6.3 （a）（b）图 6.3 （c）图 6.3(a

3、)所示的电感和电阻组成的电路在开关未动作前，电路处于稳定状态，电流i 和电感电压满足：i=0，uL=0。t=0 时合上开关。接通电源很长时间后，电路达到新的稳定状态，电流 i 和电感电压满足：i=0，uL=US/R 。电流 i 和电感电压uL 随时间的变化情况如图6.3（c）所示，显然从t0时的稳定状态不是直接进入t0后新的稳定状态。说明含电感的电路在换路时需要一个过渡期。从以上分析需要明确的是： 1换路是指电路结构、状态发生变化，即支路接入或断开或电路参数变化； 2含有动态元件的电路换路时存在过渡过程，过渡过程产生的原因是由于储能元件L、C ，在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放需要一定

4、的时间来完成，即： 若 则 3代替电路方向就是研究换路后动态电路中电压、电流随时间的变化过程。2. 动态电路的方程 分析动态电路，首先要建立描述电路的方程。动态电路方程的建立包括两部分内容：一是应用基尔霍夫定律，二是应用电感和电容的微分或积分的基本特性关系式。下面通过例题给出详细的说明。 图 6.4图 6.5 设 RC 电路如图 6.4 所示，根据 KVL 列出回路方程为：由于电容的 VCR 为： 从以上两式中消去电流得以电容电压为变量的电路方程： 若以电流为变量，则有： 对以上方程求导得： 设 RL 电路如图 6.5 所示的，根据 KVL 列出回路方程为：由于电感的 VCR 为： 以上两式中

5、消去电感电压得以电流为变量的电路方程： 若以电感电压为变量，则有： 对以上方程求导得： 图 6.6对图 6.6 所示的 RLC 电路，根据 KVL 和电容、电感的 VCR 可得方程为： 整理以上各式得以电容电压为变量的二阶微分方程：考察上述方程可得以下结论： （1）描述动态电路的电路方程为微分方程；（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数，一般而言，若电路中含有 n 个独立的动态元件，那么描述该电路的微分方程是 n 阶的，称为 n 阶电路；（3）描述动态电路的微分方程的一般形式为：描述一阶电路的方程是一阶线性微分方程 描述二阶电路的方程是二阶线性微分方程 高阶电路的方程是高阶微分方程：

6、 方程中的系数与动态电路的结构和元件参数有关。3. 电路初始条件的确定求解微分方程时，解答中的常数需要根据初始条件来确定。由于电路中常以电容电压或电感电流作为变量，因此，相应的微分方程的初始条件为电容电压或电感电流的初始值。若把电路发生换路的时刻记为 t =0 时刻，换路前一瞬间记为0，换路后一瞬间记为0，则初始条件为t=0时u ，i 及其各阶导数的值。 (1)电容电压和电感电流的初始条件 由于电容电压和电感电流是时间的连续函数（参见第一章），所以上两式中的积分项为零，从而有： 对应于 以上式子称为换路定律，它表明：1） 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电压（电荷）在换路前后保持不变，

7、这是电荷守恒定律的体现。2）换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感电流（磁链）在换路前后保持不变。这是磁链守恒的体现。需要明确的是:1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。2）换路定律反映了能量不能跃变的事实。（2）电路初始值的确定根据换路定律可以由电路的uC(0) 和iL(0) 确定uC（0+）和iL(0+) 时刻的值 , 电路中其他电流和电压在 t=0+ 时刻的值可以通过 0+ 等效电路求得。求初始值的具体步骤是：1）由换路前 t=0时刻的电路（一般为稳定状态）求uC (0) 或 iL (0) ；2）由换路定律得uC (0+) 和iL (0+) ；3）画 t=0+ 时刻的等效

8、电路： 电容用电压源替代，电感用电流源替代（取 0+ 时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）；4）由 0+ 电路求所需各变量的 0+ 值。例6-1 图示电路在 t0 时电路处于稳态，求开关打开瞬间电容电流 iC (0+)例6-1 图（a）(b)解：(1) 由图(a) t=0电路求得：uC (0)=8V (2) 由换路定律得：uC (0)=uC (0)=8V (3) 画出0等效电路如图 (b) 所示，电容用 8V 电压源替代，解得： 注意：电容电流在换路瞬间发生了跃变，即： 例6-2 图示电路在 t0 时电路处于稳态，t = 0 时闭合开关,求电感电压 uL (0+) 。 例 6-2

9、 图（a）解：(1) 首先由图(a)t=0电路求电感电流，此时电感处于短路状态如图（b）所示，则： 例 6-2 图（b）例 6-2 图（c）(2) 由换路定律得： iL (0+) = iL (0)= 2A (3) 画出 0+ 等效电路如图 (c) 所示，电感用 2A 电流源替代，解得： 注意： 电感电压在换路瞬间发生了跃变，即： 例6-3 图示电路在t0时处于稳态，t=0时闭合开关,求电感电压uL(0+)和电容电流iC(0+) 例 6-3 图（a）解：(1) 把图(a)t=0 电路中的电感短路，电容开路，如图（b）所示，则： (2) 画出0+等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压

10、源替代解得： 例 6 3 图(b)例 6 3 图（c） 注意： 直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。例6-4 求图示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。 例 6-4 图（a）解：(1) 把图 (a)t=0 电路中的电感短路，电容开路，如图（b）所示，则： (2) 画出0+等效电路如图(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得： 例 6-4 图(b)例 6-4 图（c）6.2一阶电路的零输入响应 动态电路的零输入响应是指换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。1. RC 电路的零输入响应 图 6.7图6.7所示的 RC 电路在开关闭合前已充电，电容电压uC

11、(0)= U0，开关闭合后，根据KCVL可得： ，由于 ，代入上式得微分方程： 特征方程为 RCp+ 1=0 ， 特征根为： 则方程的通解为： 代入初始值得： A = uC(0+)= U0 ， 放电电流为： 或根据电容的 VCR 计算： 从以上各式可以得出：1)电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数，如图 6.8 所示； 图 6.8图 6.92)响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC 有关。令= RC ，的量纲为： 称为一阶电路的时间常数。的大小反映了电路过渡过程时间的长短，即： 大 过渡过程时间长，小 过渡过程时间短，如图 6.9 所示。表 6.1 给出了电容电压在=，=2，=3，

12、时刻的值。 表 6.1表中的数据表明经过一个时间常数，电容电压衰减到原来电压的 36.8% ，因此，工程上认为 , 经过 35, 过渡过程结束。3）在放电过程中，电容释放的能量全部被电阻所消耗，即： 2. RL 电路的零输入响应图6.10（a）所示的电路为 RL 电路，在开关动作前电压和电流已恒定不变，因此电感电流的初值为： 图 6.10 （a）开关闭合后的电路如图6.10（b）所示，根据 KCVL 可得： 把 代入上式得微分方程： 图6.10（ b ） 特征方程为： Lp+R= 0 ， 特征根 则方程的通解为： 代入初始值得： A= i (0+)= I 0 电感电压为： 从以上各式可以得出：

13、 (1) 电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数，如图 6.11 所示； 图 6.11（2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 L/ R 有关。令 = L / R , 称为一阶 RL 电路时间常数， 满足： （3）在过渡过程中，电感释放的能量被电阻全部消耗，即： 小结： 1）一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数，其一般表达式可以写为： 2） 零输入响应的衰减快慢取决于时间常数，其中RC 电路=RC , RL 电路=L/R R 为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。 3） 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4）一阶电路的零输入响

14、应和初始值成正比，称为零输入线性。 用经典法求解一阶电路零输入响应的步骤： 1) 根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后的电路微分方程，该方程为一阶线性齐次常微分方程； 2) 由特征方程求出特征根； 3) 根据初始值确定积分常数从而得方程的解。例6-5 图示电路中的电容原本充有 24V 电压，求开关闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。 例 6-5 图（a）解：这是一个求一阶RC零输入响应问题，t0 后的等效电路如图（b）所示，有： 代入得： 分流得 ： 例 6-5 图（b） 注意：通常为了分析方便，将电路中纯电阻部分从电路中分离出来并简化其等效电路。例6-6 图示电路原本处于稳态，t=0 时 , 打开开关，求 t0 后电压表的电压随时间变化的规律，已知电压表内阻为10k，电压表量程为50V 。 例 6 6 图解： 电感电流的初值为： iL(0+) = iL (0) = 1A 开关打开后为一阶 RL 电路的零输入响应问题，因此有： 代入初值和时间常