探讨在阻尼情况下弹簧质量对振子运动状态的影响

1、陇东学院本科生毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议， 除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经 发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体 均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本 人承担。作者签名：二O 一 年 月 日探讨在阻尼情况下弹簧质量对振子运动状态的影响冯立帅，张广平（陇东学院 电气工程学院，甘肃 庆阳745000）摘要：在许多的物理问题中，都把弹簧振子的运动看做理想模型来处理但在实际中弹簧都是 有质量的，并且运动也不是绝对理想的，

2、都是有阻尼的，这将对振子的运动状态带来一定的 影响，本文运用微元法和分析力学的方法，探讨在有阻尼情况下弹簧质量对振子运动状态的影 响，总结出了在非理想状态下弹簧振子的圆频率、周期、振幅等的变化情况。关键词：弹簧振子；有阻尼；圆频率；等效质量TO DISCUSS THE DAMPING CASES SPRING QUALITY TO THEINFLUENCE OF THE OSCILLATOR MOTION STATEFENG lishuai ,ZHANG guangping(Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyan

3、g 745000, Gansu, China)Abstract :In many physical promlems,the movement of the spring oscillator is regarded as an ideal model to deal with ,but in pratice spring is quality,and the movement is not absolute ideal are damping,which will bring about the motion of the vibrator bring certain effect, Thi

4、s paper uses micro-element method and analytical mechanics methods to explore the state of motion of the oscillator in the spring-mass damping case,Summarized in the ideal condition spring oscillator circular frequency, cycle, such as amplitude changes .Key Words:spring oscillator;circular freuency;

5、Adamping;equivalent mass1引言弹簧振子是大学物理中的一个典型模型，对于弹簧质量不可忽略的弹簧振子的问题，有 许多文献仅仅是考虑了弹簧自身的质量，而把运动时外界环境的因素看做是理想的，但在实 际中，振动往往是在有阻尼情况下进行的，得出弹簧振子振动的圆频率、周期与振幅和真实 的情况相比存在一定的误差，这就必须考虑在有阻尼情况下弹簧振子的运动状。下面用分析 力学通过微元法来求解质量不可忽略的弹簧振子在有阻尼情况下振动方程的解，进而分析在 三种阻尼情况下振子的振动状态。2.理想状态下弹簧振子的运动对于理想的弹簧振子，我们只认为是在X方向上的横向振动，因此可以把它看做是自由度 为

6、一的保守系统，设振子质量为m0，弹簧的弹性系数为k，取q为广义坐标，则振子的动能为T - 2 mq 2势能为 1 ,V = kq 22则系统总能量为厂 E 11,(2-1)E T + V = mq 2 + kq 222对于任何一个单自由系统，在以q为广义坐标下的无阻尼自由振动的运动微分方程可写为mq + kq - 0对上式进行变换，可得 其中圆频率/ m，则振动周期为(2-2)这就是未考虑弹簧质量的弹簧振子的振动周期。但在实际问题中，弹簧并非理想情况，有定的质量。如果不考虑弹簧本身的质量，必然对整个振动周期的精确度带来一定的影响。因此有必要考虑弹簧的质量来求出振子的振动周期。3弹簧振子的等效质

7、量我们假设弹簧是根质量为m的弹性棒其自然长度为L，如图(3-1)所示:A图3-1弹簧振子等效图忽略一切阻力，弹性棒的质量是均匀分布的，设棒上任一点的距离为/ （0 l L），则dm = mdlL当振子m0产生一个如勺位移时，加也将发生一个位移，显然的加位移小于m0产生的位 移，因为m0的位移是整个弹性棒L的伸长量，而dm的位移只是弹簧中任一点到固定点A的 伸长量，所以dm的位移必然小于m0的位移办。为了简单合理地算出的dm位移，我们假定弹性棒各部分所发生的位移与它们到固定点A 的距离l成正比，则dm的位移ds = -dxL，显然ds = dx是L当l = 0时，dS = 0即为固定点，l =

8、L时，ds = dx，即为m0的位移合理的，那么这dm段微元的动能为(m 丫 l dx =-dlk L人m ( dx 石 k dt)L dt)212 dl（3-1）（3-2）（3-3）弹性棒在任一给定时刻的总动能为m(臣)2 Li 2 dl =1 m( dx)2 TOC o 1-5 h z L3 dt 06 dt则在任一时刻，整个系统的能量为E = E + Em0k1,dx、1 ,dx、1 7= m ()2 + g 质(-)2 + 亏 kx2=m,(空)2 + L kx 22 dt 2其中 m = m + %因为弹性棒只在x方向上振动，所以只有一个自由度，取q为广义坐标，则上式变为E = m

9、q 2 + kq 222一.， ，一 .、一m m 4.一，、一(3-4)和（2-1）式对比，很显然整个系统的等效质量增加耳，为m0 + -，那么它将对整个系统的 振动产生怎样的影响呢?由（3-3）可知，系统的哈密顿量为式中，P=m号哈密顿正则方程为dHpdx=x = dt dpm（3-6）由式（3-6），（3-7）得dp dH=p = = 一 kxdt dx（3-7）(3-5),d2 x7m= - kxdt 2其通解（3-8）x = A cos(st +中)式中=1m严0 +1，易知T = 27 = 2Km m + :k（3-9）可见，圆频率、周期Tf与弹簧的质量有关。4在有阻尼情况下振子的

10、振动状态对于单自由系统，以q为广义坐标（从平衡位置开始量取），则系统振动的微分方程可写 成为（4-1）mq + fq + kq = 0其中m、 f和k分别为振子的质量、阻尼系数和弹性系数。对上式进行变形为(4-2)这就是有阻尼作用时，振子系统自由振动微分方程的标准形式，它是一个二阶常系数线性齐 次方程，其解可取为q = ert将上式代入(4-2)式，得特征方程r 2 + fr + k = 0mm上式的两个根为f: f 2k f 1 飞r =史一+一一一 二史+ 一 ：f 2 - 4km2m 4m 2 m2m 2mffkf 1 :-r = = 气:f 2 4km2m 4m 2 m2m 2m因此方

11、程(4-2)的通解为(4-3)q = c ert + c er2t此解中，特征根值不同时，弹簧振子的运动规律有很大的不同，下面分f 2 4km 0三种不同情况进行讨论。4.1在f 2 4km 0情况下当f 2 4km 0时，特征方程的两个根是一对共轭复根f i r =+vf 2 4km TOC o 1-5 h z 2m 2mf i : r = 、: f2 4km HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 2m 2m其中i = JT，这时微分方程(4-3)的解可以有欧拉公式写成，q = ce-ft eF24戚+c e-ft eZ12=e - ft (ce

12、 8f 2-4 / + 堂疽2-4 杰)-f11(4-1-1)=e 2mt (D cos J4km - ft + iD sin J4km - ft)=Afe - 2 mt cos(.4km - ft + 甲)2m其中D = C + C , D = C - C , A =、；D2 + D 2 , Af和中为两个积分常数，由运动的初 112212v 12始条件确定。1 . k f .一 . 令s.gkmT = Js； -n2 （其中02 = , n =）表示有阻尼振动的圆频 率。设初瞬时t = 0，q = q，q = q，则有|(q + fq)2A= q 2 + 0 2 042q .、；ntan0

13、 = o-f 饥(q + q) % 2 oJ,由（4-4-1）式我们可以看出，物体在其平衡位置附近做往复运动，但因厂2的值随时间的增 加而迅速减小，所以物体偏离其平衡位置的距离也迅速减小。这就是有阻尼情况下弹簧振子 的自由振动，振动曲线如下图所示。图4-1-1在/2 - 4k 0情况下当f 2 -4km 0时，我们把它称为过阻尼情形，这时f f，特征方程有两个不相等的实根+ J f 2 - 4km2m 2mL-土 -卜 2其微分方程(4-2 )的通解为q = -e -方(罕扑2-4 kmt + ce 言 f-嘉)其中ci和c2为两个积分常数，由运动的初始条件决定。很显然，此时的运动也是随时间的

14、增加而无限地趋于平衡位置，不再具有振动的特性，运动如图4-3-1所示。ei0t图4-3-1在/2- 4km 情况下的振动图q5考虑弹簧的质量和摩擦阻尼时弹簧振子的振动周期若系统在流体中运动（如空气），阻力不能忽略，在振子速度不太大情况下，阻力与速度 大小成正比，与速度方向相反，振子微分方程变为（5-1）,d 2 x 1 rdxm = -kx - fdt2dt式中，m、k、f均为常量，f为阻力系数。将（5-1）式变形为d 2 x + dt 2f dx k 八+ x = 0 m dt m上式为二阶常系数线性微分方程，其特征方程为人 2 + f 人 + k = 0（5-2）m m解式（5-2）得人=

15、-f + Jf 2 -4kmi2m 2m*卜十-f -说尸疏|则式（5-1）的通解为x = Ce 2m，f 2 -4 km + Ce - 2m，f 2 -4 km（5-3）由上面我们知道一般f 2 4km ，所以式（5-3）可变为x = e2m (D cos Wt + iD sin W t)f-Ae2m cos(w t + 中)A JR2 + D;其中D = C + C D = C -C , w =，(4km f 2 , 112 212,2mtm、 令A = Ae-2m，= Ae 2(m0+ 3)则式（5-3）变为x = Acos（W t +中），其周期为 / m、T =2k= : m =兀（

16、m0+a）W（4km 一 f 2：人mY JA 4k （mo+ y） - f2用曲线拟合的方法，设式（5-4）为正（余）弦曲线，则曲线应满足y = C + A sin（wt + 中）其中，厂_ + yy 一yC maxmin， A maxmin22用计算机软件Mathcad绘出式（5-4）的波形图，并用标准正弦函数拟合，如图，300200100 0-100-200 -300图5-1正弦曲线的拟合图实验图像与理论图像基本重合，说明式（5-4）所得曲线确实近似为一条正（余）弦曲线，拟合的标准正弦函数方程为y 240.031sin（4.67 t-兀）6结论由以上我们讨论的结果可知，当我们考虑了弹簧的

17、质量和摩擦阻尼后，弹簧振子的振动周期与弹簧的质量和摩擦阻尼都有关。以上我们讨论的是f2 -4kmr 0，那么，振子就不能振动，即系统处于临界阻尼或过阻尼状态。比较（2-2）和（3-9）两式可知，考虑弹簧质量后周期变大，应注意，不要由m5 2km0 + 3Tf = = 2兀、一I 的表达式而得出；考虑弹簧质量后的周期相当于无质量弹簧的一端k系上m +m质量的物体振动的周期，因为在计算有质量弹簧的振动周期时，假设弹性棒各 0 3部分经过的位移正比于它们到固定点的距离，但这个假设只有在弹性棒各部分的拉力一样时* m才成立，而振动中弹性棒的拉力是随各部分的距离而变的，所得出的T = 2兀七直也是近似的

18、，但比不考虑弹簧的质量又进了一步。在综合考虑阻尼和弹簧质量情况下，又得到圆 频率和周期的修正值为 =、：4km f 22m m2兀4兀mt. ”(4km f 24 兀(m + y)m、 r4k (m + ) f 2显然，这一结果更加的精确，在理论推导上又进了一步，解决了当前理论和实践上的不 足。参考文献周衍柏.理论力学教程M.第三版.北京高等教育出版社,2009.张祥东.理论力学M.第一版.重庆大学出版社,2002.梁昆淼.力学M.北京高等教育出版社,1965.张广平.无阻尼单摆运动方程的复数解J.延边大学学报，2009,35（4）.康文秀.弹簧质量对振子运动的影响J.保定师范专科学院学报,2004,17（2）： 2527.黄兆梁.弹簧质量对振动的影