2018年湖南中考数学复习资料 11 二次函数

1、 一：二次函数聚焦考点温习理解一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)，那么y叫做x的二次函数。y二ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像b二次函数的图像是一条关于x二-对称的曲线，这条曲线叫抛物线。2a3、二次函数图像的画法五点法：先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向

2、上或向下延伸，就得到二次函数的图像。二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)顶点式：y二a(xh)2+k(a,h,k是常数,a丰0)当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2+bx+c二0有实根x和x存在12时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c二a(xx)(xx)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两12根式y=a(xx)(xx)。如果没有交点，则不能这样表示。12三、二次函数的最值b如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当x二-时，2a4acb2y=最值4ab

3、如果自变量的取值范围是xxx，那么，首先要看是否在自变量取值范围Xxx内，若在TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 122a12b4ac一b2此范围内，则当x=-时，y=；若不在此范围内，则需要考虑函数在xx0时，抛物线开口向上，a0时，图像与x轴有两个交点；当A=0时，图像与x轴有一个交点；当A0时，图像与x轴没有交点。名师点睛典例分类考点典例一、二次函数的图象【例1】（2016.大同一中期中）若抛物线y=（m-1）xm2-m开口向下，则m=.【答案】-1【解析】试题分析：根据二次函数的定义条件可得m2-m=2,m-1

4、M0解得m=2或m=-1，且mM1,因此当m=2或-1时，这个函数都是二次函数；由m-10，m1可知m=-1.考点：二次函数的性质；二次函数的定义【点睛】根据二次函数的定义条件可得二次项系数不为0，且最高次项的系数为2，由此即可求解.【举一反三】)1.(2016阜新期中请写出一个开口向下，并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析.【答案】y二x2+1等(答案不唯一)【解析】试题分析：答案不唯一，如y二-x2+1等等.考点：二次函数.2.把二次函数y=x2+6x+4配方成y=a(x-h)2+k的形式，得y=，它的顶点坐标.【答案】(x+3)2-5，(-3,-5)【解析】试题分析：直接利用配方法，

5、可知尸子托孟+4托洗旳)-9+4=(x+3)因此可求出二次函数顶点坐标是：-厂5).考点：二次函数的三种形式考点典例二、二次函数的解析式【例2】如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0，-2).它与反比例函数y二-鱼的图象交于点A(m，4),则这个二次函数的解析式为()Ay=x2-x-2By=x2-x+2Cy=x2+x-2Dy=x2+x+2答案】A解析】试题分析：将A(m，4)代入反比例解析式得：4=-色，即m=-2,142b+c4将A(-2,4),B(0,-2)代入二次函数解析式得：彳小Ic2解得：b=-1,c=-2,则二次函数解析式为y=x2-x-2.故选A【点晴】先根据A在反比例

6、函数图象上，求出m的值，再把A、B点坐标代入二次函数y=x2+bx+c中，求出b、c的值即可.【举一反三】（2015.山东泰安，第19题）（3分）某同学在用描点法画二次函数yax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x-2-1012y.-11-21-2-5由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（考点：待定系数法求函数解析式A.-11B.-2C.1D.-5答案】D.【解析】试題分析：由函数團象关于对称轴对称，得：-1,-2）,（0,1）,1,2）在函数團象上,把-1,-2）,0,1）,1,-2）代入函数解析式,得:C=1?+&+c=2&=0，函数解析式y=-3X2+1,c=1=2时

7、11；故选D.考点：二次函数的图象.2.一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1,当x=-2与2时，y=0,则这个二次函数的解析式是【答案】y=x2+2x-1【解析】试题分析：本题利用待定系数法求出二次函数的解析式.考点典例三、二次函数的最值1【例3】已知0WxW2，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是()A.-10.5B.2C.-2.5D.-6【答案】C【点睛】根据顶点式得到它的顶点坐标是(2,2),再根据其aVO且0WxW2，即可求出函数的最大值.举一反三】(2015甘孜州)二次函数y二x2+4x-5的图象的对称轴为()A.x=4B.x=一4C.x=2D.x=-2【答案】D.【解

8、析】b4试题分析：二次函数y=x2+4x一5的图象的对称轴为：x2.故选D.TOC o 1-5 h z2a2x1考点：二次函数的性质.当一2WxWl时，二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则实数m的值为【】(A)-7(B)4，与题意不符.当x=1时，由4=-（1m）2+m2+1解得m=2，此时y=-（x-2上+5，它在一2WxWl的最大值是4,与题意相符.当x=m时，由4=-（m-m匕+m2+1解得m=J3，此时y=-（x“3）+4.对y=-C+J3）+4，它在一2WxWl的最大值是4,与题意相符；对y=-C-冒3）+4，它在一2WxWl在x=1处取得，最大值小于4，与题意不符.综

9、上所述，实数m的值为2或-辺.故选C考点典例四、二次函数的图象与性质【例4】（2015遂宁）二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象如图所示，下列结论：2a+b0；4a2b+c1,2应+卜沁,故正确；-Ao,.-.0,V抛物线与F轴的交点在X轴的下方.Yb.诡“0,故错误抛物线与纭轴有两个交点,.-.A=d;-40,故正确；OTE时;v0.a+b+cQ?故错误：Tjf-2时,尺山.斗a2b+c0故正确.故选B考点：二次函数图象与系数的关系【点睛】根据二次函数的图象与性质进行逐项分析即可求出答案.【举一反三】1.（2015嘿龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）抛物线y=ax2+bx+c（a丰

10、0）的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点A在点（-3,0）和（-2,0）之间，其部分图象如图，贝9下列结论：4ac-b20；2a-b=0；a+B+cVO；点M（x,y）、N（x,y）在抛物线上，若xx，则y0,即4皿-八0,故正确；函数的对称轴是-V=-1；即一=一1,则b=2s?2s故正确、当尸1时，函数对应的点在x轴下方，则才肝Y0,则正确；则”和K的大小无法判断,则错误.故选匚考点：二次函数图象与系数的关系.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（一2,0），（X,0）且1-8a；4a+c0；2ab+10.其中正确的结论是（填写序号）.【答案】.【解析】试题解析：根据题意

11、画大致图象如图所示,1厂1./.iXiiiirta-/。由图象开口向下知aVO,由y=ax2+bx+c与X轴的另一个交点坐标为0),且1VXV2,b(2)+x1b则该抛物线的对称轴为x=-=1，即一1,2a22a由aa,b*.*a0,对称轴x=-O,.bO,.ab2,由于a0,所以4ac-b2-8a，故正确；4a由4a-2b+c=0得4a+c=2b,Vb0,.4a+c0,故此结论正确.cc由4a-2b+c=0得2a-b=，而0c2,.-10.-12a-b0,所以结论错误.22考点：抛物线与x轴的交点.考点典例五、二次函数图象与平移变换【例5】(2015.上海市，第12题，4分)如果将抛物线y=

12、x2+2x1向上平移，使它经过点A(O,3)，那么所得新抛物线的表达式是.【答案】y二X2+2x+3【解析】试题分析：可知抛物线过(0,-1)，上下平移时只改变常数项，由条件知平移后经过(0,3)，故平移后解析式为y二x2+2x+3.考点：1.抛物线平移的含义；2.求抛物线的函数解析式.【点睛】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式【举一反三】（2015成都）将抛物线y=X2向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A.y（x+2）23b.y（x+2）2+3c.y（x2）2+3d.y（x2）23【答案】A.【解析】

13、试题分析：由函数的平移规律：左加右减，上加下减.向左平移？个单位得到：v=再向下平移3个单位得到:y=t+2）：-3,故选A.考点：二次函数图象与几何变换.（2015.河南省，第12题，3分）已知点A（4,片），B（J2,）,C（-2,g都在二次函数y=（x-2）2-1TOC o 1-5 h z的图象上，则yi，y2,y3的大小关系是.【答案】y3y1y2.【解析】试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：yi=3,y2=5-，2,y3=15,Ay3yiy2.123312考点：二次函数的函数值比较大小.课时作业能力提升一.选择题1.（2015广安）如图，抛物线yax2+bx+c（a丰0

14、）过点（-1,0）和点（0,-3）,且顶点在第四象限，设P=a+b+c,则P的取值范围是（）B.-6VPV0C.-3VPV0D.-6VPV-3【答案】B.解析】试题分析：抛物线y=ax2+bx+c(a丰0)过点(-1,0)和点(0,-3),.Ora-b+c,-3=c,：b二a-3,V当x=1时，yax2+bx+c=a+b+c,.P=a+b+c=a+a-3-3=2a-6,V顶点在第四象限，aO,：b=a-3V0,.aV3,0VaV3,-6V2a-6V0,即-6VPV0.故选B.考点：二次函数图象与系数的关系.12抛物线y-2x2,y-2x2,yx2共有的性质是（）2A.开口向下B对称轴是y轴C都

15、有最低点D.y随x的增大而减小【答案】B.【解析】试题分析：根据二次函数的性质解题：二抛物线y=2x;的團象开口向上，对称轴为丫轴，有最低点，顶点为原点；抛物线y=-2x2的團象幵口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；抛物线y=|x2的團象幵口向上，对称轴为y轴，有最彳氐点，顶点为原点.抛物线y=2xy=-lxby=lx2共有的性质是对称轴为丫轴.故选E.考点：二次函数的性质（2015攀枝花）将抛物线y-2x2+1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为（）A.y-2(x+1)2b.y-2(x+1)2+2C.y-2(x1)2+2d.y-2(x1)2+1【答案】C.

16、【解析】试题分析：抛物线v=-2+l向右平移1个单位长度，平移后解析式为：v=-2(x-l)2+b再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为:y=-2(x-l):+2故选C.考点：二次函数图象与几何变换.已知抛物线y=ax2+bx+c(aMO)经过点(1,1)和(-1,0).下列结论：a-b+c=O；b24ac；当aVO时，抛物线与x轴必有一个交点在点(1,0)的右侧；抛物线的对称1轴为x=-.4a其中结论正确的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】试题分析：T抛物线y=ax2+bx+c(aMO)经过点(-1,0),Aa-b+c=O,故正确.T抛物线y=ax2+bx+c(

17、aMO)经过点(1,1),.a+b+c=1.1又a-b+c=O,两式相加，得2(a+c)=1,a+c=,21两式相减，得2b=1,b=.2111(1b24ac=4aa=2a+4a2=2a40,I2丿设另一个交点的横坐标为x,1a2a=1nx=12a2aVa1.2a即抛物线与X轴必有一个交点在点（1,0）的右侧，故正确.1b21抛物线的对称轴为X=-=-2=-，故正确.2a2a4a综上所述，结论正确的有3个.故选B考点：1.二次函数图象上点的坐标特征；2.二次函数图象与系数的关系；3.二次函数与一元二次方程的关系；4.一元二次方程根的判别式和根与系数的关系；5.二次函数的性质；6.不等式的性质.

18、（2015.山东济南，第15题,3分）如图，抛物线y=-2x2+8x-6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作C，将C向右平移得C，C与x轴交于点B，D.若直线y=x+m与q、C共有3个不同的8C.-3VmV24D.-3VmVJ8【答案】D解析】试题分析：令y=-2x2+8x-6=0,即X2-4x+3=0,解得x=1或3，则点A（1，0），B（3，0），由于将q向右平移2个长度单位得c2,则q解析式为y=-2（x-4）2+2（3WxW5）,当y=x+m与C相切时，即2x2-15x+30+m=0，=-8m-15=0,115解得mi=-,18当y=x+m2过点B时,即0=3+m，2m

19、=-3,215当-3VmV-石时直线y=x+m与C、C共有3个不同的交点,812故选：D.考点：二次函数的图象.（2014甘肃省白银市）二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0，则它的图象一定过点（）A.（-1，-1）B.（1，-1）C.（-1，1）D.（1，1）【答案】D.【解析】试题分析：对二次函数y=x2+bx+c,将b+c=0代入可得：y=x2+b（x-1）,则它的图象一定过点（1，1）.故选D.考点：二次函数图象与系数的关系.（2015黑龙江绥化）把二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度,平移后抛物线的解析式为.【答案】y=2x2+4x或y=2（x+1）

20、2-2（答出这两种形式中任意一种均得分）【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律：左扣右减，上加下减，可得二次函tiy=2x:平移后的抛物线的解析式加=2（工或，=23+1）：-2=W+4工.考点：抛物线的平移.&（2015辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x-h）2（a丰0）的图象可能是（）【答案】D.【解析】试题分析：二次函数y=a（x-h）2（a丰0）的顶点坐标为（h,0）,它的顶点坐标在x轴上，故选D.考点：二次函数的图象.二.填空题9如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1,0）,（3,0）两点，則它的对称轴为.【答案】直线x=2.【解析】试题分析：对称轴平行于y轴的抛

21、物线与x轴交于（1,0），（3,0）两点，1+3它的对称轴为x=2.2考点：二次函数的性质.已知抛物线y=ax2+bx+c（aM0）与x轴交于A、B两点.若点A的坐标为（-2,0），抛物线的对称轴为直线x=2.则线段AB的长为.【答案】8【解析】试题分析：T对称轴为直线x=2的抛物线ax2-bx-c(a=0)与轴相交于A、E两点，：4、E两点关于直线x=2对称.点A的坐标为(?0),点E的坐标为(6,0).AB=6-(-2)=8.考点：1.抛物线与x轴的交点问题；2.二次函数的性质.1(2015.山东枣庄，第12题，3分)如图是二次函数y=ax?+bx+c(aMO)图象的一部分，对称轴为x=亍

22、，且经过点(2,0),有下列说法：abcVO；a+b=O:4a+2b+c=0；若(0,y1),(1,y2)是抛物线上A.B.C.D.【答案】A【解析】b1试题分析：由图象可得aO,cO,又因为一亍=0，所以b0,即abcO,正确；当x=1时,a+b=O；2a2正确；当x=2时，4a+2b+c=O,错误；当x=1时，所得y2与抛物线与y轴的交点关于抛物线的对称轴对称，所以y=y，正确故选A.12考点：二次函数的图象和性质(2O15资阳)已知抛物线p：y二ax2+bx+c的顶点为C,与x轴相交于A、B两点(点A在点B左侧),点C关于x轴的对称点为C,我们称以A为顶点且过点C,对称轴与y轴平行的抛物

23、线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC为抛物线p的“梦之星”直线.若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y二X2+2x+1和y二2x+2，则这条抛物线的解析式为.答案y二x2-2x-3.【解析】试题分析：+加+1+厅点坐标为(-1,0),解方程组：”,得：v=2x4-2y=0或I；：，：点&的坐标为心丁点C和点关于卄由对称H(l,-4，设原抛物线解析式为v=-4,把.4(-1,U代入得4-4=0,解得沪1,原抛物线解析式为v=(x-l)2-4=-2x-3.故答案为:y=jT-2x-3.考点：1.抛物线与X轴的交点；2.二次函数的性质；3.新定义.三解答题如图，已知二次函数y=a

24、(x-h)2+75的图象经过原点0(0,0),A(2,0).写出该函数图象的对称轴；若将线段OA绕点0逆时针旋转60。到OA,试判断点A是否为该函数图象的顶点？答案】(1)x=1；(2)是.解析】试题分析：(1)由于抛物线过点0(0,0),A(2,0),根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；(2)作AB丄x轴与B,先根据旋转的性质得0A=0A=2,ZA0A=2,再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=20A=1,AB=x/3OB=J3，则A点的坐标为(1,-3)，根据抛物线的顶点式可判断点A为抛物线y=-3(x-1)2+、：3的顶点.试题解析：(1).二次函数y=a(x-h)2

25、+J3的图象经过原点0(0,0),A(2,0).抛物线的对称轴为直线x=1；(2)点A是该函数图象的顶点.理由如下：如图，作AB丄x轴于点B,线段0A绕点0逆时针旋转60。到0A,.0A=0A=2,ZA0A=2,在RtAAOB中，Z0AB=30,1.0B=0A=l,2.*.A/B,，30B=；3,A点的坐标为(1,x/3),点A为抛物线y=-V3(x-1)2/3的顶点.考点：1.二次函数的性质；2.坐标与图形变化-旋转.(2015黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭)【6分】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC1的边长为4,顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y二-2x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD.求此抛物线的解析式.求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.1【答案】(1)y二2x2+2x+4；(2)D(2,6),12.【解析】试题分析：1)根据题意得到$与&的坐标，代入抛物线解析式即可求出E与的值，从而得到解析式；2)把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，根据四边形尿面积二三角形磁面积+三角形应面积，求出即可.试题解析：由已知得：&,4),Eg4),1斗方+匚=21把用与卞坐标代入张+c得：=4亠，解得