变化率问题-完整版PPT

1、 3.1.1 变化率问题 桂阳三中 雷运杏微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值;四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么当空气容量V从0L增加到1L

2、, 气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:在0 t 0.5这段时间里,在1 t 2这段时间里, 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

3、平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。探究：时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.518.633.4现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为： t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（注： 3月18日为第一天）例题： t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义是什么？（形与

4、数两方面）问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？（1）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。 t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210（2）由点B上升到C点，必须考察yCyB的大小，但仅仅注意yCyB的大小能否精确量化BC段陡峭程度？在考察yCyB的同时必须考察xCxB，函数的本质在于一个量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。 t(d)2030342102030A (1, 3.5)B (32, 18.6)0C (34, 33.4)T ()210(3)我们用比值 近似地量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率(4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平均变化率现在回答问题“气温陡增” 它的数学意义是什么？（形与数两方面）定义:平均变化率: 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则理解：1，式子中x 、 y 的值可正、可负，但的x值不能为0， y 的值可以为02，若函数f (x)为常函数时， y =0 3,