复变函数与积分变换第七章

1、复变函数与积分变换第七章第1页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二第七章 Fourier变换7.1 Fourier变换的概念7.2 单位脉冲函数及其Fourier变换7.3 Fourier变换的性质7.4 卷积第2页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分、积分）转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之

2、一积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用 第3页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二 人类视觉所感受到的是在空间域和时间域的信号. 但是，往往许多问题在频域中讨论时，有其非常方便分析的一面.例如，空间位置上的变化不改变信号的频域特性. 首先，提出的变换必须是有好处的，换句话说，可以解决时域中解决不了的问题. 其次，变换必须是可逆的，可以通过逆变换还原回原时域中.第4页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二频域分析：傅里叶

3、变换，自变量为 j 复频域分析：拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：Z 变换，自变量为z 第5页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量的积分）变为另一函数类 B中的函数 这里 是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核 称为 的像函数或简称为像， 称为 的原函数第6页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易

4、在像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在A中所求的解，而且是显式解 另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，就得到不同名称的积分变换: 第7页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二（1）特别当核函数 （注意已将积分参变量改写为变量），当，则称函数 为函数 的傅里叶（Fourier）变换，简称为函数的傅氏变换同时我们称 为的傅里叶逆变换第8页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二（2）特别当核函数 （注意已将积分参变量改写为变量），当，则称函数 为函数 的拉普拉斯 (Laplace)变换，简称 为函数 的拉氏变换同时我们称 为 的拉

5、氏逆变换 第9页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二第八章 Fourier 变换8.2 单位脉冲函数8.1 Fourier 变换的概念 8.3 Fourier 变换的性质第10页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二主 要 内 容 Fourier变换是一种对连续时间函数的积分变换,通过特定形式的积分建立函数之间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物理意义(从频谱的角度来描述函数的特征),因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速Fourier变换在计算机时代更是特别重要 第11页，共90页，2022年，5月20日，22点5

6、2分，星期二傅里叶变换发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础.泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用.19世纪末，人们制作出用于工程实际的电容器；进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景.在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点.“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力. 第12

7、页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二傅立叶变换的作用 （1）可以得出信号在各个频率点上的强度.（2）可以将卷积运算化为乘积运算.（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段.（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两 个不同的角度来看待图像的问题，有时在 空间域无法解决的问题在频域却是显而易 见的.第13页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二Fourier 变换是积分变换中常见的一种变换，它既能够简化运算 ( 如求解微分方程、化卷积为乘积等等 )，又具有非常特殊的物理意义。 的地位，而且在各种工程技术中都有着广泛的应用。展起来的。在微积

8、分课程中已经学习了Fourier 级数的有关 内容，因此本节将先简单地回顾一下 Fourier 级数展开。8.1 Fourier 变换的概念因此，Fourier 变换不仅在数学的许多分支中具有重要Fourier 变换是在周期函数的 Fourier 级数的基础上发第14页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二8.1 Fourier 变换的概念一、周期函数的 Fourier 级数二、非周期函数的 Fourier 变换第15页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二一、周期函数的 Fourier 级数1. 简谐波的基本概念简谐波为基本周期；为频率。A 称为振幅， 其

9、中，称为角频率，称为相位，( 称为零相位)。(单位：秒)(单位：赫兹 Hz) 补 第16页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二区间 上满足如下条件(称为 Dirichlet 条件)：则在 的连续点处有(1) 连续或只有有限个第一类间断点；(2) 只有有限个极值点 .( Dirichlet 定理)设 是以 T 为周期的实值函数，且在定理2. Fourier 级数的三角形式一、周期函数的 Fourier 级数P120定理 7.1 在 的间断处，上式左端为第17页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二称之为基频。( Dirichlet 定理)定理3. Fouri

10、er 级数的三角形式其中,(A)称 (A) 式为 Fourier 级数的三角形式。定义一、周期函数的 Fourier 级数( Fourier级数的历史回顾)第18页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二3. Fourier 级数的物理含义令则 (A) 式变为O(A)改写一、周期函数的 Fourier 级数第19页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二这些简谐波的(角)频率分别为一个基频 的倍数。频率成份，其频率是以基频 为间隔离散取值的。” 这是周期信号的一个非常重要的特点。3. Fourier 级数的物理含义认为 “ 一个周期为 T 的周期信号 并不包含所

11、有的意义周期信号可以分解为一系列固定频率的简谐波之和，表明一、周期函数的 Fourier 级数第20页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二相位反映了在信号 中频率为 的简谐波 这两个指标完全定量地刻画了信号的频率特性。3. Fourier 级数的物理含义反映了频率为 的简谐波在信号 中振幅所占有的份额；沿时间轴移动的大小。一、周期函数的 Fourier 级数第21页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二4. Fourier 级数的指数形式代入 (A) 式并整理得根据 Euler 公式 可得推导(A)已知一、周期函数的 Fourier 级数P120 第22页

12、，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二4. Fourier 级数的指数形式推导则有令其中,(B)称 (B) 式为 Fourier 级数的指数形式。定义一、周期函数的 Fourier 级数第23页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(1) 分解式是惟一的。注意(2) 计算系数 时, 其中的积分可以在任意一个长度为 T 的区间上进行。(3) 采用周期延拓技术，可以将结论应用到仅仅定义在某个有限区间上的函数。4. Fourier 级数的指数形式一、周期函数的 Fourier 级数第24页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二5. 离散频谱与频谱

13、图得O分析由即 的模与辐角正好是振幅和相位。称 为频谱，记为称 为振幅谱，称 为相位谱；定义一、周期函数的 Fourier 级数第25页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二5. 离散频谱与频谱图将振幅 、相位 与频率 的关系画成图形。频谱图OO一、周期函数的 Fourier 级数第26页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(1) 当 n = 0 时，解基频O第27页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二解(2) 当 时,O第28页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(3) 的 Fourier 级数为解(4) 振幅谱为

14、相位谱为O第29页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(5) 频谱图如下图所示。 解1-22-1O 1-22-1O O第30页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二借助 Fourier 级数展开，使得人们能够完全了解一个信号的频率特性，从而认清了一个信号的本质，这种对信号的分析手段也称为频谱分析(或者谐波分析)。但是，Fourier 级数要求被展开的函数必须是周期函数， 而在工程实际问题中， 大量遇到的是非周期函数，那么，对一个非周期函数是否也能进行频谱分析呢?二、非周期函数的傅立叶变换第31页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二二、非

15、周期函数的傅立叶变换(1) 非周期函数可以看成是一个周期为无穷大的“周期函数”。1. 简单分析第32页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二当 T 越来越大时，取值间隔越来越小；当 T 趋于无穷时，取值间隔趋向于零，因此，一个非周期函数将包含所有的频率成份。其频谱是以 为间隔离散取值的。即频谱将连续取值。(2) 当 时，频率特性发生了什么变化？二、非周期函数的傅立叶变换1. 简单分析Fourier 级数表明周期函数仅包含离散的频率成份，分析第33页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(3) 当 时，级数求和发生了什么变化？二、非周期函数的傅立叶变换1. 简

16、单分析记为节点将间隔记为得并由分析(C)第34页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二分析则按照积分定义，在一定条件下，(C) 式可写为记(3) 当 时，级数求和发生了什么变化？二、非周期函数的傅立叶变换1. 简单分析第35页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(2) 绝对可积，即上的任一有限区间内满足 Dirichlet 条件；(1) 在二、非周期函数的傅立叶变换定理设函数 满足的间断处，公式的左端应为在2. Fourier 积分公式称 (D) 式为 Fourier 积分公式。定义则在的连续点处，有(D)P121定理 7.2 第36页，共90页，2022

17、年，5月20日，22点52分，星期二(2) Fourier 逆变换(简称傅氏逆变换)称为傅氏变换对，记为与二、非周期函数的傅立叶变换-1(1) Fourier 正变换(简称傅氏变换)定义其中，称为象原函数称为象函数，3. Fourier 变换的定义注 上述变换中的广义积分为柯西主值。 P124定义 7.2 第37页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二二、非周期函数的傅立叶变换4. Fourier 变换的物理意义与 Fourier 级数的物理意义一样，Fourier 变换同样称 为振幅谱；称 为相位谱。刻画了一个非周期函数的频谱特性，不同的是，非周期函数的频谱是连续取值的。一

18、般为复值函数，故可表示为称 为频谱密度函数(简称为连续频谱或者频谱)；定义反映的是 中各频率分量的分布密度，它第38页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二解(1)a- a1Ot第39页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(2) 振幅谱为相位谱为解2aOO主瓣旁瓣第40页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(3) 求 Fourier 逆变换，即可得到 Fourier 积分表达式。解-1可得重要积分公式 : 在上式中令注第41页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二可得重要积分公式 : 在上式中令 一般地，有 特别地，有

19、注第42页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二1Ot解(1)P124 例4改 第43页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二解振幅谱为 (2)相位谱为OO第44页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二解 -1-1 1 记为 第45页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二8.2 单位脉冲函数 二、单位脉冲函数的概念及性质 三、单位脉冲函数的 Fourier 变换 一、为什么要引入单位脉冲函数 第46页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二一、为什么要引入单位脉冲函数 理由 (1) 在数学、物理学以及工程技

20、术中，一些常用的重要 函数，如常数函数、线性函数、符号函数以及单位 阶跃函数等等，都不能进行 Fourier 变换。 (2) 周期函数的 Fourier 级数与非周期函数的 Fourier 变 换都是用来对信号进行频谱分析的，它们之间能否 统一起来。 (3) 在工程实际问题中，有许多瞬时物理量不能用通常 的函数形式来描述，如冲击力、脉冲电压、质点的 质量等等。 第47页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二一、为什么要引入单位脉冲函数 细杆取 的结果。 长度为 a ，质量为 m 的均匀细杆放在 x 轴的 0 , a 区间 引例 上，则它的线密度函数为 质量为 m 的质点放置在

21、坐标原点，则可认为它相当于 显然 , 该密度函数并没有反映出质点的任何质量信息 , 相应地，质点的密度函数为 第48页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二P126定义7.3 二、单位脉冲函数的概念及性质 1. 单位脉冲函数的概念 (1) 当 时， (2) 显然，借助单位脉冲函数，前面引例中质点的密度函数 定义 单位脉冲函数 满足： 单位脉冲函数 又称为 Dirac 函数或者 函数。 就可表示为 当 时， 第49页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二二、单位脉冲函数的概念及性质 1. 单位脉冲函数的概念 (1) 单位脉冲函数 并不是经典意义下的函数，而是一

22、 个广义函数(或者奇异函数)，它不能用通常意义下的 “值的对应关系”来理解和使用，而总是通过它的性质 注 来使用它。 (2) 单位脉冲函数有多种定义方式，前面给出的定义方式 是由 Dirac(狄拉克)给出的。 单位脉冲函数其它定义方式第50页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二二、单位脉冲函数的概念及性质 2. 单位脉冲函数的性质 (2) 对称性质 函数为偶函数，即 (1) 筛选性质 性质 设函数 是定义在 上的有界函数， 且在 处连续， 则 一般地，若 在 点连续， 则 P127性质 1 P127性质 3 第51页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二

23、函数的图形表示方式非常特别，通常采用一个从原点 出发长度为 1 的有向线段来表示， 同样有，函数 的脉冲强度为 A。 代表 函数的积分值， 称为脉冲强度。 二、单位脉冲函数的概念及性质 3. 单位脉冲函数的图形表示 t 1 t 1 t A 其中有向线段的长度 第52页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二三、单位脉冲函数的 Fourier 变换 由此可见，单位脉冲函数包含所有频率成份，且它们具有 利用筛选性质，可得出 函数的 Fourier 变换： 即 与 1 构成Fourier变换对 相等的幅度，称此为均匀频谱或白色频谱。 t 1 w 1 P128 第53页，共90页，20

24、22年，5月20日，22点52分，星期二 重要公式 称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。 在 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 函数的 注 性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 三、单位脉冲函数的 Fourier 变换 按照 Fourier 逆变换公式有 第54页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二解 (1) (2) 将等式 的两边对 求导，有 即得 第55页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二它是工程技术中最常用的函数之一。 解 已知 又 1 + 得 称 为单位阶跃函数，也称为 Heavisi

25、de 函数， 注 第56页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二解 (1) (2) 由 ， 有 + w 第57页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二7.3 Fourier(逆)变换的性质以下假定所讨论的函数满足Fourier积分定理的条件.(1) 线性性质 设a, b 是常数， 则 第58页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(2) 位移性质第59页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(3) 相似性质 第60页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(4) 微分性质设 并且 在 上存在(n为正整数).

26、 如果当 时, 则 第61页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二上面是关于时域的微分性质. 类似地也有关于频域的微分性质: 设 并且 在 上存在(n为正整数). 如果当 时, 则 从而可知 第62页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二例1 设 求 令 于是由 可知 所以 第63页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(5) 积分性质设 并且如果 则 第64页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二 实际上, 只要记住下面五个傅里叶变换, 则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.第65页，共90页

27、，2022年，5月20日，22点52分，星期二定义 设函数 和 都是 上的 绝对可积函数, 积分称为函数 和 在区间 上的卷积. 记为 或 , 即 7.4 卷积第66页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二如果 t0 时, 则卷积变为 这是 上的卷积公式.第67页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二卷积具有下面一些性质(这里假定所有的广义积分均收敛, 并且允许积分交换次序):(1) 交换律 (2) 分配律 (3) 结合律 第68页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二(4) 与单位脉冲函数的卷积设 f (t)是 上的连续函数, 则 例 求

28、 和 在 上的卷积. 解由 上的卷积公式第69页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二卷积定理：第70页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二Fourier变换的应用前面已经通过一些例子介绍了Fourier 变换在频谱分析中的应用. 下面再给出一个讨论在信息传输中不失真问题的例子.例 任何信息的传输, 不论电话、电视或无线电通信, 一个基本问题是要求不失真地传输信号,所谓信号不失真是指输出信号与输入信号相比, 只 是大小和出现时间不同，而没有波形上的变化. 第71页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二设输入信号为f (t), 输出信号为g

29、(t), 信号不失真的条件就是 其中K为常数，t0是滞后时间. 从频率响应来看, 为了使信号不失真. 应该对电路的传输函数H(w)提出一定的条件. 传输函数H(w)f (t)g(t)第72页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二设F(w)和G(w)分别是输入信号f (t)和输出信号 g(t)的Fourier变换. 传输函数H(w)G(w)g(t)f (t)F(w)由Fourier变换的 可得 这说明, 如果要求信号通过线性电路时不产生任何失真, 在信号的全部通频带内电路的频率响应必须具有 故要求传输函数恒定的幅度特性和线性的位相特性. 第73页，共90页，2022年，5月20

30、日，22点52分，星期二最后介绍应用Fourier变换求解某些数学物理方程 (偏微分方程)的方法. 在应用 Fourier 变换求解偏微分方程时, 首先将未知函数看做某个自变量的一元函数, 对方程两端取Fourier变换, 把偏微分方程转化成未知函数为像函数的常微分方程, 再利用所给的条件求常微分方程, 得到像函数后, 再求Fourier逆变换, 即得到偏微分方程的解.第74页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二Fourier变换的应用(微分、积分方程的Fourier变换解法)微分、积分方程取Fourier变换象函数的代数方程解代数方程 象函数取Fourier逆变换象原函数

31、(方程的解)第75页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二求解数学物理方程本章内容总结线性性质对称性质相似性质翻转性质时移性质频移性质时域微分频域微分积分性质卷积性质Fourier变换d 函数的Fourier变换基本性质时移性质频移性质微分性质反演公式第76页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二本章的重点2. 会求简单的Fourier变换1. Fourier 变换的定义及其性质第77页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二第七章 完第78页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二Jean le Rond DAlembert

32、(1717.11.16-1783.10.29)法国数学家和物理学家, 被一个贫穷家庭收养的弃婴.他是18世纪的大数学家, 在很多领域取得了成就, 特别在微分方程和力学等方面的贡献尤为突出.第79页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二历史回顾 Fourier级数 附： 1807 年 12 月 12 日，在法国科学院举行的一次会议上，Fourier 宣读了他的一篇关于热传导的论文，宣称：在有限区间上由任意图形定义的任何函数都可以表示为单纯的正弦与余弦函数之和。经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德三人(号称 3L)审阅后，认为其推导极不严密，被拒(锯)收。第80页，共90页，2022年，

33、5月20日，22点52分，星期二 1811 年，Fourier 将修改好的论文：提交给法国科学院。关于热传导问题的研究其新颖、实用，从而于 1812 年获得法国科学院颁发的大奖，但仍以其不严密性被论文汇编拒(锯)收。经过评审小组( 3L )审阅后，认为历史回顾 Fourier级数 附： 第81页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二 1822 年，Fourier 经过十年的努力，终于出版了专著：热的解析理论这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下使用的三角级数方法，发展成内容丰富的一般理论，特别是在工程应用方面显示出巨大的价值。历史回顾 Fourier级数 附： 第82页，共90页，2022年，5月20日，22点52分，星期二 1829 年，德国数学家 Dirichlet 终于对一类条件较“宽”的函数给出了严格的证明。时年 24 岁。 1830年 5 月 16 日，Fourier 在巴黎去世。启示：(1) 有价值的东