高等数学3-6函数图形描绘和平面曲率课件

1、复习极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.2. 驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.3. 判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)1. 注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念.4. 实际问题求最值的步骤.第六节一、 曲线的渐近线二、 函数图形的描绘函数图形的描绘一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径 第七节平面曲线的曲率点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,一、 曲线的渐近线定义: 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L为曲线C 的渐近线 .或为“纵坐标差”1. 水平渐近线例如有水平渐近线两条:(平行于

2、 x 轴的渐近线)若( b 为常数 )则 就是 的一条水平渐近线. 有铅直渐近线两条:2. 铅直渐近线(垂直于 x 轴的渐近线)则 就是 的一条铅直渐近线. 若例如思考题：两个坐标轴 是否都是函数的渐近线？是其图象的渐近线不是其图象的渐近线思考题解答：3. 斜渐近线斜渐近线求法:则 就是 的一条斜渐近线. 若或(a, b 为常数)例1 讨论 的渐近线.解要求：首先写出定义域为 的铅直渐近线.没有水平渐近线.及其渐近线作图范围：作图范围：函数图形的描绘的步骤3. 列表判别增减及凹凸区间, 求出极值和拐点；4. 确定函数的渐近线及其它变化趋势；5. 确定和补充某些点(如：与坐标轴的交点等), 描绘

3、函数图形.奇偶性，周期性等性态；并考察其对称性1. 确定函数的定义域,2. 求并求出及为 0 和不存在的点；解非奇非偶函数,且无对称性.例2 作函数 的图形.得到驻点得到特殊点水平渐近线:列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点铅直渐近线:作图拐点极值点与渐近线的交点与x轴的交点为了描述更准确补充点：解偶函数, 图形关于y轴对称.例3 作函数 的图形.得到驻点得到特殊点水平渐近线:无铅直和斜渐近线.内容小结函数图形的描绘综合运用函数性态的研究 是导数应用的综合考察.水平渐近线; 垂直渐近线; 斜渐近线1. 曲线渐近线的求法按作图步骤进行2. 函数图形的描绘规定： 设

4、函数 在区间 内具有连续导数.基点：为任意一点(1) 曲线的正向与 x 增大的方向一致;(2) 当 的方向与曲线正向一致时，s 取正号，相反时， s 取负号.设在(a , b)内有连续导数,其图形为弧长或几何意义:则弧长微分为:若曲线由参数方程表示:表示对参数 t 的导数.定义弧段 上的平均曲率为点 M 处的曲率在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为对应的切线转角为注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .解: 如图所示 ,可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小.2. 曲率K 的计算公式二阶

5、可导,设曲线弧则由(设 )又故曲率计算公式为当 时，有曲率近似计算公式例2 抛物线 上哪一点的曲率最大？ 解显然, 当 时，由于 为抛物线的顶点，因此， 抛物线在其顶点处的曲率最大.说明: (1) 若曲线由参数方程给出, 则(2) 若曲线方程为则例3. 椭圆 上哪些点处曲率最大？解：要使 最大，必有 最小，此时 最大，三、曲率圆与曲率半径设曲线 在点 处的曲率为 在点 M 处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点 D,使得以 D 为圆心， 为半径作圆， M 处的曲率圆.称此圆为曲线在点称 D 为曲率中心称 为曲率半径.曲率圆与曲线在点 M 处有以下关系：1. 有共同的切线，即曲率圆与曲线在点 M 处

6、相切.2. 有相同的曲率.3. 因此，圆和曲线在点M处具有相同的一阶和二阶导数.曲线弧的近似代替：曲率圆(弧).内容小结或运用微分学的理论, 研究曲线和曲面的性质的数学分支 微分几何学.基本概念: 弧微分, 曲率, 曲率半径.1. 弧长微分2. 曲率公式3. 曲率半径作 业P169. 3, 4; P177. 1; P183. 15思考与练习 1. 曲线(A) 没有渐近线；(B) 仅有水平渐近线；(C) 仅有铅直渐近线；(D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线.2. 求曲线的渐近线.所以有铅直渐近线及为曲线的斜渐近线 .又解:单增区间单减去间最 大 值最 小 值极 大 值 极 小 值渐 近 线拐 点3. 设 , 填表并作函数的图形.备用题部分1. 求椭圆在何处曲率最大?解:K 最大最小求驻点: 从而 K 取最大值 .设计算驻点处的函数值:则当 时，取最小值，这说明椭圆在点处曲率最大.K 最大最小2. 设一工件内表面的截痕为一椭圆,