西安交通大学《高等数学》期末复习习题50道及答案解析

1、 习题一、选择题1设是未定式，则存在是存在的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D. 既非必要也非充分条件难度：简单 答案C2奇函数在1，-1上可导，且，则（ ）成立。A.|M B.M C.|M D. |0 的单调增区间为（ ） 难度：简单 答案 （0，n）7函数的凸区间为（ ） 难度：中等 答案（-1，3）8函数 的拐点为（ ） 难度：中等 答案（-1，ln2）9函数在x=0点附近连续，且，则在x=0点处取得极（ ）值。 难度：中等 答案 小10设，则的最大值为（ ）难度：难 答案三、证明题1函数在闭区间a,b连续，在开区间（a,b）可导，求证在（a,b）内存在点，使得难度：难

2、 证：令，F（x）在a,b上满足拉格朗日中值定理的条件，所以在（a,b）内存在点，使得即 2函数f(x)在0，1上连续，在（0，1）上可导，则至少存在一点（0，1）,使难度：中等 证 所要证明的等式可以变形为 ，设g(x)=，则f(x)、g(x)满足柯西中值定理的条件，所以存在（0，1），使得，即3. 设在0,1连续可微，在(0,1)二阶可微，且，证明：在(0,1)内至少有一个根.难度：中等 证 在0,1满足罗尔定理的条件，存在(0，1)，=0.在上，还满足罗尔的条件，所以存在（），使得 =0成立，即 =0有实根.4设函数(x)在区间上连续, 在内可导,且有.证明:存在.难度：中等 证 连续，

3、存在，在上满足罗尔定理的条件，使得 ，即=0 5. 求证：设f(x)在a,b（ba0）上连续,在(a,b)内可导，则存在(a,b)，使得难度：中等 证： 设，则在上满足柯西中值定理的条件，使得 ，即7求证难度：简单 证 令，则，函数单调增加，当时，即。8求证 难度：简单 证明 令，则，函数递增，当时，即； 9求证：难度：简单 证明 令，则，函数递增，当时，即；10求证，.难度：中等 证 令，则，令，则，所以递减，因而，函数递减，在时，即.11 证明 当时，难度：简单 证 设 则=所以 取确定常数，即12设是实数，求证最多有三个实根。难度：中等 证 用反证法：令，设方程=0有四个不同实根，则由罗

4、尔定理方程=0有三个不同实根，所以方程=0有二个不同实根，再由罗尔定理，方程=0有实根，矛盾。13设，求证。难度：简单 证 令，则令得到函数的驻点。当时，；当时，所以是极大值，也是最大值。因而时，即。四、计算题1求极限 难度：简单解 .2求极限 难度：中等解 令，则 =，3求难度：简单解 4求难度：中等解 5难度：难解=6设函数有连续的导数，且，求难度：中等解 7在处取得极小值，求a.难度：简单解 ,所以，8函数满足，若是的一个驻点，且，问是否为极值？是极大值还是极小值？难度：简单解 因为是的一个驻点，所以，因而，是极大值。9.求函数的单调区间和极值.难度：中等解，令得驻点，在不可导.当时，时

5、，所以为极小值.当时，时，所以为极大值.减区间为，增区间为（0，1）.10.求函数的凸凹区间和拐点难度：简单解 ，令，得到。当时，曲线凸；当时，曲线凹。所以函数凸区间为，凹区间为，拐点为11设在处都取的极值，求和的值，并求极值.难度：中等解 ，函数在极值点的导数为零，所以，解出.，因为，所以是极小值.同理，因为，所以是极大值.12曲线+1在拐点处的法线通过原点，求k难度：难解 这是个偶函数，我们只讨论情形.，在处是拐点.拐点处的导数为，法线方程为，将原点坐标代入法线方程，得到，解出.13.求函数的极值.难度：中等解 ，令得驻点，在不可导.当时，时，所以为极大值.当时，为极小值.14.求内接于右半椭圆的矩形的最大面积.难度：中等解 设矩形在第一象限的顶点为（），则矩形面积为,令=0，得极值点.显然这个点也是面积A的最大值点，最大值为.15.在曲线上求一点，使过该点的切线被坐标轴所截线段长度最短.难度：简单解 设曲线上的点为，则该点切线方程为，在坐标轴上的截距为,被坐标轴所截线段长度为，只要求a的值，使最小.令，得,所求点为（1，1）或（1，-1）.16讨论，的