飞行器结构动力学第5章 弹性体振动教学课件

1、韦微义托儿所执教：韦微义飞行器结构动力学第5章 弹性体振动教学课件 西北工业大学 第5章 弹性体振动飞行器结构动力学第5章 工程振动测试和实验5.1 弦的振动 5.2 杆的纵向振动 5.3 轴的扭转振动 5.4 梁的弯曲振动 5.5 简支梁情形 5.6 固支梁情形 5.7 悬臂梁情形 5.8 振型函数的正交性 5.9 主振型叠加法 第5章 工程振动测试和实验第5章 工程振动测试和实验5.1 弦的振动 第5章 工程振动测试和实验5.1 弦 的 振 动 前面几章，我们讨论的都是离散体系统，这一章我们将讨论连续系统，连续系统是由弹性体元件组成的 本章讨论理想弹性体的振动。所谓理想弹性体是指满足以下三

2、个条件的连续系统模型： 均匀分布 各向同性 服从虎克定律 弹性体具有分布的物理参数（质量、阻尼、刚度），弹性体的空间位置需用无数多个点的坐标来确定。也就是说，弹性体具有无限多个自由度。 这些主振型之间也存在着关于质量和刚度的正交性；通过对一些简单形状的弹性体的振动分析，将会看到: 任何一个弹性体具有无限多个自然频率以及与之相应的主振型； 弹性体的自由振动也可以表示为各主振动的线性叠加； 对于弹性体的动响应分析主振型叠加法仍然是适用的。5.1 弦 的 振 动 设理想柔软的细弦张紧于两个固定点之间，张力为T 跨长为 l，弦单位长度的质量为 ，两支点连线方向取为x 轴，与 x轴垂直的方向取为 y轴，

3、如图5-1a， 波动方程图5-1 弦振动示意图 5.1 弦 的 振 动 (a) 设弦的振动发生在xoy平面内，弦的运动可表示为y = y(x,t) 。并假设弦的振动幅度是微小的，即y 与 均为小量；在这些假设下，弦的张力T 可近似地看作常量。再设重力与阻尼的影响均可略去不计。 在自由振动中，弦的微元dx 的受力图如图5-1b,运动微分方程为5.1 弦 的 振 动 图5-1 弦振动示意图(b) 故有 整理得 （5-1） 式中 弦的运动还必须满足边界条件（5-2）式（5-1）中的c 就是弹性波沿弦向的传播速度。式（5-1）亦称波动方程。5.1 弦 的 振 动 描述弦振动的函数y(x,t) 可以分解

4、为空间函数与时间函数的乘积，即（5-3） 其中 X(t)是振型函数，它表示整个弦的振动形态，而 Y(t)表征点的振动规律。将（5-3）代入（5-1）式，可得: （5-4）要使上式对任意的x与t都成立，必然是二者都等于同一个常数。设这一常数为，得如下两个常微分方程 特征方程5.1 弦 的 振 动 取 。于是，上述方程可改写为（5-5）（5-6）可解得 （5-7）（5-8）5.1 弦 的 振 动 其中C 、D 为积分常数，另外，由边界条件（5-2），得（5-9）（5-10）得 （5-11）这就是弦振动的特征方程。由此可确定一系列特征值与此相应，可确定一系列特征函数，亦称振型函数（5-12）（5-1

5、3）5.1 弦 的 振 动 与各个特征值相对应，可确定系统的各阶自然频率 （5-14 ）弦对应于各阶自然频率的主振动为（5-15 ）而弦的任意一个自由振动都可以表示为这些主振动的叠加，即有 （5-16 ） 其中各个Ai 与Bi由运动的初始条件确定。5.1 弦 的 振 动 设在初始时刻 有于是有 （5-17 ）5.1 弦 的 振 动 （5-18 ）可见，张紧弦的自由振动，除了基频（最低频率）振动外，还包含频率为基频整数倍的振动。这种倍频振动亦称为谐波振动。 利用三角函数的正交性，可得 5.1 弦 的 振 动 例5-1 设张紧弦在初始时刻被拨到如图5-2所示的位置，然后无初速度地释放。求弦的自由振

6、动。 解：按题设，有 图5-2 例5-1示意图 5.1 弦 的 振 动 因而弦的自由振动可表示为（只写出前4项）： 故有 5.1 弦 的 振 动 第5章 工程振动测试和实验5.2 杆的纵向振动 第5章 工程振动测试和实验 5.2 杆的纵向振动 设杆的横截面在振动时仍保持为平面并作整体运动。略去杆纵向伸缩而引起的横截面变形。 取杆的纵向作为 x 轴，各个截面的纵向位移表示为u(x,t)。 如图5-3。杆的微元dx在自由振动中的受力图也在图5-3中给出。图5-3 等截面细直杆的纵向振动示意图 设杆单位体积的质量为 ，杆长为 l，截面积为A ，材料的弹性模量为E 。再设任一 x 截面处，纵向应变为(

7、x) ，纵向张力表示为P(x) ；则由材料力学知而在x=dx 截面处的张力则为列出杆微元dx的运动方程，得 5.2 杆的纵向振动 整理得 其中 得到类似于（5-5）与（5-6）的常微分方程组，由此解得U(t) 与X(x) ： 仍然采用分离变量法，将 u= (x,t)表示为 5.2 杆的纵向振动 这一情形与上节所述弦的振动相似。边界条件为可得到 两端固定的杆 5.2 杆的纵向振动 两端自由的杆这时，杆两端的应力必须为零，故边界条件为由此得 5.2 杆的纵向振动 一端固定一端自由的杆 这时，边界条件为 由此得 5.2 杆的纵向振动 一端固定一端弹性支承的杆（图5-4）图5-4 一端固定一端弹性支承

8、的杆示意图 设弹性支承刚度为k 。这时，边界条件为 5.2 杆的纵向振动 对应于给定的a值，不难找到各个固有频率i的数字解。而与各个i相应的振型函数为 由此得 从后面一个方程可得 5.2 杆的纵向振动 第5章 工程振动测试和实验5.3 轴的扭转振动 第5章 工程振动测试和实验 取圆轴的轴心线作为x 轴，图5-5轴任一 x截面处的转角表示为(x,t) 。设轴长为l ，单位体积的质量为，圆截面对其中心的极惯量矩为Ip ，材料的剪切弹性模量为 G 。轴的扭转应变为 ，作用于微元dx 两截面上的扭矩分别为 ，及 。5.3 轴的扭转振动假设轴的横截面在扭转振动中仍保持为平面作整体转动。 图5-5 轴扭转

9、振动示意图其中 。这与前面得到的波动方程形式完全一样，故解的形式也一样。整理得列出运动微分方程，可得5.3 轴的扭转振动 例5-2 设轴的一端固定，另一端附有圆盘，如图5-6。圆盘的转动惯量为I 。试考察这一系统的扭振固有频率与振型函数。 图5-6 例5-2示意图解：设轴的扭转振动可表示为且有 5.3 轴的扭转振动轴在l端截面处的扭矩应为 轴在固定端的边界条件为（a） 而这一扭矩就等于圆盘的惯性力矩考虑到 （b）5.3 轴的扭转振动这就是轴在 l 端的边界条件。故有由式（b）可得 （c）其中 式（c）即轴系的特征方程。的物理意义为轴的转动惯量与圆盘转动惯量之比。5.3 轴的扭转振动由式（a）可

10、得 如近似地取 ，则（c）式化简为 下表给出对应于各个不同的 值时，基本特征特征值1 的值。0.010.100.300.500.700.901.001.500.100.320.520.650.750.820.860.982.003.004.005.0010.020.01001.081.201.271.321.421.521.57（d）上式也就是略去轴的质量后所得单自由度系统的固有频率公式。 5.3 轴的扭转振动这时有 （e） 上式也就是将轴的转动惯量的三分之一加到圆盘上后所得单自由度扭振系统的固有频率公式。只要轴的转动惯量不大于圆盘的转动惯量，那么计算基频的近似式（e）在实用上已足够准确了。

11、综上所述，弦的横振、杆的纵振与轴的扭振都导致同一形式的波动方程。它们的运动具有共同的规律，如表5-1。进一步的近似可取 5.3 轴的扭转振动弦的横振杆的纵振轴的扭振物理参数 弦的张力 弦的线质量弹性模量 截面积 密度剪切弹性模量截面极惯性矩 密度 截面的位移横向位移纵向位移转 角单位长度的质量或转动惯量 截面处力（或扭矩）表5-1 弦的横振、杆的纵振与轴的扭振对比表5.3 轴的扭转振动弦的横振杆的纵振轴的扭振 波速运动微分方程通解边界条件两端固定两端自由一端固定一端自由固有频率振型函数5.3 轴的扭转振动第5章 工程振动测试和实验5.4 梁的弯曲振动 第5章 工程振动测试和实验 假设梁具有对称

12、平面，且在弯曲振动中梁的轴线（以下称为挠曲线）始终保持在这一对称平面内。取梁未变形时的轴线方向为x轴（向右为正），取对称面内与x轴垂直的方向为 y轴（向上为正）。5.4 梁的弯曲振动图5-7 梁弯曲振动示意图 梁挠曲线的微分方程 方程（5-20）就是等截面梁在集度为q的分布力作用下的挠曲线微分方程。 除了理想弹性体与微幅振动的假设外，还假设梁的长度与截面高度之比是相当大的。梁挠曲线的微分方程可表示为（5-19）即（5-20） 梁在弯曲振动时，其挠曲线随时间而变化，可表示为 5.4 梁的弯曲振动（5-21）将式（5-21）代入方程（5-20），即得等截面梁自由弯曲振动的微分方程（5-22）其中

13、。方程（5-22）是4阶偏微分方程，也需根据梁的支承情形附加适当的边界条件。所以，在数学上这类问题常称为偏微分方程的边值问题。 应用达朗伯原理，在梁上加以分布的惯性力为 弯曲振动的微分方程5.4 梁的弯曲振动该处挠度与转角都为零，即有或 （5-23） 铰支端 该处挠度与弯矩都为零，即有或（5-24） 常见的边界条件 固支端 5.4 梁的弯曲振动 自由端该处弯矩与剪力都为零，即有或（5-25） 几何边界条件：对挠度或转角的限制条件。 力边界条件：对弯矩与剪力的限制条件。 边界条件的分类5.4 梁的弯曲振动 采用分离变量法。假设方程（5-22）的解可表示为 （5-26）将式（5-26）代人方程（5

14、-22），得 弯曲振动的微分方程的解 要使上式对于任何x与t值都能成立，必须使二者都等于同一个常数，和前面关于波动方程的讨论一样，只有当这一常数取负值时，才有对应于振动运动的解。5.4 梁的弯曲振动故可以把这一常数记为2 。 于是有（5-27）（5-28）（5-27）的通解为 （5-29）方程（5-28）是一个4阶常系数线性常微分方程，它的特征方程为5.4 梁的弯曲振动其特征值为 故方程（5-28）的通解为 引用双曲函数，可将上述通解改写成（5-30）其中 为积分常数。 5.4 梁的弯曲振动 铰支端（5-24） 自由端（5-25）这时，边界条件相应地转化为 固支端（5-23） 5.4 梁的弯曲

15、振动 在具体考察各种支承情形下梁弯曲振动固有频率与振型函数之前，先将边界条件中要用到的X(x)的各阶导导数列出如下： （5-31）（5-32） （5-33）5.4 梁的弯曲振动第5章 工程振动测试和实验5.5 简支梁情形 第5章 工程振动测试和实验 5.5 简 支 梁 情 形 简支梁的边界条件为（5-34）（5-35）（5-36）（5-37）有 于是，特征方程为（5-38）由此得特征值为 （5-39）与此相应的固有频率值为 （5-40）而对应的振型函数为（5-41）与 对应的主振动可表示为 （5-42）5.5 简 支 梁 情 形简支梁的自由振动则可表示为各个主振动的叠加，即 （5-43）设在

16、时，梁的初始挠度与初始速度为则由式（5-43）， 得 （5-44）5.5 简 支 梁 情 形但在x =处有一微段 于受撞击而获得初速度，即有 例5-3 设简支梁在 t = 0 时未发生位移，即有试求梁的自由弯曲振动。 解：则由式（5-44），可得5.5 简 支 梁 情 形 设撞击发生在梁的中点处，即 处，则有 可见，在此情形下，只发生那些与中点截面对称的主振动，（即 ）而它们的振幅则按 递减。 于是由式（5-43），有5.5 简 支 梁 情 形第5章 工程振动测试和实验5.6 固支梁情形 第5章 工程振动测试和实验固支梁的边界条件为（5-45）（5-46）由条件（5-45），有 再由条件（5-

17、46），可得（5-47）5.6 固 支 梁 情 形若上式对 有非零解，它的系数行列式必须为零。即 （5-47）化简后，可得特征方程为（5-48）可以用数字解法求得这一超越方程最低几个特征根为4.7307.85310.99614.13717.2795.6 固 支 梁 情 形 其中，对应于 的各个特征根可足够准确地取为 梁的固有频率相应地为（5-49）由式（5-47）可确定系数 的比值：（5-50）5.6 固 支 梁 情 形（5-51）其中前三阶振型函数示于图5-8。 图5-8 固支梁的前三阶振型函数 故与 相应的各个振型函数可取为5.6 固 支 梁 情 形第5章 工程振动测试和实验5.7 悬臂梁

18、情形 第5章 工程振动测试和实验 取悬臂梁的固定端作为坐标系xOy的原点。悬臂梁的边界条件可表示为5.7 悬 臂 梁 情 形（5-52）（5-53）可得 （5-54）这一方程关于 具有非零解，可得（5-55） 它就是悬臂梁弯曲振动的特征方程。它的最低几个特征根可借数字解求得为1.8754.6947.85510.99614.137其中，对应于 的各个特征根可足够准确地取为悬臂梁的固有频率相应地为（5-56）其基本频率为（5-57）由式（5-54）可确定系数 的比值5.7 悬 臂 梁 情 形（5-58）故与 相应的各个振型函数可取为 （5-59）其中前三阶振型函数示于图5-9。 图5-9 悬臂梁的

19、前三阶振型函数5.7 悬 臂 梁 情 形物理参数 挠曲线挠度 弹性模量 截面惯量矩 梁单位程度质量 梁长运动方程通解固有频率 表5-2类比了六种不同边界条件下均匀梁弯曲的固有频率与振型函数。这些振型函数值已有表可查。表5-2 均匀梁的弯曲振动5.7 悬 臂 梁 情 形边界条件固支梁自由梁悬臂梁特征方程 特征根4.730 7.853 10.9964.730 7.853 10.996（零频率除外）1.875 4.694 7.855振型函数续表5-2 均匀梁的弯曲振动5.7 悬 臂 梁 情 形边界条件简支梁铰支-固支梁铰支-自由梁特征方程 特征根 3.9277.069 10.2103.927 7.0

20、69 10.210（零频率除外）振型函数 注续表5-2 均匀梁的弯曲振动5.7 悬 臂 梁 情 形 例5-4 设在悬臂梁的自由端加上横向弹性支承，其弹簧刚度系数为k，如图5-10。试导出系统的频率方程。图5-10 例5-4示意图 解：取固支端作为坐标系 的原点。由自由端的边界条件，有 在弹性支承端，弯矩为零，而剪力就是弹簧力。故弹性支承端的边界条件为（a） 5.7 悬 臂 梁 情 形由此可得（b）方程（b）有非零解可得 （c）上式即为所求的频率方程。 注意到，当 时上式是悬臂梁的频率方程。 当 ，弹性支承端就相当于铰支端。即为一端固支一端铰支情形下的梁的弯曲振动频率方程。 5.7 悬 臂 梁

21、情 形 解：和上例一样，取固支端作为坐标系原点。假设附加质量可看作质点，那么在梁的 x=l 截面处弯矩为零，而剪力就是质量m的惯性力。这一惯性力可表示为 例5-5 设在悬臂梁的自由端附加集中质量m，如图5-11。试求其频率方程。5.7 悬 臂 梁 情 形图5-11 例5-5示意图即有（b）令 ，即得所求频率方程（c）（a）梁附加质量端的边界条件为5.7 悬 臂 梁 情 形第5章 工程振动测试和实验5.8 振型函数的正交性 第5章 工程振动测试和实验 下面我们仅就梁的弯曲振动的振型函数论证其正交性。和前几节不同，本节所考察的梁截面可以是变化的。这时，梁单位长度的质量(x) 以及截面刚度EI(x)

22、都是x的已知函数，而不必为常数。故梁的自由弯曲振动微分方程为 5.8 振型函数的正交性 从前几节的讨论中可以看到，一些简单情形下的振型函数是三角函数，它们的正交性是比较清楚的；而在另一些情形下得到的振型函数还包含有双曲函数，它们的正交性以及更一般情形下振型函数的正交性尚待进一步说明。 （5-60） 采用分离变量法，将 表示为（5-61） 进行分离变量后，可得 （5-62）（5-63）我们将从方程（5-63）出发进行讨论。这时边界条件为 固支端： （5-64）5.8 振型函数的正交性 铰支端：（5-65） 自由端（5-66） 现假设方程（5-63）在一定的边界条件下，对应于任意两个不同的特征值

23、i或j的振型函数分别为 Xi(x )与 Xj(x ) ，于是有5.8 振型函数的正交性对（5-67）式乘以Xj(x ) dx，然后在 x上对0 x l 进行积分，得（5-67）（5-68）（5-69）对（5-68）式乘以Xj(x ) dx ，然后在0 x l 上对 x进行积分，得5.8 振型函数的正交性（5-70）再对式（5-69）与式（5-70）相减，可得（5-71）可以看到，如果以式（5-64）一（5-66）中任意两个式子组合成梁的边界条件，那么式（5-71）右端都将等于零。所以，在这情形下，就有5.8 振型函数的正交性（5-72）但前面已经假设 ，故有 正是在这一意义上，我们称振型函数

24、与 关于质量密度 正交。数学上亦称以 为权的加权正交，以区别于 常数时， 与 所具有的通常意义下的正交性考虑到式（5-72），从式（5-69）或式（5-70）都可以看到，在上述边界条件下，有 （5-73）5.8 振型函数的正交性 Mi称为第 i阶振型的广义质量，Ki称为第 i 阶振型的广义刚度。由式（5-69）或式（5-70）不难看到，有 当梁的l端为弹性支承时，边界条件为当i = j 时，式（5-71）自然满足。这时，可记下列积分为 由此可见，梁弯曲振动振型函数这种关于刚度EI(x) 的正交性，实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。 （5-74）5.8 振型函数的正交性又当梁的 l 端具

25、有附加质量时，边界条件为 将它代入式（5-71）与式（5-69），可得（5-75）将它代人式（5-71）与式（5-69），可得（5-76）由此可见，在弹性支承端情形与附加质量端情形，它们的振型函数的正交性分别由式（5-75）与式（5-76）表示。5.8 振型函数的正交性 现在来看上述正交性的物理意义。设第 阶与第 阶主振型可分别表示为 我们来证明，当 时，对应于 的惯性力与弹性力在 上所作的功为零。 事实上，对应于 ，梁微元 的惯性力为 对应于 ，梁在该微元处的速度为5.8 振型函数的正交性 故整个梁对应于 的惯性力在 上所作功的功率为 在弯曲振动中，关于弹性力的功，只需要考虑截面弯矩所作的功

26、。梁对应于 的截面弯矩 为 而对应于 的截面转角微元 为5.8 振型函数的正交性 可见，由于振型函数的正交性，当 时，主振动不会激起主振动 ，换句话说，振型函数的正交性反映了各阶主振动之间既不存在惯性耦合作用，也不存在弹性耦合作用。上述讨论同样适用于有弹性支承端与附加质量端的情形。 故整个梁对应于 的弯矩在 上所作的功为5.8 振型函数的正交性第5章 工程振动测试和实验5.9 主振型叠加法 第5章 工程振动测试和实验5.9 主振型叠加法 利用系统的主振型矩阵进行主坐标变换，可以将系统相互耦合的物理坐标运动方程变换成去耦的主坐标运动方程，从而使多自由度系统的动响应分析问题可以按多个单自由度系统的

27、问题分别来处理。对于具有无限多个自由度的连续系统，也可以用类似的方法来分析系统的动响应。5.9 主振型叠加法 对于具有无限多个自由度的连续系统，只要把连续系统的位移表示成振型函数的级数，利用振型函数的正交性，就可以将系统的物理坐标偏微分方程变换成一系列主坐标的二阶常微分方程组。这样，就可以按一系列单自由度系统的问题来处理了。 5.9 主振型叠加法梁的各阶振型函数 Xi(x)满足下列方程 设有弯曲刚度为 EI(x) ，质量分布密度为(x)的梁，在分布载荷 p(x,t)的作用下，求它的动响应。这时，梁的弯曲振动微分方程为（5-77）（5-78）并且满足相应的边界条件。上节还证明了，在固支、铰支、自

28、由端条件下，这些振型函数还满足下列正交关系（5-79）5.9 主振型叠加法 式中各个qi (x)可以看作系统的广义坐标（相当于多自由度系统中的主坐标）。我们用拉格朗日方程导出各个广义坐标的运动微分方程。 现设梁的挠度y(x,t) 可以表示为振型函数的级数（5-80）（5-81） 首先来看系统动能的表达式。由式（5-81），梁各点的速度可表示为5.9 主振型叠加法 考虑到式（5-79），系统的动能可表示为（5-82）式中5.9 主振型叠加法再来看系统的势能表示式。只考虑梁的弯曲势能，由式（5-81），梁各截面上的弯矩M(x) 可表示为考虑到式（5-80），系统的势能可表示为 （5-83）5.9 主振型叠加法式中 为对应于广义坐标 的广义刚度。且有 然后来看广义力 。由式（5-81），梁的虚位移可表示为梁的分布载荷