2020高考数学一轮复习三角函数三角恒等变换题型大全

1、 sin 10 sin 10 第五节 三角恒等变换突破点 （一） 三角函数的化简求值基础 联通1两角和与差的正弦、余弦、正切公式C（）C（）S（）S（）T（ ）；变形：T （ ）；变形：2.二倍角公式S2sin 2；变形：C2cos 22 1 cos 22 1 cos 2变形： cos22， sin22T22tan tan 221 tan 三角函数式的化简例 1 已知 （0 ，）化简：例 21 sin cos2 2cos 求值：（1）1 cos 202sin 20 三角函数的给角求值tan1 5 tan 5）； (2)sin 50(1 3tan 10)能力 练通抓应用体验的 “得” 与“失”2

2、1cos2101.考点二 计算：1cos 10 (cos 80 1 cos 20A. 22B.12C.23D 222.考点二 (1tan 18) (1tan 27)的值是 (A. 3B 1 2C 2D2(tan 18 tan 27)3.考点一 化简：sin 2cos 21 sin 2cos 2 1 sin 4 4.考点一 化简：4 2 12cos x 2cos x 2 x4x2tan 4 x sin2 4突破点 (二) 三角函数的条件求值 给值求值问题 例 1 已知 cos 6cos(3) 41， 3，2.(1)求 sin 2的值；1(2)求 tan 的值tan 例 2 (1)设 ， 为钝角，

3、且 sin给值求角问题5，cos 3 10，则 的值为 (5 103A.345B.547C.745 7 D.54或7411(2)已知 ， (0，)，且 tan( ) 2， tan 7，则 2 的值为 能力 练通1.考点一 已知 sin 2 31，则 cos2 4()1A.32B.232C 31D 32.考点一 若，都是锐角，且 cos5，sin（） 10，则 cos （）5 10A. 22B.102C. 22或 10222D. 22或 10253.考点二 若 sin 2 5 ，sin（ ） 1100，且4，则 的值是 (7A.749B.945 7 C.4或 45 9 D.4或44.考点二 若锐

4、角 ， 满足 (1 3tan )(1 3tan ) 4，则 5.考点一 已知 2， ，且 sin2cos2 26.(1)求 cos 的值；(2)若 sin()35， 2，求 cos 的值跟踪练习 1、1.判断正误 (在括号内打“”或“” )两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ，是任意的 .()存在实数 ，使等式 sin()sin sin 成立 .()tan tan （3）公式 tan（） 1tan tan 可以变形为都成立 .()tan tan tan（）（1tan tan ），且对任意角 ，（4）存在实数 ，使 tan 2 2tan .（）2.（2016 全国卷）若 tan 13，则 cos

5、2 （4A.51B.151C.54D.45113.（2015 重庆卷 ）若 tan 3，tan（）2，则 tan 等于（A.17B.16C.57D.5614.（2017 广州调研 ）已知 sin cos 321A.1817B.18C.89，则 sin2 （D.925.（必修 4P137A13（5）改编 ）sin 347cos 148 sin 77 cos 58，sin2316.(2017 宁波调研 ) 已知 cos ，为锐角，则 sin 2437 三角函数式的化简（1）（2017 杭州模拟 ）cos（）cos sin（）sin （）A.sin（ 2）B.sin C.cos（2）D.cos （1

6、sin cos ）cos2sin 2（2）化简：（0 ） 22cos 8、 (1) 22cos 82 1sin 8的化简结果是 (2)化简：4 2 12cos 2cos 29、三角函数式的求值(1)2sin 50 sin 10(1 3tan 10) 2sin280.2 3 177sin 2 2sin (2)已知 cos ， ，则 的值为 .4 5 12 41 tan 11已知 ，(0，)，且 tan()2，tan 7，则 2 的值为 10、 (1)4cos 50 tan 40(A. 2B. 2 3B. 2C. 3D.2 2 1(2)已知 sin 3 sin 4 3，5， 2 0，cos 的值为

7、，1 13 (3)(2017 绍兴月考 )已知 cos 17，cos( )1143(00) ，函数 f(x)mn 的最大值为 6.(1)求 A；(2)将函数 y f(x)的图象向左平移 12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在 0， 5上的值域能力 练通f(x) 2sin xsin x(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当 x 0，2时，求函数 f(x)的值域1已知函数2已知函数 f(x) 3sin x cos x 1，xR( 其中 0)(1)求函数 f(x)的值域；(2)若函数 yf(x)的图象与直

8、线 y1 的两个相邻交点间的距离为 2，求函数 yf(x)的单调增区间3已知函数 f(x) 2cos2x 12 3sin xcos x(01)，直线 x3是函数 f(x)的图象的一条对称轴3(1)求函数 f(x)的单调递增区间；(2)已知函数 y g(x)的图象是由yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，然后再向左平移 23个单位长度得到的，若g 2 3 56， 0， 2，求 sin 的值 课时达标检测 练基础小题 强化运算能力 1sin 110(2017 丽水模拟 )计算 cos2155sin 202 sin2155的值为 (3113A2B.2 C. 2D22(2017 临安中学高

9、三月考 )已知sin 212，2121A.2B.3 C2D1) 0，则 cos 3 的值是 ( )3(2017 江西新余三校联考 )已知 cos 3 2x 78，则 sin x3的值为 ( )A.4B.8D784已知 sin(6 ) 31，则 cos2 3 的值是 ()7A.7D1C1B5已知sinsin 4 5 3，则 sin 76 的值是练常考题点检验高考能力 、选择题11已知 sin 2 3，则cos2 4 (A1B.13C32D.232已知 cos x 6 33，则 cos xcos x3 (A23323B233C1D13若 tan 2tan5，cos 130则cos 10 (sin

10、5AB2C3D4已知 sin47 2，cos 27，10 25则 sin(4A.45BC.35D5在斜三角形 ABC中， sin A 2cos Bcos C，且 tan Btan C 1 2，则角 A 的值为 ( )A.4B.3C.23D. 46(2017 浙江金丽衢十二校联考)已知锐角，满足 sin cos 16，tan tan 3tan tan 3，则 ，的大小关系是 ( )A 4B4C.4 D.4二、填空题7函数 f(x) sin 2x 4 2 2sin 2x 的最小正周期是8已知cos4sin43，且2，则 cos 239已知 tan ，tan 是方程 x23 3x40 的两根，且 ，

11、 2，2 ，则 10若 02， 20sin 4 所以原式22cos22sin22cos .答案 cos 方法技巧 三角函数式的化简要遵循 “三看 ”原则例 2求值：1cos 20(1) 2sin 20 sin 101tan 5 tan 5三角函数的给角求值(2)sin 50(1 3tan 10)解(1)原式22cos2102 2sin 10 cos 10 sin 10cos 5sin 5sin 5cos 5cos 102sin 10 sin 10cos25sin25sin 5 cos 5cos 102sin 10 sin 10cos 1012sin 10cos 102sin 10 2cos 1

12、0cos 102sin 202sin 10cos 10 2sin 30 102sin 10cos 10 2 21cos 10 23sin 102sin 10 3sin 10 3 2sin 10 2 .(2)sin 50(1 3tan 10 ) sin 50 (1 tan 60 tan 10)sin 50cos 60 cos 10 sin 60 sin 10 cos 60 cos 10sin 50cos 60 10cos 60 cos 102sin 50 cos 50 cos 10sin 100cos 10cos 10 cos 10方法技巧 给角求值问题的解题规律解决给角求值问题的关键是两种变换

13、：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补（余 ）关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三 角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进 行变形能力 练通抓应用体验的 “得”与“失1.考点二 计算：21cos210cos 80 1 cos 20 ( )A. 22B.122C.232D22解析： 选 A21cos210cos 80 1 cos 202sin210 sin 10 1 1 2sin210 sin210 22sin210 2 . 2.考点二 (1tan 18 ) (1 tan

14、27)的值是 ()3B 1 2C2D2(tan 18 tan 27)解析： 选 C 原式 1tan 18tan 27tan 18 tan 271tan 18 tan 27 tan 45(1 tan 18tan 27 ) 2，故选 C.3.考点一 化简：sin 2 cos 21 sin 2 cos 21 sin 4解析：sin 2 cos 21 sin 2 cos 2122sin 2 cos 2 12sin 2cos 222sin 2 cos 2 2cos 21 2sin 2cos 2 2cos1 22 2cos 22sin 2cos 21 cos 2 sin 2 2sin22sin cos s

15、in cos tan答案： tan 4.考点一 化简：4 2 12cos x 2cos x 22tan4x解析：2 2 12sin xcos x 212cos22x答案： 21cos 2x12cos 2x.突破点 （二 ） 三角函数的条件求值考点 贯通抓高考命题的 “形” 与“神给值求值问题例 1（2017 合肥模拟 ）已知cos 6cos3 41， cos6sin 6解 sin3，2 ， 231 12sin 23 4，1264 ， 3 ，33cos 23 23， sin 2 sin 2 sin 21 in3 2.(2) 3， 2 ， 2 23，又由(1)知 sin 221， cos 2 23

16、.22sin cos sin cos 2cos 2 2 sin 2 tan 1tan cos sin sin cos 312 2 3.2方法技巧 给值求值问题的求解思路(1)先化简所求式子；(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手 )；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值例 2(1)设 ， 为钝角，且 sin给值求角问题 5，cos 3 10，则 的值为 ()5 103A.345B.547C.745 7 D.54或74(2)已知，(0， ，)且 tan(11) 2，tan 7，则 2 的值为解析 (1) ， 为钝角， sin 5 3 1055，cos 31010，cos

17、 25 5，sin 1100，2 cos( ) cos cos sin sin 2 0.又 ( ， 2)， 32， 2 ，74.(2) tan tan( )tan tan 1 tan tan 112 7 11 1 30， 1 1 2 7 00 ，1 tan 1 2 40 ，1 32tan 02 2， tan(2 ) tan 2tan 31471tan 2tan 1311.147 tan 7170 ， 2， 2 0 ， 2 34.43答案 (1)C (2) 4方法技巧 给值求角时选取函数的原则和解题步骤(1)通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数

18、；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是0， 2 ，选正、余弦函数皆可；若角的范围是 (0，)，选余弦函数较好；若角的范围为2，2 ，选正弦函数较好(2)解给值求角问题的一般步骤：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角的大小能力 练通抓应用体验的 “得”与“失”1.考点一 已知 sin 2 31，则 cos2 4 ()1 A. A.32B.232C31D3解析： 选 B cos21 4 1121sin 2 13 2.2 3.2.考点一 （2017 杭州模拟 ）若 ，都是锐角，且 cos 55， sin（） 1100，则 cos （）A. 2A. 2B.102C

19、. 22或 102D. 22或102解析： 选 A ， 都是锐角，且 cos 55， sin（ ） 1100， sin255，cos（）31010，2从而 cos cos （ ） cos cos（ ） sin sin（） 2 ，故选 A.4，3.考点二 （2017 台州模拟 ）若 sin 2 55， sin（） 1100，且 ，32，则 的值是 （ ）9B.47A.45 7 C.4或45 9 D. 4或 4解析： 选 A 因为 4，所以 22， 2，又 sin 2 55，所以 2 2， ， 25故 cos 2. 又 5， 232，所以 2，54，故 cos（ ）3 1010.所以 cos（）

20、cos2（）cos 2cos（ ） sin 2sin（ ）52 5 31010 55 1100 22，又 54，2，故 774.4.考点二 若锐角 ， 满足 （1 3tan ）（1 3tan ） 4，则 .解析： 因为 （1 3tan ）（1 3tan ） 4，所以 1 3（tan tan ） 3tan tan 4，即 3（tan tan ） 3 3tan tan 3（1 tan tan ），即 tan tan 3（1 tan tan ） tan（ ）tan tan 3.又，为锐角， .1 tan tan 3答案： 35.考点一 已知 2， ，且 sin2 cos2 26.(1) 求 cos

21、的值；(2)若 sin() 35， 2，求 cos 的值解： (1)已知 sin2cos2 26，两边同时平方，得 12sin2cos232，则 sin 2 求 A；(2)将函数 y f(x)的图象向左平移 12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图象，求 g(x)在 0， 524上 的值域解 (1)f(x) mn 3Asin xcos xA2cos 2x.又2 ，所以cos 1 sin 3.2.(2)因为 2， 2， 所以 2 0) ，函数 f(x)mn 的最大值为6.A23sin 2x12cos2 2 Asin 2x 6 .因为 A0，

22、由题意知 A 6.(2)由(1)知 f(x) 6sin 2x 6.将函数 y f(x)的图象向左平移 12个单位后得到 y6sin 2 x12 6 6sin 2x3 的图象；再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得到y 6sin4x 3的图象76，解：(1) f(x) 2sin x23sin x12cos x31 cos 2x12sin 2x sin2x因此 g(x) 6sin 4x3 .因为 x 0， 524，所以 4x3 3，故 g(x)在 0，524 上的值域为 3,6方法技巧 三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题 先根据和角公式、倍角公式把函数表

23、达式变为正弦型函数yAsin(x )t 或余弦型函数 yAcos(x ) t 的形式，再进行图象变换(2)函数性质问题 求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y A sin(x )t 或 y Acos(x)t的形式；利用公式 T 能力 练通 抓应用体验的 “得”与“失”1已知函数 f(x) 2sin xsin x 6 .(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间； 当 x 0，2 时，求函数 f(x)的值域(0) 求周期；根据自变量的范围确定 x 的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最 值时，根据所给关系式的特点，也可换

24、元转化为求二次函数的最值；根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y A sin(x ) t 或 y Acos(x ) t 的单调区间所以函数 f(x)的最小正周期为 T . 由22k2x322k，kZ，解得 12 k x512 k， kZ，所以函数 f(x)的单调递增区间是(2) 当 x 0，2x33，12k，512kkZ.23sinf(x) 0，1 23 .故 f(x)的值域为 0， 1 23 .2已知函数 f(x) 3sin x cos x 1，xR(其中 0)(1)求函数 f(x)的值域；(2)若函数 yf(x)的图象与直线 y1 的两个相邻交点间的距离为 2，求函数 yf(x)的单调

25、增区间解： (1)f(x)223sin x21cos x1 2sinx6 1.由 1 sin所以函数 y f(x)的单调增区间为k6，kk Z) x6 1，得 3 2sin x 6 1 1.所以函数 f(x)的值域为 3,1(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y f(x)的周期为 ，所以 2 ，即 2.所以 f(x) 2sin 2x 6 1，由 2k 2 2x 6 2k 2(k Z) ，得 k6 xk 3(kZ)3已知函数 f(x) 2cos2x 1 2 3sin xcos x(01) ，直线 x 3是函数 f(x)的图象的一条对称轴3(1)求函数 f(x)的单调递增区间；2(2)已知函

26、数 yg(x)的图象是由 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，然后再向左平移 3个单位长度得到的，若 g 2 356， 0，2，求 sin 的值解： (1) f(x) cos 2x 3sin 2x 2sin 2x，x 6 ，由于直线 x 是函数 f(x)2sin 2x 的图象的一条对称轴，所以 sin 21，3 6 3 62 因此236k 2(kZ)，解得 32kC122(k Z)，1又 0 1 ，所以 1 ，2所以 f(x) 2sin x 6.2 由 2k x 2k (kZ)，得 2k x2k (kZ)，26233所以函数 f(x)的单调递增区间为 2k 23，2k3(kZ)2

27、33(2)由题意可得 g(x) 2sin 21 x 3g(x)2cosx2，g 2 3 2cos 12 22cos656，得65所以 sin sin 64，6 5， 0， 2 ，故 6623，所以 sin 4 3 3 1 4 3 3 sin6cos6cos6 sin654 2353124 1303课时达标检测 重点保分课时 一练小题夯双基，二练题点过高考练基础小题强化运算能力 sin 110 sin 201(2017 丽水模拟 )计算coss2in15 1510ssinin 221055 的值为 ( )1 A A21B.12C. 3C. 2D 232解析： 选sin 110sin 20sin

28、70 sin 202 2 cos2155sin2155cos 310cos 20cos 501sin 40sin 20 2 1sin 40A.122 (2017 临安中学高三月考12， 2 0，则 cos 3的值是 ()D1解析： 选 C 由已知得 cos 1， sin 3所以 cos 1 3 13 2cos 2 sin 2.3 (2017 江西新余三校联考 )已知 2x 7，则 sin8x 3 的值为 ()1C14D78解析： 选 C 因为 cos32x2 7cos 2x 2378，所以有 sin2 x3 12 1cos 2x121 87 116，从而求得 sin x3 的值为14，故选 C

29、.4已知 sin6 31，则 cos2 3的值是 (7A.791B.13CD解析：13，选 D sincos32cos2612sin2697，cos23cos232 cos cos 2327.9.5已知 sin sin 453，则 sin 76的值是解析： sin sin 4 3，5B.78A.14 4 3sin cos cos sin sin ，3 3 5 3 3 4 3， 2sin 2 cos 5 ，即 23sin 21cos 54，故 sin 7 sin cos7 cos sin76 6 6 23sin 21cos 54.5 5 答案： 45练常考题点检验高考能力 、选择题14(1已知

30、sin 2 3，则1A132CD.23解析：选 D 依题意得cos cossin si442 1 2 sin ) 2(1sin 2)3.2已知 cosx 6 33，则 cos xcosx3(A233B31C1D解析： 选 C 3， 6 3 ，xsin 33cos x cosx cos x cos xcos sin333 3 3 12cos x 2 sin x 3 2 cos x 2sin xcos 1.x6 33若tan 2tan5，310 ( ( sin 5A1B2C3D解析：sin 5sin 5sincos5 cos sin5sin cos5 cos sin5 sin cos sin co

31、s 55sin cos sin cos 5 53sin55 3，故选 C. sin sin5sin5 2 cos5 sin5 cos5sin 5 2 cos 5cos4已知 sin4 7102，cos 2 275，则sin ( 3， 3， BA.A.53D35解析： 选 C由 sin 47102得 sin7 cos ，5由 cos 2275得 cos2sin225所以 (cos sin ) (cos sin ) 7 ，251由可得 cos sin 1， 5由可得 sin 3.55在斜三角形 ABC 中， sin A 2cos Bcos C，且 tan Btan C1 2，则角 A 的值为 （A

32、. B.A.4 B.3 3 C.2 D. 42，解析： 选 A 由题意知， sin A 2cos Bcos Csin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C， 在等式 2cos Bcos Csin Bcos Ccos Bsin C两边同除以 cos Bcos C得 tan Btan C 又 tan Btan C 1 2，所以 tan（B C）tan B tan C1 tan Btan C由已知，有 tan A tan（BC），则 tan A 1，所以 A .4tan 6（2017 浙江金丽衢十二校联考 ）已知锐角 ，满足 sin cos 1，tan tan 3tan6 3，则 ， 的大小关系