初中数学北师大八年级上册（2023年修订） 二元一次方程组《二元一次方程与一次函数》教案

1、二元一次方程与一次函数【教学目标】1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系;2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系;3.发展学生数形结合的意识和能力,使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法.【重点难点】重点:用一次函数的图象来解二元一次方程(组)的问题.难点:用一次函数的图象来解二元一次方程(组)的问题.【教学过程】一、创设情境y=-x+5是一次函数解析式，还是二元一次方程？（引导学生从不同视角观察）这节课我们就来研究二元一次方程(组)与一次函数的关系.教师板书课题二元一次方程与一次函数二、探索归纳(一) 二元一次方程与一次函数的关系1.方程x+y=5的解有

2、多少个?解:x=0y=5;x=5y=0;x=2y=3是这个方程的解,有无数个解.2.点(0,5),(5,0),(2,3)在一次函数y=-x+5的图象上吗?解:点(0,5),(5,0),(2,3)适合y=-x+5,所以这些点在图象上.3.在一次函数y=-x+5的图象上任取一点,它的坐标适合方程x+y=5吗?解:事实上,以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同,是同一条直线.学生画完图象、写出方程的解后,小组交流,教师对学困生进行帮助,最后教师引导学生总结.归纳:二元一次方程和一次函数图象的关系:1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.2.一次函数图

3、象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.3.一般地,以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同,是一条直线.跟踪练习:1.一次函数 y=2x-1图象上的任意一点的坐标适合二元一次方程_.2.以二元一次方程4x-y-5=0的解为坐标的点在一次函数_的图象上.(二)二元一次方程组与一次函数图象之间的关系1.解方程组x+y=52x-y=12.上述方程移项变形转化为两个一次函数y=-x+5和y=2x-1,在同一直角坐标系内分别作出这两个函数的图象(教材P20图7-1).3.方程组的解和这两个函数的图象的交点坐标有什么关系?学生画完图象、解完方程组后,小组交流,教师对学困生进行

4、帮助,最后教师引导学生总结.归纳:二元一次方程组和相应的两条直线的关系1.求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标.2.求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.3.解二元一次方程组的方法有:代入消元法、加减消元法和图象法三种.跟踪练习:1.已知一次函数 y=3x-1与y=2x的图象的交点是(1,2)则方程组3x-y=1y=2x的解是_ .2.已知方程组-3x+y+3=03x+2y-6=0的解是x=43y=1,则函数y=3x-3与函数y=-32x+3的图象的交点坐标是_.(三)例题讲解例A,B 两地相距100千米,甲、乙两人骑自行车分别

5、从A,B 两地相向而行.假设他们都保持匀速行驶,则他们各自到A地的距离s(千米)都是骑车时间t(小时)的一次函数.1小时后乙距A地80千米,2小时后甲距A地 30千米. 问:经过多长时间两人相遇?学生阅读教材,画出图象,然后小组交流,教师选代表口答总结:在以上的解题过程中你受到什么启发?解:1.用一元一次方程的方法可以解决问题2.用方程组的方法可以解决问题 3.用图象法可以解决问题用作图象的方法可以直观地获得问题的结果,但有时却难以准确,为了获得准确的结果,我们一般用代数方法.例某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一定质量的行李,但超过该质量则需购买行李票,且行李费y(元)是行李质量x(千克

6、)的一次函数.现知李明带了60千克的行李,交了行李费5元;张华带了90千克的行李,交了行李费10元.(1)写出y与x之间的函数表达式.(2)旅客最多可免费携带多少千克的行李?解:(1)设一次函数表达式为:y=kx+b(k0,k,b为常数)根据题意,可得方程组:5=60k+b10=90k+b解得:k=16,b=-5,y=16x-5.(2)当x=30时,y=0.所以旅客最多可免费携带30千克的行李.三、交流反思内容:在同一直角坐标系内, 一次函数y=x+1和y=x-2的图象(教材P210图5-2)有怎样的位置关系?方程组x-y=-1x-y=2解的情况如何?你发现了什么?学生回答(1)观察发现直线平

7、行无交点;(2)小组研究计算发现方程组无解;(3)从侧面验证了两直线有交点,对应的方程组有解,反之也成立;归纳:两平行直线的k相等;方程组中两方程未知数的系数对应成比例,则此方程组无解.四、检测反馈1.已知一次函数y=3x-1与y=2x图象的交点是(1,2),求方程组3x-y=1y=2x的解.2.有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗?一次函数y=2-x与y=5-x的图象之间有什么关系?3.求两条直线y=3x-2与y=-2x+4和x轴所围成的三角形面积.4.如图,两条直线l1与l2的交点坐标可以看作哪个方程组的解?五、布置作业课本P21 习题第2,3题六、板书设计4二元一次方程与一次函数二元一次方程与一次函数二元一次方程组与一次函数例七、教学反思本节课在学生学习了二元一次方程组和一次函数及其图象的基础上,通过教师启发引导和学生自主学习探索相结合的方法,进一步揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系,很自然的得到二元一次方程组的解与两条直线的交点之间的对应关系.进一步培养了学生数形结合的意识和能力,充分展示了方程与函数的相互转化.教学过程