函数的基本性质题型讲解

1、/(v)函数的基本性质增函数与减函数左义：对于函数/()的左义域/内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2.若当XI x2时，都有/(x,) f(x2),则说/()在这个区间D上是增函数；若当XI f(x2)f则说/(0在这个区间D上是减函数. 注意区间可以使左义域也可以是泄义域的某个区间：Xl, 2的任意性：增函数y随X的增大而增大，呈上升趋势：减函数y随X的减小而减小，呈下降趋势.增函数与减函数形式的等价变形/()在区间M上是增函数o VXI宀e M,当州V厂时有/3) /(E):/()在区间 M 上是减函数 o Vjv1,x2 M,xi fx1):设Xl,x2aibXI H 心那么(

2、Xl -xj(x1)-(xo)lO O LLbl_ O f(x)在,Z?上是增函数：xI 2(Xl -xj(XI)-/(xjlO - (-A-I_O (x)在,b上是减函数.XI-V2单调性与单调区间的定义如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间上具 有单调性(区间M称为单调区间)注意单调区间之间不能用并的符号只能用逗号隔开.单调函数的运算性质若/(x), g(x)在区间D上具有单调性则在区间D上具有以下性质：/(x)与/(x)+C具有相同的单调性：(x)与(X)，当。0时，具有相同的单调性，当a b0),求/(x)的单调区间，并证明/(x)在其单调区间上 x +

3、b的单调性.类型二运用单调函数的运算性质判断函数的单调性例1已知y = ()与y = g()均为增函数，判断下列函数在公共左义域内的增减性.y = -2(x)(2) y = (x)+2g(x)例2判断下列函数在其左义域内的单调性.y = A + Cl (U b0)x + b类型三复合函数的单调性例1函数/(x) = -x2-2x + 3的单调递增区间是.例2函数/(x)=十的单调递增区间是Lx + 2 X + 2类型四利用函数的单调性求参数的取值范围例1若函数/(x) = -7 + 2,+oc)上为增函数,则实数的取值范围.例2函数f(x) = ax2 -(3a-)x +a2在-l,+o0)上

4、是增函数，求实数a的取值范耐例3函数/(X) = H在区间(-2,+8)上是增函数，求的取值范围.x + 2例4已知函数/(-)=十2 若f(2-a2)f(a),则实数。的取值范風 4x-xx 1函数f(x) = 的最大值.+ 2, XVl例2 (1)函数y = -+6x + 9在区间ajab 1),对于函数/(x)=(x-l)2+h若/(x)的泄义域和值域都为A ,求方的值.v(3)已知函数f() = - + 在区间”川上的最小值是3加最大值是3”，求加，的 值.已知函数y =，-2x + 3在闭区间0昇川上有最大值3,最小值2,求加的取值范H .又当Xe3例3 (1)已知函数f(x)=ax

5、-x2的最大值不大于一2 6求d的值.上的最大值为3,求实数(2)已知函数f(x) = ax2+2ax + 在区间-3,2上的最大值为4,求实数G的值.(3)已知二次函数f(x) = ax2+(2a-J)x + J在区间 的值.例 4 已知函数 /(-) = v-+2v + , “已卩，+00).当a = L时，求函数/()的最小值；2若对任意xeh+c f(x) O恒成立，试求。的取值范屁类型六函数的单调性解不等式例1泄义在1,4上的函数/(x)为减函数，求满足不等式/(l-2f)-(4-d2) O的d的 值的集合V- - -Ll 0例2已知函数f(x)= 一求满足不等式/(l-x) f(2

6、x)的X的取值范围.1,XVO例3奇函数/(x)的泄义域为R ,且在+oc)上为增函数，问：是否存在加使 /(2斥4)+/(4血2) /(0)对任意t 0,1均成立？若存在，求出加的取值范風 若不 存在，说明理由.类型七奇偶函数的判断例1判断下列各函数的奇偶性：(I) f: ZW=(3) f(x)=X2 +X-X2 +X(XVo)(x0)例2 若/(x) = (x + X%-4)为偶函数,求实数的值.(2)若函数f(x)=ax2+hx + 3a + b是偶函数，且英泄义域为“ 1,2“.求,b的值；求函数/(x)在其定义域上的最大值.例3函数/(X)=竺M是建义在(-1,1)的奇函数，且j-

7、= .1 + jr12 丿 5确左函数/(x)的解析式：用左义证明/(x)(-l,l)是增函数:解不等式/(r-l)+(r)0时有/(x)=(l + x),求/(X)的解析式. (2)已知/(x)是/?上的奇函数，且当x(0,+od)时，/(x) = x(l +沿)，求/(X)的解析 式.例2设/(X)为偶函数，g(x)为奇函数，又/() + g(Q = 丄,试求/(X)和g(x)的解析 x-l式类型九单调性与奇偶函数的综合运用例1已知函数/()对任意XWR、总有f() + 1b) = f(+y)，且当2 x0W,(x),0)kj(0,xo)上的函数/(x)满足：对任意x,yw(y,O)u(O

8、,p), /(y)=/W+/(y)：当A-m()o.且/(2)=.试判断函数/(兀)的奇偶性；判断函数/(兀)在(O, P)上的单调性：求不等式/(3x-2) + (x) 4的解集.例3已知函数f(x)是定义在/?上的恒不为零的函数，且对任意的 x、y 都满超(Xyf y) = f(+y).求y*(0)的值,并证明对任意的xR,都有/(x)0:设当XVo时,都有/(x)(0),证明：f(x)在(,+oo)上是减函数.例4已知函数/(兀)在(-1,1)上有泄义，2卜_1,当且仅当OVxV 1时/()O且对Z、任意,y(-14)都有M+(y) = y =,试证明： U +小丿证明f(x)为奇函数；

9、f(X)在(-1,1)上单调递减.作业1下列函数中，在区间（-oo,0）上单调递增，且在区间（0,+s）上单调递减的函数为（）A- y =C. y = X2B. y = XD. y = x32下列函数中，在区间（0,2）上为增函数的是（）A. y =-x+B. y = yxC. y =工-4x + 52D. y =X3用左义证明/（x） = -2a +3i0,0,求/（Q的泄义域；（2）若/（X）在区间（0,1上是减函数，求实数的取值范隔已知函数 /（x） = A,X e ho0）（1）当G = 4时，求/G）的最小值.（2）当a =-时，求/（）的最小值.2（3）若为正常数，求/G）的最小值

10、.已知函数/(x)-2 + 3当X - 2,0时，求/(Q的最值:当X - 2,3时，求/G)的最值：当xr + l时，求/(x)的最值9求f(x) = X2 + 2ax + /在区间-1, 2上的最大值.10.试讨论函数f(x)=笋一/ (- IJ)的单训性(其中tO)11判断下列各函数的奇偶性:2 + X(1) /(V) = (X - 2)、I-:x + 2(2) /W= O-x + 2(V 1).-2 + b12.已知泄义域为R的函数/(x)=一是奇函数.2 +a(1)求d,b的值;(2 解不等式/(2m + 8)(m2);若对任意的IeR9不等式/(尸一2/) + /2一幻O时, /(

11、)i(1)求证：/()是R上的增函数；若/(4)= 5,解不等式/(3m2 -m-2)3.14已知宦义在(,+oo)上的函数/()对任意x,y(.+oo),恒有/Gy)= G) + (y),且 当0 0.判断f(x)在(0,+Co)上的单调性.15.若函数/(x) = 4x2-y-8在5$上是单调函数，求的取值范RI16已知函数f(x)=x2 -2ax + 5(a 1),若/的泄义域和值域均为1卫,求实数的值.17.若函数f(x) = x1 卜+为偶函数，求实数的值.1&已知/(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且g(x)+ /(x) = x2 +x + 2 ,求/(x), g(x)的 解析式.19若偶函数/(x)在(-oo,0上为增函数，则满足/(1)/GO的实数的取值范围.20已知/(x)是定义在(-叫Q)上的不恒为零的函数，且对泄义