中考数学 平行四边形 培优 易错 难题练习(含答案)及详细答案

1、本文格式为Word版，下载可任意编辑 中考数学 平行四边形 培优 易错 难题练习(含答案)及详细答案 一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1在四边形ABCD 中，180B D +=?，对角线AC 平分BAD . （1）如图1，若120DAB =?，且90B =?，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. （2）如图2，若将（1）中的条件“90B =?去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由. （3）如图3，若90DAB =?，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由. 【答案】（1）AC AD AB =+.证明见解析；（2）成立；（3）2AD AB

2、 AC += .理由见解析. 【解析】 试题分析：（1）结论：AC=AD+AB ，只要证明AD=12AC ，AB=12 AC 即可解决问题； （2）（1）中的结论成立以C 为顶点，AC 为一边作ACE=60，ACE 的另一边交AB 延长线于点E ，只要证明DAC BEC 即可解决问题； （3）结论：AD +AB 2AC 过点C 作CE AC 交AB 的延长线于点E ，只要证明ACE 是等腰直角三角形，DAC BEC 即可解决问题； 试题解析：解：（1）AC=AD+AB 理由如下：如图1中， 在四边形ABCD 中，D+B=180，B=90， D=90， DAB=120，AC 平分DAB ， DA

3、C=BAC=60， B=90， AB1 2 AC，同理AD 1 2 AC AC=AD+AB （2）（1）中的结论成立，理由如下：以C为顶点，AC为一边作ACE=60，ACE的另一边交AB延长线于点E， BAC=60， AEC为等边三角形， AC=AE=CE， D+ABC=180，DAB=120， DCB=60， DCA=BCE， D+ABC=180，ABC+EBC=180， D=CBE，CA=CE， DACBEC， AD=BE， AC=AD+AB （3）结论：AD+AB2AC理由如下： 过点C作CEAC交AB的延长线于点E，D+B=180，DAB=90， DCB=90， ACE=90， DCA

4、=BCE， 又AC平分DAB， CAB=45， E=45 AC=CE 又D+ABC=180，D=CBE， CDA CBE ， AD=BE ， AD+AB=AE 在Rt ACE 中，CAB=45， AE 245AC AC cos ? 2AD AB AC +. 2已知，在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，动点M 从点A 出发沿边AD 向点D 运动 （1）如图1，当b=2a ，点M 运动到边AD 的中点时，请证明BMC=90； （2）如图2，当b 2a 时，点M 在运动的过程中，是否存在BMC=90，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当b 2a 时，（2）中的结论是否

5、仍旧成立？请说明理由 【答案】（1）见解析； （2）存在，理由见解析; （3）不成立理由如下见解析. 【解析】 试题分析：（1）由b=2a ，点M 是AD 的中点，可得AB=AM=MD=DC=a ，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得AMB=DMC=45，则可求得BMC=90； （2）由BMC=90，易证得ABM DMC ，设AM=x ，根据相像三角形的对应边成比例，即可得方程：x 2bx+a 2=0，由b 2a ，a 0，b 0，即可判定0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意； （3）由（2），当b 2a ，a 0，b 0，判定方程x 2bx+a 2=0的根的状况，即

6、可求得答案 试题解析：（1）b=2a ，点M 是AD 的中点， AB=AM=MD=DC=a ， 又在矩形ABCD 中，A=D=90， AMB=DMC=45， BMC=90 （2）存在， 理由：若BMC=90， 则AMB+DMC=90， 又AMB+ABM=90， ABM=DMC ， 又A=D=90，ABMDMC， AM AB CD DM =， 设AM=x，则x a a b x = - ， 整理得：x2bx+a2=0， b2a，a0，b0， =b24a20， 方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， 当b2a时，存在BMC=90， （3）不成立 理由：若BMC=90， 由（2）可知x2

7、bx+a2=0， b2a，a0，b0， =b24a20， 方程没有实数根， 当b2a时，不存在BMC=90，即（2）中的结论不成立 考点：1、相像三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质 3如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH （1）求证：APB=BPH； （2）当点P在边AD上移动时，求证：PDH的周长是定值； （3）当BE+CF的长取最小值时，求AP的长 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）2 【解析】 试题分析：（1）根据

8、翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出 APB=PBC即可得出答案； （2）首先证明ABPQBP，进而得出BCHBQH，即可得出 PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8； （3）过F 作FM AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB ，证明EFM BPA ，设AP=x ，利用折叠的性质和勾股定理的知识用x 表示出BE 和CF ，结合二次函数的性质求出最值 试题解析：（1）解：如图1， PE=BE ， EBP=EPB 又EPH=EBC=90， EPH-EPB=EBC-EBP 即PBC=BPH 又AD BC ， APB=PBC APB=BPH （2）证明：如图2

9、，过B 作BQ PH ，垂足为Q 由（1）知APB=BPH ， 又A=BQP=90，BP=BP ， 在ABP 和QBP 中， 90APB BPH A BQP BP BP =?=， ABP QBP （AAS ）， AP=QP ，AB=BQ ， 又AB=BC ， BC=BQ 又C=BQH=90，BH=BH ， 在BCH 和BQH 中， 90BC BQ C BQH BH BH =?=， BCH BQH （SAS ）， CH=QH PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 PDH 的周长是定值 （3）解：如图3，过F 作FM AB ，垂足为M ，则FM=BC=AB 又

10、EF 为折痕， EF BP EFM+MEF=ABP+BEF=90， EFM=ABP 又A=EMF=90， 在EFM 和BPA 中， EFM ABP EMF A FM AB =， EFM BPA （AAS ） EM=AP 设AP=x 在Rt APE 中，（4-BE ）2+x 2=BE 2 解得BE=2+2 8x ， CF=BE-EM=2+2 8x -x ， BE+CF=2 4x -x+4=1 4（x-2）2+3 当x=2时，BE+CF 取最小值， AP=2 考点：几何变换综合题 4如图，在等腰Rt ABC 中，90BAC =，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt

11、 CED ，使90CED =，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系； ()2将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论； 若25AB =，2CE =，在图的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度 【答案】（1）证明见解析；（2）AF 2AE = 42或22. 【解析】 【分析】 ()1如图中，结论：AF 2AE =，只要证明AEF 是等腰直角三角形即可； ()2如图

12、中，结论：AF 2AE =，连接EF ，DF 交BC 于K ，先证明 EKF EDA 再证明AEF 是等腰直角三角形即可； 分两种情形a 、如图中，当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.b 、如图中当AD AC =时，四边形ABFD 是菱形.分别求解即可. 【详解】 ()1如图中，结论：AF 2AE = 理由：四边形ABFD 是平行四边形， AB DF =， AB AC =， AC DF =， DE EC =， AE EF =， DEC AEF 90=， AEF 是等腰直角三角形， AF 2AE = 故答案为AF 2AE = ()2如图中，结论：AF 2AE = 理由：连接EF ，DF

13、交BC 于K 四边形ABFD 是平行四边形， AB/DF ， DKE ABC 45=， EKF 180DKE 135=-=，EK ED =， ADE 180EDC 18045135=-=-=， EKF ADE =， DKC C =， DK DC =， DF AB AC =， KF AD =， 在EKF 和EDA 中， EK ED EKF ADE KF AD =?=?=? ， EKF EDA ， EF EA =，KEF AED =， FEA BED 90=， AEF 是等腰直角三角形， AF 2AE = =时，四边形ABFD是菱形，设AE交CD于H，易知 如图中，当AD AC =，22 EH DH CH