中考数学复习专题22《直角三角形的存在性》

1、 中考数学复习专题22直角三角形的存在性破解策略以线段月万为边的直角三角形构造方法如右图所示:直角三角形的另一个顶点在以月在以曲为直径的圆上，或过月、万且与M垂直的直线 上（万两点除外）.解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨 论.通常这类问题的解题策略有：（1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算.如图，若ZACB=90 .过点、巧作经过点Q的直线的垂线，垂足分别为忒F.则厶 AEg从而得到线段间的关系式解决问题（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股龙理列出方程，然后解方程 并检验.有时候将几何法和代数法相结合.可以使得解题又快

2、又好！例题讲解例1如图，抛物线厶y=+2-3与r轴交于月，B （3, 0）两点（点月在点万的 左侧）.与y轴交于点Q（0, 3）.已知对称轴为JT=I.（1）求抛物线的表达式：（2）设点尸是抛物线/上任意一点，点0在直线x=-3上，问：能否成为以点尸为 直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点尸的坐标；若不能，请说明理由.解：（1）由题意可得点川的坐标为（1, 0）.所以抛物线表达式可变为y=a （-3） （x+l） =a 2m-3a由点Q的坐标可得一3a=3, a=-l所以抛物线的表达式为y=-2-3.（2）如图，过点尸作垂直于直线厶垂足为M过点万作BV垂直于直线EM.垂足 为A：若

3、AZW是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形，无论点P民BQ的上方或下方，由“弦图模型”均可得所以EY=S：设点尸的坐标为（皿H、m +23）贝IJ PM= /2?+3 , BN= m +2z+3 ,所以加+3=I m 2zn+3 解得血=0,处=1,血=,ZnI=-逼32所以点尸的坐标为（0,3）, （1,4）,（血，_9_屈）,（二色，_9+屈）2 2 2例2如图，一次函数y=-2x+10的图象与反比例函数y= （QO）的图象相交于乂 B X两点（点川在点万的右侧），分别交X轴.卩轴于点佼F.若点兔的坐标为（4, 2）.问： 反比例函数图象的另一支上是否存在一点只使用5是以曲为直角边的直角三角

4、形？若存 在，求出所有符合条件的点尸的坐标：若不存在，请说明理由，解：将点月（4, 2）代入反比例函数表达式，得&=8,所以反比例函数为卩=色,X_8联立方程纽组-V = 7解得y = -2x + 10I-Vi=2X = 1=8所以点万的坐标为（1, 8）由题意可得点E尸的坐标分刚为（5, 0） ,（0, 10）,以月万为直角迎的直角三角形有两种情况： 如图1,当ZPAB=90c时，连结创，则 OA= 42 + 22 = 25 .而 AE= lr+2r = 5 , OE=5、所以 O/f+AE =OE,即创丄JB.所以出0、尸三点共线由0、月两点的坐标可得直线E尸的表达式为y= I -V.8y

5、 = -（X =4 Cr =-4联立方程组X解得,C一-Lv1 = 2 Lv2=-2所以点P的坐标为（一4, 一2）如图2,当Z翊=90时，记费与y轴的交点为G易证磁S尸所以=,FG FE15而 FO=1Q. FE= 52 + l2 = 55 FB= Vl2 +22 = 5可求得FG=、所以点G的坐标为（0,-）由5 G两点的坐标可得直线费的表达式 2 UI 1 丄 15为 y _ -r ,2 2联立方程组、尸丄卄22 28y=-X解得）；=8；X2=-16,1疗飞所以点尸的坐标为（一 16,综上可得，满足条件的点P坐标为（-4, -2）或一6,讨）.例3如图，抛物线G： y=a （-y2）

6、s5的顶点为只与W轴相交于儿万两点（点月 在点万的左侧），点月的横坐标是一 1.。是X轴负半轴上的一个动点，将抛物线G绕点D 旋转180后得到抛物线G.抛物线G的顶点为Q与X轴相交于丘尸两点（点f在点尸 的左侧）当以点只Q疋为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点。的坐标.QJ /PCl解 由题意可得点月（一1，O） , P（2, 5） , B （5, 0）设点D的坐标为 仏0）,则点。的坐标为（2血一2, 5） , f的坐标为（2血一5, 0）, 所以 FO= （2i-4） 2 10 PE= （2-7） 25% 5=32+52=342近为直角三角形有三种情况：当ZPQE= 90。时，有 PF=P

7、G+ EQ.即（2z-7） 2+5s= （2-4） 210234,解得 m=- ,所以点 0的坐标为（一兰，35）:当ZQEP=90。时，左 Pd = PE +EQ.7in即（2t-4） 3+103= （2巾一7） s52+34,解得 m= 二，所以点 Q 的坐标为（-,5）:当ZQPE= 90 时，有 Eo=PF + PQ.即（2D 3+5s+ （2D 3+10s=34,方程无解,所以此种情况不成立，44in综上可得，当近为直角三角形时，顶点的坐标为（一兰，5）或（一出,5）例！如图.在直角梯形 MG?中，AD/BC. AB= 90o , AD=2. BC=6, AB=3. E为 證边上一点

8、，当BE= 2时，以亦为边作正方形应7%,使正方形砂G和梯形ABCD住BC的 同侧.当正方形嘶沿證向右平移，记平移中的正方形砂G为正方形F EFG,当点疋与 点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形BEFG的边疔与Q交于点连结F D, 5.）/, 问：是否存在这样的十，使E DH是直角三角形，若存在，求出上的值；若不存 在，请说明理由解存在满足条件的t.理由如下：如图，过点。作ZW丄BC于点、乩 过点M作MV丄加于点M 则 BH=AD=2, DH=AB=3.所以朋=HE=S HB = t-2 , EC=4-1. 易证/SJfEMbABGAB BC-1.扫 ME EC ME 4/ rr lx

9、l IZ_ C 1 可得=，即=,所以JiF=2- t.在 Rt夕血中，有 FM=MF+F E=- f-2t+8.在Rt她中,1 RtZ,中，有 F IJ=DHA-Bt =f-4t13.在 Rt功ZV中，DN=DH-NH= - t+l.2则 zzi=v2+jzv= i r+ +1.4若Z血必=90 ,则血=歹+歹万,- fc+ +1= ( -2i,+ 8) + (F4f+13) 4解得11=:7若Z5ttP=90o ,则 BP=BH+D；即 f-4t+13= (If-2t+8) + (- f+t+l),44解得 fe=-3+17 , t3=-3-17 (舍)：若ZBDM=90 ,则万功人即 1

10、 r-2t+8= ( r-4t+i3) + (- r+ti) 44此方程无解.综上所得，当t=-或一 3+T时，XDM是直角三角形7进阶训练如图，在平而直角坐标系XOytOAB的直角顶点兔在X轴上，OA =4,M=3.动 点M从点川出发，以每秒1个单位长度的速度，沿向终点O移动；同时点“从点O岀发, 以每秒1. 25个单位长度的速度，沿仞向终点万移动.当两个动点运动了 Ar（O=4x3如图，顶点为尸（4, -4）的二次函数图象经过原点0（0, 0）,点兔在该图象上，OA 交其对称轴/于点“，点必关于点尸对称，连结凡； ON.（1）求该二次函数的表达式；（2）当点勺在对称轴右侧的二次函数图象上运

11、动时，请回答下列问题：证明：ANM=ONMx能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点勺的坐标；如果不能，请说 明理由.解：（1），=丄疋_2.丫： （2） 略：止能为直角三角形，符合条件的点月的坐标为 4（4 + 4,4）【提示】（2）过点作AHLl于点乩令与X轴的交点为D.设点A （/Z/, m2 -Im ）, 4则直线的表达式为）=丄加一2）厂 从而求得点M的坐标为（4,巾一8） , W的坐标为（4,4-） 只需证明 tanZAZ=tanZZ?即可；分类讨论：当ANO= W 时，ZAMf= Z=45o ,点挥与点尸重合，点与点D重合,不满足J/，艸关于点尸对称，故此时不存在这样的点小当ZZM=90c时，有OP = LMN ,求得满足条件的点J（442.4）;2当ZNAO= 90 时，有 AP = LMN ,即（m-4）2 + （l?w2 -2m + 4）2 = （m-4）2,解得 阳=4.24此时点乩尸重合，不满足题意抛物线y= - +2-y+3的顶点为G点川的坐标为Cl, 4）,其对称轴上是否存在 点胚使线段血绕点逆时针旋转90得到线段.0,且点方