立体几何中添加辅助线的策略

1、立体几何中添加辅助线的策略王留廷立体几何中添加辅助线的主要策略：一是把定义或者定理中缺少的线、面、体补完整；二是要把已知量和未知量统一在一个图形中，如统一在一个三角形中，这样可以用解三角形的方法求得一些未知量，再如也可以统一在平行四边形或其他几何体中。下面加以说明。一、添加加垂线策策略。因为立体体几何的的许多定定义或定定理是与与垂线有有关的，如线面面角、二二面角的的定义，点到平平面、线线到平面面、平面面到平面面距离的的定义，三垂线线定理，线面垂垂直、面面面垂直直的判定定及性质质定理，正棱柱柱、正棱棱锥的性性质，球球的性质质等，所所以运用用这些定定义或定定理，就就需要把把没有的的垂线补补上。尤尤

2、其要注注意平面面的垂线线，因为为有了平平面的垂垂线，才才能建立立空间直直角坐标标系，才才能使用用三垂线线定理或或其逆定定理。例1. 在三棱棱锥中，三条棱棱OA、OB、OC两两两互相相垂直，且OAA=OBB=OCC，M是是AB边边的中点点，则OOM与平平面ABBC所成成的角的的大小是是_（用反三三角函数数表示）。图1解：如图图1，由由题意可可设，则则，O点点在底面面的射影影D为底底面的中中心，。又，OOM与平平面ABBC所成成角的正正切值是是，所以以二面角角大小是是。点评：本本题添加加面ABBC的垂垂线ODD，正是是三棱锥锥的性质质所要求求的，一一方面它它构造出出了正三三棱锥里里面的，另一一方面

3、也也构造出出了OMM与平面面ABCC所成的的角。二、添加加平行线线策略。其目的是是把不在在一起的的线，集集中在一一个图形形中，构构造出三三角形、平行四四边形、矩形、菱形，这样就就可以通通过解三三角形等等，求得得要求的的量，或或者利用用三角形形、梯形形的中位位线来作作出所需需要的平平行线。例2. 如图22，在正正方体中中，则则与DFF所成角角的余弦弦值是（ ）A. B. C. D. 图2解析：取取，易得得四边形形ADFFG是平平行四边边形，则则AG/DFF，再作作，四边边形也是是平行四四边形，就是与DDF所成成角，由由余弦定定理，算算出结果果，选AA。点评：求求异面直直线所成成角常采采用平移移法

4、。三、向中中心对称称图形对对称中心心添加连连线策略略。这主主要是因因为对称称中心是是整个图图形的“交通”枢纽，它可以以与周围围的点、线、面面关联起起来，常常见的有有对平行行四边形形连对角角线，对对圆的问问题向圆圆心连线线，对球球体问题题向球心心连线。例3. 如图33，O是是半径为为1的球球的球心心，点AA、B、C在球球面上，OA、OB、OC两两两垂直直，E、F分别别是大圆圆弧ABB与ACC的中点点，则点点E、FF在该球球面上的的球面距距离是（ ）A. B. C. D. 图3解析：添添加辅助助线OEE、OFF，连结结EF，构成，关键是是求。为为了使EEF与已已知条件件更好地地联系起起来，过过E作

5、，垂足为为G，连连结FGG，构造造，在图图3中，。点E、FF在该球球面上的的球面距距离为，故选BB。点评：本本题抓住住了球心心，抓住住了弧中中点，利利用这些些特殊点点作辅助助线是解解题的关关键。四、名线线策略。即添加加常用的的、重要要的线，如中位位线、高高、角平平分线、面对角角线和体体对角线线等。尽尽管这些些线上面面也有提提到，但但还是要要在这里里强化一一下，这这些线有有着广泛泛的联系系。尤其其是添加加三角形形中位线线或者梯梯形中位位线，这这主要是是因为中中位线占占据了两两个边的的中点，并且中中位线平平行于底底边，且且是底边边长的一一半，它它可以把把底边与与其他线线面的角角度关系系平移，使已知

6、知和未知知集中在在一个三三角形中中。例4. 如图44，正三三棱柱的的各棱长长都为22，E、F分别别是ABB、的中中点，则则EF的的长是（ ）。图4A. 22B. C. D. 解析：如如图4所所示，取取AC的的中点GG，连结结EG、FG，则易得得，故，选选C。点评：本本题充分分体现了了中位线线的重要要性。五、割补补策略。分割成成常见规规则图形形，或者者补形成成典型几几何体。例5. 一个四四面体的的所有棱棱长都为为，四个个顶点在在同一球球面上，则此球球的表面面积为（ ）A. B. C. D. 6解析：把把这个正正四面体体补成正正方体，如图55，正四四面体可可看成是是由正方方体的面面对角线线构成的的，这个个正四面面体和这这个正方方体有相相同的外外接球面面。因为为四面体体的棱长长为，所所以正方