大象群落的稳定发展

1、2004-2005 第二学期数学模型课程设计2005年6月20日6月24日题目大象群落的稳定发展组员1组员2组员3姓名学号专业成绩本文基于偷猎被禁止，1岁到60岁的存活率相同，60到70的存活率与年龄 成线性关系以及避孕药的注射假设，建立了象群数目的差分方程模型。首先根据母象3.5年产一头小象求出象群的生育率（1+1.35%）/3.5,然后根据已知写出本模 型的Leslie（元素中含有未知变量s,即1到60岁象的存活率）。然后在0.95到1 之间搜索的值，搜索的方法是：对每一个搜索值确定的Leslie矩阵模拟出象群的 当前数目，如果象群移出数目在 600到800之间，既说明该s符合标准。下一步

2、 就要确定象群当前的年龄结构，这要通过递推关系和Leslie矩阵的性质可求出各 年龄段的比值关系。而注射避孕药的象的数目基于等式新出生并存活下来幼象的 数目=死亡的象的数目，在有移出象的情况下，等式变为新出生并存活下来幼象 的数目=死亡的象的数目+移出数目，即可求出所求。在有灾难时，首先估计死 亡的象的数目，然后根据地推关系模拟灾难后向群数目的变化，然后观察象群的恢复能力。一.问题重述位于非洲某国的国家公园中栖息这近 11000头象。管理者要求有一个健康稳 定的环境一边维持这个11000头象的稳定群落。管理者逐年统计了象的数量，发 现在过去的20年中，整个象群经过一些偷猎枪杀以及转移到外地还能

3、保持在 11000头的数量，而其中每年大约有近 600头到800头是被转移的。近年来，偷猎被禁止，并且每年要转移这些象也比较困难，因此，要控制现 在的数量就使用了 一种避孕注射法。用这种方法注射一次可以使得一头成熟母象 在两年内不会受孕。目前在公园中已经很少发生移入和移出象的情况。 象的性别比也非常接近于 1:1,且采取了措施精良维持这个性别比。新生的幼象的性别比也在 1: 1左右。 而双胞胎的机会接近于1.35%。母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕，平均每 3.5年产下一个幼象，直到 60岁左右为止。每次怀孕期为22个月。注射避孕药会使母象每月发情，但不会 怀孕。象通常在3.5年中仅仅求偶

4、一次，所以这种注射不会引起其它附加的反应。新生的幼象中只有70%到80%可以活到1岁。但是其后的存活率很高，要超 过95%,并且这个存活率对各个年龄段都是相同的，一直到 60岁左右。假定象 的最高年龄是70岁，由于在这个公园里不可以狩猎，偷猎也微乎其微。公园有一个近两年内从这个地区运出的象的大致年龄和性别的统计(见表)。但是没有这个公园里的被射杀的和被留下的象的任何可用的数据。现在的任务是：(1)探讨年龄在2岁到60岁之间的象的合理的存活率的模型，推测这个大 象群落的当前的年龄结构。(2)估计每年有多少母象要注射避孕药，可以使象群固定在11000头左右。这里不免有些不确定性，也要估计这种不确定

5、性的影响。(3)假如每年转移50头到300头象到别处，那么上面的避孕措施将可以有 怎样的改变？(4)如果由于某种原因，突然使得注射避孕的方法不得不停止(例如由于一场灾难导致大量象的死亡)，那时重新壮大象群的能力如何？(5)其它可以讨论的问题。前一年的情况前两年的情况年龄象的 头数母象 头数年龄象的 头数母象 头数年龄象的 头数母象 头数年龄象的 头数母象 头数10031301003113720032522201032161230033853211233136432341234133341065413510451253510067236316134361287201037737224371658

6、923814281473812291573910094021391041093401612101484012611221241211111261041191012314213412131042137132313431061314443241014524412414271244171015136456415314516416211046321614346251217004760171284712318221248931820104845231914649132192511492312205450104201714503410211375131211410511392210552642210752

7、16423005321112300531042413554156242054177253012554125305513326146561342642561362712557105274257123280058321228315832292010591482921592211306560003030602010二.符号说明. Xi(t)表示第t年第i年龄段的象的数量6表示第i年龄段的存活率d表示第i年龄段的死亡率m(t)表示第t年运出象的数目.模型假设及说明.公园中狩猎和偷猎现象已被完全禁止，大象的死亡均为自然死亡.每年大约有近600头到800头是被转移的，假设每年有 700头运出，即 m(t)

8、=700.象群的性别比例为1:1,新生的幼象的性别比例也为1:1.母象生出双胞胎的机率为1.35%.母象在10岁和12岁之间将第一次怀孕，假设均为11岁开始怀孕.从10岁到60岁，每头母象的生育率相同.新生的幼象中只有70%到80%可以3S到1岁，假设为75%即包=0.75. 1岁到60岁之间各个年龄段的存活率相同，s = = s2 = S3 = HI = s60 A 95%. 60岁到70岁之间各个年龄段的存活率随年龄的增大而递减，不妨设在该年龄段存活率与年龄成线性关系，70岁的存活率为零.给11到60岁母象注射避孕药是随机的，且不给怀孕的和在两年内注射 过的母象注射.假设转移出的大象性别比

9、为1:1,且转移象不会影响象群的生育率和死 亡率.模型建立及求解(1)由假设2 3 4可得：*呼根据假设 8 可设 s =k(i-60)+m,i =60,61*1,70t口 Jk(60-60) m = s由 Sso =s,s70 =0,即，k(70-60) m = 0可解得:m = sk10s所以 s = (i -60) +s,i =60,61,1117010令X(t尸x 0(t),x i(t),x2(t)JH,X70(t)Tb0 b1 |l| b 69b 7 0 TOC o 1-5 h z s0000L= 10sl工！;，其中:二00*fr-00HIs700_1 1.35%bi =0,i =

10、0,1,|l|10,61，川 70;bj =,j =11,121H,602 3.5X(t) = LX(t -1)L为Lesliej矩阵设其正的特征根为 九（象群的固有增长率），即 X (t +1) = Kx (t),70、xi(t 1)则一鼻x(t)i =07070,其中xi(t 1)=xi(t) +m(t)70Z xi(t) =11000，所以儿=i =011000 70011000= 1.063i =0i=0在0.95到1之间搜索s的值，用幕法求解L的特征值验证s是否合理，用C变成 如下：#includeint a71;int i;float s;float b=0.29;void chu

11、shi()for(i=0;i71;i+)ai=1100/7;void change()a0=0;for(i=11;i60;i-)ai=ai-1*(7.1-0.1*i)*s;for(i=60;i1;i-)ai=ai-1*s;a1=0.75*b*a0/2;void change1() (float c,e;a0=0;for(i=1;i71;i+) a0=a0+ai;e=11000.0;c=e/a0;for(i=1;i71;i+) ai=c*ai; ) void main() int j,d=0;for(s=0.95;s1;s=s+0.01) chushi();for(j=1;j100;j+) ch

12、ange(); change1();) change(); for(i=1;i71;i+) d=d+ai;d=d-11000;printf(s=% d=f%dn,s,d);) s=0.950000 d=16 s=0.960000 d=154 s=0.970000 d=361 s=0.980000 d=405 s=0.990000 d=670 s=1.000000 d=890所以当s=0.99时，运出的数目与实际交吻合，所以认为 s=0.99当 2 i E60 时，x(t +1)=M且x (t +1) = sx口则为 /x(t) = s/人=0.95当 6060 x(k)=(s-s/10*(k-60)*x(k-1);k=k-1;endwhile k1x(k)=s*x(k-1);k=k-1;endx(1)=0; for k=11:60 x(1)=x(1)+(1+0.0135)/(2*3.5)*x(k+1)/s*0.75;endfor k=1:70m(i)=m(i)+x(k);endend灾难发生后的 年数12345678910象的数目436145944837508853485619590