多项式插值法和拉格朗日插值

1、 教案一多项式插值法和拉格朗日插值基本内容提要多项式插值法的基本概念插值多项式的存在性与唯一性分析拉格朗日插值多项式的构造及截断误差截断误差的实用估计式逐次线性插值法教学目的和要求熟练掌握多项式插值法的基本概念理解插值多项式的存在性与唯一性掌握拉格朗日插值法掌握截断误差的估计方法理解逐次线性插值法的基本思想，掌握Aitken逐次线性插值法掌握运用拉格朗日插值法处理问题的基本过程教学重点1拉格朗日插值基函数及拉格朗I插值多项式的构造2拉格朗日插值多项式的截断误差分析3逐次线性插值法的基本思想教学难点1插值多项式存在唯一性条件的讨论分析2插值误差的分析与估计3Aitken逐次线性插值法的计算过程课

2、程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入实际问题中许多变量间的依赖关系往往可用数学中的函数概念刻画，但在多数情况下，这些函数的表达式是未知的，或者函数已知，但形式十分复杂。基于未知函数或复杂函数的某些已知信息，如何构造这些函数的近似表达式？如何计算这些函数在其它点处的函数值？所构造的近似表达式与真实函数的误差是多少？插值理论与方法就是解决这些问题的有效工具之一。2.1多项式插值2.1.1基本概念假设/(X)是定义在区间s,b上的未知或复杂函数，但已知该函数在点axQXjxnb处的函数值几,儿。找一个简单的函数，例如多项式函数P(x),使之满足条件P(兀)=X,j=0丄2

3、,(2.1)即在给定点兀处，P(x)与/是相吻合的。通常把上述兀-兀称为插值节点，把P(x)称为f(x)的插值多项式(函数)，/(X)称为被插函数。M称为插值区间，条件(2.1)称为插值条件，并把求P(x)的过程称为插值法如果P(x)为m次多项式匕=aoxm+兔严+am_lX+am,则称该插值法为多项式插值；如果P(x)为三角多项式，则称为三角插值：如果P(x)为分段多项式，则称为分段插值。画图说明插值法的几何意义。2.1.2插值多项式的存在性与唯一性如果插值函数是如下m次的多项式：化=aQxm+%+am,那么插值函数的构造就是要确定几O)表达式中的m+1个系数心,。由丁插值条件包含n+1个独

4、立等式，所以只要m=n,就可以证明这样的插値多项式是唯一存在的。实际上，由n+1个插值条件可得认+nr_1+4”也+an=y0qx：+an_+an=%(22)这是一个关丁兔吗，,匕的n十1阶线性方程组，且其系数矩阵对应行列式是线性代数中著名的范徳蒙(Vandermonde)行列式。该行列式的值匕Qo片,兀）=口口（兀-）=1J=0因为J时，.存在。勺H，所以匕（竝,兀,，兀JhO。从而满足插值条件的多项式唯一2.2拉格朗日插值法2.2.1拉格朗日插值多项式的构造利用节点氏接构造如下多项式陥（兀）（兀一忑）申（兀）其中，兀+1（X）=（X一X。）（xXJ（X兀J,尤+1（X）=（X_X。）（X_

5、兀_J（x-兀+J（X_兀）.容易验证该多项式具有性质：z|0jfi(xp=llj=i因此，n次多项式厶=/。儿+（X）儿+ltl（X）儿=工lk（X）儿-定具有性质20n厶（兀）=工人（兀）儿心0丄，儿*=0即满足插值条件。根据插值多项式的惟一性知，厶（X）即为所求。称厶为拉格朗日插值多项式，构成厶（x）的13（7=0丄/）,称为拉格朗日插值基函数。实际上，拉格朗口插值多项式是n十1个基函数的线性组合，而组合系数是插值条件中的已知函数值。例2.2.1写出已知两个和三个插值节点条件的拉格朗日插值多项式。本例有两个目的，一是耍说明拉格朗日插值多项式的构造过程，二是耍从儿何上说明拉格朗日插值基函数

6、的基本性质。2.2.2拉格朗日插值多项式的截断误差在区间S，b上用厶近似未知或复杂函数/(工)，其截断误差是指通常称&(x)为拉格朗日插值余项。定理2.2.1假设/(n)(x)在a,b上连续,严)在(讪内存在。厶”是满足插值条件(2.1)的拉格朗日插值多项式，则对任何xwd,b,插值余项R3=/-厶=/网養+)(2.3)(+1)!其中e(a,b)依赖于X。例223写出线性插值和抛物线插値的余项。解根据定理221知，线性插值余项：(2.4)(2.5)R(x)=fX)(x-x0)(x-xl)其中,Gx0,xjo抛物线插值余项：R：=4f一X。)(x-XJ(x-x2)o其中,ex0,x2o总结：公式

7、(2.3)从理论上说明了运用插值法时必须注意下列问题：如果本身是次数不超过n的多项式，那么满足11十1个插值条件的插值多项式就是它本身。这是因为/(”+%x)三0/wa,b,从而7?n(x)=0o如果插値区间讪很大，那么对给定的x,|;r”+)|的值一般会很大(因为这时许多因数都将大于1)。因此，误差心可能很大。反过来，如果插值区间切很小，比如b-al9那么对给定的x,|,+1(x)|的值一定很小(因为所有因数都将小Tl)o因而误差/(x)就会很小。一句话，小的区间上插值有利丁减少误差。因为在很大的区间上插值，M”+】(X)|的值可能会很大，所以，”T8时，11111未必趋于零。换句话说，依靠

8、增多插値节点不一定能减少误差。插值多项式一般仅用來估计插值区间内点的函数值(即内插)。用它來计算插值区间外点的函数值(即外插)时，误差可能会较大。2.2.3截断误差的实用估计式提问：既然公式(2.3)估计误差时不实用，那么实际中如何估计截断误差呢？假设插值条件中包含n+2组数据(比一般实际情况下多一组)：那么利用前口十1组数据我们可以构造一个n次拉格朗日插值多项式Ln(x),利用后11十1组数据我们可以构造另一个n次拉格朗日插值多项式厶：(兀)。利用公式(2.3)知，它们各H的插値余项为f(x)-(a)=1严(g)(x_兀)(尤_召)(x_兀)，(+1)!f(Q-厶：3)=z1.严)(x兀)(

9、x兀J(X兀+J.两式相减得:并可写成(2.6) (2.7)它不需耍计注意到上式中利用T严广陀)o利用(2.6)可得：W=/(Q-厶(X)-他上型d)兀0-和R：(x)=f(X)-厶(x)L”a)-L“(.)(丫一兀+J+1X。(2.7)式给出了用厶(x)或厶：(x)作近似计算时的实用误差估计式。算高阶导数，也不用估计插值区间上高阶导数的界。W2.2.5已知/(0)=2,/(l)=3,/(2)=12.利用拉格朗日插值法计算未知函数)匸/(兀)在x=1.2078处的函数値/(1.2078),并估计误差。课堂中利用本例说明：1)利用函数在某些点上的信息如何计算该函数在其他指定点上的值；2)利用截断

10、误差的实用估计式估计插値误差的过程。2.3逐次线性插值法2.3.1逐次线性插值思想如果插值条件中包含n+2组数据：/(兀)=曲=丄7+1，那么利用前十1组数据，可以构造一个11次拉格朗日插值多项式厶(x);利用后口十1组数据，可以构造另一个拉格朗日插值多项式厶：(x)。它们的实用截断误差估计式为(2.8)W=/一厶也上迪d)无一兀+1R：=f(x)-厶:(X)(X一)兀汁1X。那么11+1次多项式拿C(X)-L(X)代+心)=厶)+八丿八丿(U应该是/(x)的更好的近似函数。上述的+1(x)满足插值条件:巳知(兀)=开=0丄+1就是说，P+1(x)恰好是由已知n+2个插值节点确定的拉格朗日插值

11、多项式乙+1(X)o这意味着从任何1】十1个插值节点构造11次拉格朗日插值多项式厶”3),可以先选用合适的两个节点构造线性插值多项式，再利用线性插值多项式构造2次插值多项式，利用2次插值多项式乂可以构造3次插值多项式，直到构造出n次插值多项式。当不关心最终插值多项式的表达式，而只需要利用插值方法计算未知函数或复杂函数的函数值时，这种思路方法特别有效，可以保证选用尽量少的节点，计算出满足给定精度要求的函数值。2.3.2艾特肯（Aitken）算法对未知函数或复杂函数/（x）,假设已知如下信息：/（兀）=曲=0,1,，几问题是利用以上信息计算/（兀）在任何一点元处的函数值/CO,且误差不超过上限第一

12、步：禾IJ用节点X。眄构造线性插值多项式N。）,利用节点兀忑构造另一个线性插值多项式Ny（x）。计算叫炉）和N%）o利用实用误差估计式估计N.Q）的误差Nol(x)-Noy(x)心点)=亠.若R.Q)算法终止，且/（牙）叽（元）+凡炉）.否则记%,“）=%（疋）+心点），转第二步。第二步：利用节点兀,兀构造线性插值多项式,并计算N.E与%2（无）的计算方式相同，利用（元）和NoQ可计算NoZ）o利用Nw（x）和血丄3（疋）可计算N%。)+X2_A3如果心2-27 算法终止，且否则转第三步。第三步：利用节点心兀构造线性插值多项式N%）,并计算N.43）。与%（无）的计算方式相同,利用（巧和N04（x）可计算NQl4（x）。与123（x）的计算方式相同，利用NQ12（X）和（元）可计算N0l24（x）o最后利用“0心和N。心（疋）可计算Mir一（元）=%心（可+。丄二八丿严八丿如果0,1,2,3I人丿七0，兀一耳算法终止，且/附邛回否则将上述步骤重复下去。课堂演示例231,说明Aitken法的计算过程。课堂小结布置作业参考文献BurdenRL.FanesJD.NumericalAnaniysis(FourthEdition)Pnndle,Boston.WederandSchmidt,1989StoerJ.,BulnschR.,Intro