平面几何基础知识基本定理基本性质

1、1234567891011121314151617平面几何基础知识（基本定理、基本性质）勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）（1）锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍（2）钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍射影定理（欧几里得定理）中线定理（巴布斯定理）设AABC的边BC的中点为P,则有AB2+AC2=2（AP2+BP2）；中线长：垂线定理：AB丄CDAC2AD2=BC2BD2.2be高线长：h=p（p一a）（p一b）（p一e）=sinA=esinB=bsinC.aaa角平分线定理：三角

2、形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如AABC中，AD平分ZBAC,则BD=AB；（外角平分线定理）.DCAC22bcA角平分线长：t=bep（pa）=cos（其中P为周长一半）.ab+eb+e2abe正弦定理：一=-=2R,（其中R为三角形外接圆半径）.sinAsinBsinC余弦定理：e2=a2+b2一2abcosC.张角定理.sin乙BAC_sinZBADsin乙DACADACAB斯特瓦尔特（Stewart）定理：设已知ABC及其底边上B、C两点间的一点D,则有AB2DC+AC2BDAD2BC=BCDCBD.圆周角定理：同弧所对的圆周角相等,等于圆心角的一半（圆外

3、角如何转化？）弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圆内接四边形ABCD中，AC丄BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边点到圆的幕：设P为。O所在平面上任意一点，PO=d，O的半径为r，则d2-r2就是点P对于。O的幕过P任作一直线与。O交于点A、B，则PAPB=Id2-r2|.“到两圆等幕的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论这条直线称为两圆的“根轴”三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，

4、这一点称为三圆的“根心”三个圆的根心对于三个圆等幂当三个圆两两相交时，三条公共弦（就是两两的根轴）所在直线交于一点托勒密（Ptolemy）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即ACBD=ABCD+ADBC，（逆命题成立）.（广义托勒密定理）ABCD+AD.BCACBD.蝴蝶定理：AB是。O的弦，M是其中点，弦CD、EF经过点M，CF、DE交AB于P、Q，求证：MP=QM.费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离定理2三角形每一内角都小于120时，在三角形内必存在一

5、点，它对三条边所张的角都是120，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120时，此角的顶点即为费马点拿破仑三角形：在任意AABC的外侧，分别作等边ABD、BCE、MAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE=BF=CD，这个命题称为拿破仑定理.以ABC的三条边分别向外作等边ABD.ABCE.CAF，它们的外接圆。q、0A、OBi的圆心构成的外拿破仑的三角形，0C、0A、0B三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；AABC的三条边分别向ABC的内侧作等边ABD、BCE、CAF，它们的外接圆C2A2、ob2的圆心构成的内拿破仑三角形，0C2、0A2、ob2三圆共点，

6、内拿破仑三角形也是一个等边三角形.这两个拿破仑三角形还具有相同的中心.九点圆（Ninepointround或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切费尔巴哈定理.欧拉（Euler）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上.欧拉（Euler）公式：设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心

7、与内心的距离为d，则d2=R22Rr.锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和.23.重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；G（Xa+S+XC,乙+yB+乙）33重心性质：（1）设G为ABC的重心，连结AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，则AG:GD=2:1；1（2）设G为ABC的重心，则S=S=S=S；AABGABCGACG3AABC（3）设G为ABC的重心，过G作DEBC交AB于D，交AC于E，过G作PFAC交AB于P，交BC2；匹+FP+KH=2.3BCCAABDEFPKH于f，过g作心交AC于k，交B于日，则衣=ca=乔（4）设G

8、为ABC的重心，则BC2+3GA2=CA2+3GB2=AB2+3GC2；1GA2+GB2+GC2=（AB2+BC2+CA2）；PA2+PB2+PC2=GA2+GB2+GC2+3pG2（p为厶abc内任意一点）；到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即GA2+GB2+GC2最小；三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G为厶ABC的重心）.abcy+y+ycosAAcosBBcosCCabc+cosAcosBcosCabcx+x+x24.垂心：三角形的三条高线的交点；h(cosAAcosBBcosCCabc+cosAcosBcosC垂心性质：（1）三角形任一顶点

9、到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H关于ABC的三边的对称点，均在ABC的外接圆上；（3）ABC的垂心为日，则厶ABC，ABH，BCH，ACH的外接圆是等圆；（4）设0,H分别为ABC的外心和垂心，则BA=ZHAC,上CBO=/ABH,上BCO=/HCA.25.内心：三角形的三条角分线的交点内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；ax+bx+cxay+by+cyI（ABC,ABC）a+b+ca+b+c内心性质：（1）设I为ABC的内心，则I到厶ABC三边的距离相等，反之亦然;111设IABC的内心，则ZBIC=90+-ZA,ZAIC=90+ZB,ZAIB=90+-ZC；222

10、三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若ZA平分线交厶ABC外接圆于点K，I为线段AK上的点且满足KI=KB，则I为厶ABC的内心；设I如ABC的内心，BC=a,AC=b,AB=c,ZA平分线交BC于，交厶ABC外接圆于点K，则AIAKIKb+cIDKIKDa设I为ABC的内心，BC=a,AC=b,AB=c,i在BCAC,AB上的射影分别为DE,F，内切圆半径为r，令p=丄(a+b+c)，则S=pr:AE=AF=pa;BD=BF=pb;CE=CD=pc；2AABCabcr=p-AI-BI-CI26外心：三角形的三条中垂线的交点外接圆圆心，即外心到三角形各顶

11、点距离相等sin2Ax+sin2Bx+sin2Cxsin2Ay+sin2By+sin2CyO(ABC,ABC)sin2A+sin2B+sin2Csin2A+sin2B+sin2C27外心性质：(1)外心到三角形各顶点距离相等；设O为ABC的外心，则ZBOC=2ZA或ZBOC=3602ZA；r=；(4)锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.4SA旁心：一内角平分线与两外角平分线交点旁切圆圆心；设1p=2(a+b+c)，分别与BC，Ac，AB外侧相切的旁切圆圆心记为1,i一，其半径分别记为rABC的三边BC=a,AC=b,AB=c,令,r,rABC旁心性质：(1)11ZB/

12、C=90-ZA,ZB/C=ZB/C=入厶，(对于顶角B，C也有类似的式子);A2BC22)ZIIIABC1=才厶+zc)；3)设AI的连线交厶ABC的外接圆于D,则DI=DB=DC(对于BI，CI有同样的结论);AABC28ABC是1丿0的垂足三角形，且I丿0的外接圆半径R等于ABC的直径为2R.ABCABC11abc三角形面积公式：S=ah=absinC=2R2sinAsinBsinC=一-aabc2a24R4(cotA+cotB+cotC)4)=pr=,p(pa)(pb)(pc),其中ha表示BC边上的咼，R为外接圆半径，r为内切圆半径，p=丄(a+b+c)-a229三角形中内切圆，旁切圆

13、和外接圆半径的相互关系：ABCABCABCABCcoscos,r=4Rcossincos,r=4Rcoscossin;22b222c222r=4Rsinsinsin;r=4Rsin222a2r=atanr,rBCbtan22r,rACctantan22rAtantan21111；+=Brrrrabc230梅涅劳斯Menelaus)分别为P、Q、R则有定理：设厶ABC的三边BC、CA、BPCQARPC-QA-RB=1-(逆定理也成立)AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点31323334353637383940414243444546474849505152梅涅劳斯定理的应用定理1：

14、设厶ABC的ZA的外角平分线交边CA于Q,ZC的平分线交边AB于R,ZB的平分线交边CA于Q,则P、Q、R三点共线.梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R,则P、Q、R三点共线.塞瓦（Ceva）定理：设X、Y、Z分别为AABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是A2CY=1要条件疋zbXCYA塞瓦定理的应用定理：设平行于厶ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E,又设BE和CD交于S,则AS一定过边BC的中点M.塞瓦定理的逆定理：（略）塞瓦定理的逆定理的应

15、用定理1：三角形的三条中线交于一点,三角形的三条高线交于一点,三角形的三条角分线交于一点塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设厶ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T,则AR、BS、CT交于一点西摩松（Simson）定理：从厶ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R,则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simsonline）.西摩松定理的逆定理：（略）关于西摩松线的定理1：ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上.关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点,以其中任三点作三角形,再作

16、其余一点的关于该三角形的西摩松线,这些西摩松线交于一点史坦纳定理：设厶ABC的垂心为H,其外接圆的任意点P,这时关于厶ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心.史坦纳定理的应用定理：ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上这条直线被叫做点P关于ABC的镜象线.牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点,三点共线这条直线叫做这个四边形的牛顿线牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点,及该圆的圆心,三点共线笛沙格定理1：平面上有两个三角形ABC、DEF,设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线

17、交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形ABC、DEF,设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点,这时如果对应边或其延长线相交,则这三个交点共线波朗杰、腾下定理：设厶ABC的外接圆上的三点为P、Q、R,则P、Q、R关于ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0（mod2）.波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为厶ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于厶PQR的的西摩松线交于与前相同的一点.波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六

18、点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点波朗杰、腾下定理推论3：考查ABC的外接圆上的一点P的关于ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于ABC的西摩松线交于一点.波朗杰、腾下定理推论4：从厶ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F,且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N,则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于ABC的西摩松线交于一点AABC5354555657585960616263646566676869707172卡诺定理：通过厶ABC的外接圆的一点P,引与AB

19、C的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF,与三边的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线.奥倍尔定理：通过ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与ABC的外接圆的交点分别是L、M、N,在厶ABC的外接圆上取一点P,则PL、PM、PN与厶ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线.清宫定理：设P、Q为ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W,这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线.他拿定理：设P、Q为关于ABC的外接

20、圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA.AB的对称点分别是U、V、W,这时，如果QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F,则D、E、F三点共线.（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQxOP则称P、Q两点关于圆O互为反点）朗古来定理：在同一圆周上有A、B、C、D四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P,作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上.从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心.一个圆周上有n个点，从其中任意n1个点的重心，向

21、该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点.康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点.康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形BCD、CDA、DAB、ABC中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线.康托尔定理3：个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点.康托尔定

22、理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线.费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切.莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形.这个三角形常被称作莫利正三角形.布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F,则这三线共点.帕斯卡（Paskal）定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA

23、的（或延长线的）交点共线.阿波罗尼斯（Apollonius）定理：到两定点A、B的距离之比为定比m：n（值不为1）的点P,位于将线段AB分成m：n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上这个圆称为阿波罗尼斯圆.库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆.密格尔（Miquel）点：若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是ABF、AAED、ABCE、ADCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点.葛尔刚（Gerg

24、onne）点：ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F,则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点.欧拉关于垂足三角形的面积公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一点，过M向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式：九厂S平面几何的意义就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活在上吊或者抹脖子之前，头

25、戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了罗素毕竟是罗素平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性他反对不加考察就接受平面几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的

26、平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”“欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理

27、，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系世间事物的简洁之美无出其右费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小人们称这个点为“费马点”这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著几何原本都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决据说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过