定积分的近似计算

1、数学实验报告实验序号：4日期：2012年12月13日实验名称定积分的近似计算问题背景描述：利用牛顿一莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形.如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法.在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分.实验目的：本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算，有专门函数可用。实验原理与数学模型：1矩形法根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的

2、一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法.不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度.针对不同的取法，计算结果会有不同。（）左点法：对等分区间在区间上取左端点，即取）右点法:同（）中划分区间，在区间上取右端点，即取）中点法：同（）中划分区间，在区间上取中点，即取梯形法等分区间相应函数值为主要内容（要点）：1分别用梯形法与抛物线法，计算，取.并尝试直接使用函数、进行计算求解，比较结果的差异.2试计算定积分（注意：可以运用、或附录程序求解吗？为什么？）3.学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数sum改写附录

3、1和附录3的程序，避免for循环。实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）:1:formatlongn=120;a=l;b=2;symsxfxfx=1/x;%所有左点的数组%所有右点的数组%所有左点值%所有右点值%梯形面积%加和梯形面积求解i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);f=(fxi+fxj)/2*(b-a)/n;inum=sum(f)integrate=int(fx,1,2);integrate=double(integrate)fprintf(Therel

4、ativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:%g/n/n,.abs(inum-integrate)/integrate)【调试结果】inum=0.69315152080005integrate=0.69314718055995Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:6.26164e-006/n/nQ抛物线法：%抛物线法formatlongn=120;a=1;b=2;inum=0;symsxfxfx=1/x;fori=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n;%左点xi=a+i*(b-a)/n;%右

5、点xk=(xi+xj)/2;%中点fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);fxk=subs(fx,x,xk);inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinumintegrate=int(fx,l,2);integrate=double(integrate);fprintf(Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:%g/n/n,.abs(inum-integrate)/integrate)【调试结果】inum=0.69314718056936Therelativeer

6、rorbetweeninumandreal-valueisabout:1.35886e-011/n/n使用函数trapz()x=1:1/120:2;y=1./x;trapz(x,y)【调试结果】ans=0.69315152080005使用函数quad()quad(1./x,1,2)【调试结果】ans=0.693147199862972:使用函数trapz()x=1:1/120:inf;y=sin(x)./x;trapz(x,y)【调试结果】?Errorusing=colonMaximumvariablesizeallowedbytheprogramisexceeded.使用函数quad()qu

7、ad(sin(x)./x,O,inf)【调试结果】ans=NaNQ程序法%矩阵法formatlongn=inf;a=0;b=inf;symsxfxfx=sin(x)./x;%左点%右点i=1:n;xj=a+(i-l)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;%左点值%右点值%中点值xij=(xi+xj)/2;fxj=subs(fx,x,xj);fxi=subs(fx,x,xi);fxij=subs(fx,x,xij);f1=fxj*(b-a)/n;f2=fxi*(b-a)/n;f3=fxij*(b-a)/n;inum1=sum(f1)inum2=sum(f2)inum3=sum(f3)i

8、ntegrate=int(fx,0,inf);integrate=double(integrate);fprintf(therelativeerrorbetweeninum1andreal-valueisabout:%gnn,.abs(inum1-integrate)/integrate)fprintf(therelativeerrorbetweeninum2andreal-valueisabout:%gnn,.abs(inum2-integrate)/integrate)fprintf(therelativeerrorbetweeninum3andreal-valueisabout:%gnn

9、,.abs(inum3-integrate)/integrate)【调试结果】?Maximumvariablesizeallowedbytheprogramisexceeded.Q使用matlab命令symsx;f=sin(x)/x;I=int(f,O,inf)【调试结果】I=1/2*pi3：Q矩形法：利用求和函数%矩阵法formatlongn=100;a=0;b=l;symsxfxfx=1/(1+xA2);%左点%右点i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n;xi=a+i*(b-a)/n;%左点值%右点值%中点值xij=(xi+xj)/2;fxj=subs(fx,x,xj);fxi=

10、subs(fx,x,xi);fxij=subs(fx,x,xij);f1=fxj*(b-a)/n;f2=fxi*(b-a)/n;f3=fxij*(b-a)/n;inum1=sum(f1)inum2=sum(f2)inum3=sum(f3)integrate=int(fx,0,1);integrate=double(integrate);fprintf(therelativeerrorbetweeninum1andreal-valueisabout:%gnn,.abs(inum1-integrate)/integrate)fprintf(therelativeerrorbetweeninum2a

11、ndreal-valueisabout:%gnn,.abs(inum2-integrate)/integrate)fprintf(therelativeerrorbetweeninum3andreal-valueisabout:%gnn,.abs(inum3-integrate)/integrate)【调试结果】inum1=0.78789399673078inum2=0.78289399673078inum3=0.78540024673078therelativeerrorbetweeninumlandreal-valueisabout:0.00317779therelativeerrorbe

12、tweeninum2andreal-valueisabout:0.0031884therelativeerrorbetweeninum3andreal-valueisabout:2.65258e-006Q抛物线法：使用求和函数%抛物线formatlongn=100;a=0;b=1;symsxfxfx=1/(1+xA2);i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n;%左点xi=a+i*(b-a)/n;%右点xij=(xi+xj)/2;fxj=subs(fx,x,xj);%左点值fxi=subs(fx,x,xi);%右点值fxij=subs(fx,x,xij);%中点值f=(fxj+4*fx

13、ij+fxi)*(b-a)/(6*n);inum=sum(f)integrate=int(fx,0,1);integrate=double(integrate);fprintf(therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:%gnn,.abs(inum-integrate)/integrate)【调试结果】inum=0.78539816339745therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:2.82716e-016【情况记录】1梯形法和抛物线法程序设计较为顺利。但要注意使用循环函数和求和函数时

14、的不同命令，避免混淆出错。使用函数，时要注意被积函数是数值形式，应使用数组计算，应用点除即，否则将出错，不能调试出结果。2使用函数，和附录程序求解，均不能调试出获得出正确答案。最后尝试用命令中的符号求积分才得出正确结果。3参照附录中的求和函数程序设计顺利改变了附录和。发现使用求和函数时，不需要赋初值，应用了积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法，避免了循环的冗杂性，较容易理解。实验结果报告及实验总结：1、结果Q梯形法inum=0.69315152080005integrate=0.69314718055995Therelativeerrorbetweeninumandreal-value

15、isabout:6.26164e-006/n/nQ抛物线法：inum=0.69314718056936Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:1.35886e-011/n/nQ使用函数trapz()ans=0.69315152080005Q使用函数quad()ans=0.69314719986297将题中的近似计算结果与各命令的计算结果相比较，发现运用不同的方法，计算结果会有不同。因为由梯形法求近似值，当为凹曲线时，它就偏小；当为凸曲线时，它就偏大.误差较大。故由计算结果知，利用抛物线法近似计算定积分，更接近于实际值，精确程度更高.且发现

16、trapz()的调试结果与梯形法结果相同，故可猜测该中的数值积分命令函数trapz()采用了梯形法近似计算方法。2、Q使用函数trapz()?Errorusing=colonMaximumvariablesizeallowedbytheprogramisexceeded.Q使用函数quad()ans=NaNQ程序法?Maximumvariablesizeallowedbytheprogramisexceeded.Q使用matlab命令I=l/2*pi通过实验发现使用函数，和附录程序求解，均不能调试出或得出正确答案。用命令中的符号求积分才得出正确结果。故矩形法、梯形法、抛物线法是主要研究定积分的三种近似计算算法。的专门函数，也是用于定积分的近似数值计算。对于不定积分，由于积分区间无限大，故不能使用该分割方法。3、实验结果见实验过程中的调试结果。调试顺利。使用sum函数时，i