人教版七年级数学下册《实数》全章复习与巩固(知识讲解及考点训练)

1、实数全章复习与巩固（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算 器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围 由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目被开方数符号表示平方根非负数 a立方根任意实数3 a一个正数有两个平方根，且互为 一个正数有一个正的立方根

2、；相反数；一个负数有一个负的立方根；性质零的平方根为零；负数没有平方根；零的立方根是零；( a )2a ( a 0)( 3a ) 3 a重要结论a2 a a( a 0) a (a 0)3 a 3 a3 a 3 a要点二：实数1 正 数 有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：有理数：有限小数或无限循环小数 实数 无理数：无限不循环小数按与 0 的大小关系分： 正有理数 正无理数实数 0负数负有理数 负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数其中有限小数和无限循环 小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数（2）无理数分成三类：开方开不尽的数，如

3、5 ， 3 2 等；有特殊意义的数，如；有特定结构的数，如 0.1010010001（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数 a 的绝对值是非负数，即| a |0；（2）任何一个实数a的平方是非负数，即a20；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即a 0(a 0).非负数具有以下性质：（1）非负数

4、有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于 0，则每个非负数都等于 0. 4.实数的运算：2数 a 的相反数是 a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立 .实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后 算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则 1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数法则 2正数大于 0，0 大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大

5、的反而小；法则 3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 【典型例题】类型一、有关方根的问题1、下列各式正确的是（ ）大；A727B 9 3C 3 5 35D 64 3 64 4【答案】D举一反三：【变式】如果 m 有算术平方根，那么 m 一定是（ ）A正数B 0C非负数D非正数【答案】C2、观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：（1） 2 1.414， 200 14.14， 20000 141.4 0.03 0.1732 ， 3 1.732， 300 17.32由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位；（2）已知 5 2.236

6、， 50 7.071，则 0.5 ， 500 ；（3） 3 1 1， 3 1000 10， 3 1000000 100小数点变化的规律是： （4）已知 3 10 2.154， 3 100 4.642，则 3 10000 ， 3 0.1 【答案】（1）两，右，一；（2）0.7071，22.36；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右 （左）移动一位；（4）21.54，0.4642类型二、与实数有关的问题3、把下列各数填入相应的集合中： 3.14，-2，-917，3100 ， 0 ，1.212212221 ， 3 ，0.151151115无理数集合 ；3 有理数集合 ；非正数

7、集合 【详解】由立方根的性质得： 3100 0，无理数集合-2，-917， 3100 ，1.212212221， 3 ，；有理数集合3.14，0，0.151151115， ；非正数集合-2，-917， 3100 ，0， ；举一反三：【变式】在实数 0、 、 、中，无理数的个数有（ ）A 1 个B2 个C3 个D4 个【答案】B；类型三、与实数有关计算 4、计算：（1）4 3 32 2 3 3 3 2 5； （2） 81 |1 3 | 3 64 6 3【答案】（1）5 23 22 5；（2）12 5 3解：（1）4 3 32 2 3 3 3 2 5=3 2 4 3 3 3 3 22 55 23

8、22 5；（2） 81 |1 3 | 3 64 6 3= 9 3 1 4 6 3= 12 5 3举一反三：【变式】计算：4 3 3 2 2 2 2 2 2 28 （1） 372 （2） 3 8 36 （3）( 12) 2 1 323 2 【答案】（1）67；（2）4；（3）-118 解：（1） 8 2=76；=7372（2） 3 8 36 =-2+6=4；（3）=( 12) ( 12) 162 13 2932=-2-9=-115、已知：（a+6）+ =0，则 2b 4ba 的值为 【答案】12解：（a+6） + =0，a+6=0，b 2b3=0，解得，a=6，b 2b=3，可得 2b 4b=6

9、，则 2b 4ba=6（6）=12，故答案为：12举一反三：【变式 1】实数 a 、 b 在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 a 2 ab .【答案】5解：a0b, a b 0 a 2 aba(ab)b2a.【变式 2】实数a在数轴上的位置如图所示，则a, a,1a, a2的大小关系是： ；【答案】1aa a2a；-1a0类型四、实数综合应用6、小燕在测量铅球的半径时，先将铅球完全浸没在一个带刻度的圆柱形小水桶中，拿出铅球时，小燕发现小水桶中的水面下降了1cm ，小燕量得小水桶的直径为12cm ，于是她就算出了铅球的半径你知道她是如何计算的吗？请求出铅球的半径（球的体积公式V 43r3，r 为球的半径）【答案】3cm【分析】设球的半径为 r，求出下降的水的体积，即圆柱形小水桶中下降的水的体积，最后根据球的体积公式列式 求解即可解：设球的半径为 r，小水桶的直径为12cm，水面下降了 1cm ，小水桶的半径为 6cm，下降的水的体积是 621=36(cm3