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文档简介
1、一维谐振子设粒子质量为m,在一维空间势场 中运动，一维谐振子方程的建立Hamilton算符所以，当势能函数为则定态 Schrdinger 方程可写为：引入无量纲变量代替x，则方程可改写为：令其中(2.5.14)记 ，其解为：只能取负号方程的渐进解所以方程(14)解可取如下形式将 代回方程(14)，得到 满足的方程 满足的方程渐近解：即当 时波函数 的渐进形式。此时 ，于是方程(14)近似为： 须使 满足单值、有限和连续 在=0的邻域把 展开为Taylor级数方程求解代入式(16)得得到系数的关系式在 时系数比为(2.5-18)(2.5-16)方程的通解为而在 时系数比为故在 足够大处， 的行为
2、是代入得而当 有即写为故无穷级数 需中断为有限级数，即Hermite多项式设系数不为零的最高次幂为n,由(18)式知当n为偶(奇)数时，令 ,适当选择 ,使最高次幂对应的系数为给出 为一偶(奇)次多项式(2.5-20)将(20)中的 代回到(16)式中，得到的厄密多项式为：厄密方程将 回代到均匀分布,间隔为定态能级和定态波函数给出一维谐振子定态能谱基态能量:零点能:为归一化常数，定态波函数为：归一化波函数能级没有简并得n = 0n = 1n = 2-3 -2 -1 0 1 2 3E0E1E2图示定态波函数参见图2-5-3(a)参见图2-5-3(b)经典禁区(量子效应)经典:粒子只允许出现在 区域内对于能量为的在量子态下,粒子可能出现在经典的禁区 内透射系数讨论:当时,则透射系数近似为:大，小(1)求能量期望值 ；（注： 用 和 来表示）(2)证明 。(*):入射波和反射波波矢为 ;透射波波矢为 。 作业二2-1(c); 2-3(1)(2)(4)*(5); 2-13*;
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