数学高考复习全套课件：第03单元第3节 对数与对数函数

1、第三节 对数与对数函数基础梳理1. 对数概念 (1)定义:一般地,如果 ,那么b叫做以 ,记作 ,其中a叫做对数的 ,N叫做 .(2)对数性质 没有对数,即 ;1的对数为0,即 ;底的对数等于1,即 .以a为底N的对数底数真数零和负数N02011届高考迎考复习更多资源请点击： :/高中教学网(3)对数恒等式: .10为底的对数lg N(4)常用对数:通常将以 叫做常用对数,N的常用对数 简记为 .(5)自然对数: 称为自然对数,N的自然对数 简记作 .以无理数e=2.718 28为底的对数2. 对数的运算性质(1) = ;(2) = ;(3) = 其中a0,a1,M0,N0,nR.3. 换底公

2、式及常见结论(1)换底公式: (a0,a1,N0,c0,c1).(2)常见结论(其中a,b,c0且a,b,c1): . . = . .-114. 对数函数的定义:一般地,函数 叫做对数函数,它的定义域为 ,值域为R.(0,+)5. 对数函数的图象与性质 a1 0a1时, ; 当0 x1时, ;当0 x0y0y0增函数减函数x轴10典例分析题型一 对数的运算【例1】求下列各式的值.分析 关于对数运算的题目，往往需要利用对数的运算性质、对数恒等式、换底公式等进行变形和求解。解 原式=(2)由题意可得x0,y0,x2y，又所以解得x=4y(x=y舍去)。所以所以学后反思 （1）熟练掌握对数的运算性质

3、、换底公式、对数恒等式是进行化简、求值的关键，应用时务必要创造出适合公式或性质应用的条件；（2)解问题（2）时要注意隐含在题目中的条件：x2y0,否则将导致 的值出错。对数问题首先注意真数大于零。举一反三1.计算或求值。（2）已知 其中a0,a1，求 的值解析(2)根据对数的运算法则，原等式可化为整理得配方得题型二 对数概念及运算性质的综合应用【例2】若a,b,c是均不为零的实数,且.求证: 分析 本题应利用对数与指数式的互化,将问题转化为对数的运算.证明 设学后反思 本题主要考查了两点:(1)应用对数概念进行指数式与对数式的互化 (2)换底公式的应用: (a0,a1,N0,N1).举一反三2

4、. 设x,y,zR+,且(1)比较3x,4y,6z的大小;(2)求证:解析: (1)令 ,则k1, ,k1, ,3x-4y0.同理4y-6z0.3x4y6z.(2)证明：由(1)得题型三 对数函数的图象与性质【例3】方程 的实数解的个数为.分析 先将方程变形，在同一坐标系中分别画出函数 与的图像，然后观察交点的个数，交点个数即为方程的个数。解 由 得 由0 x-4. -2x-8, a-8由设y=a (a-8) 由图像可知：当a1时，方程有两个不等的实根，当-8a0或a=1时，方程有一个实根.举一反三3. 方程 的实根的个数为_.解析 在同一坐标系中作出函数 与 的图象,如图所示.观察可知共有两

5、个不同交点.答案： 2【例4】 设0 x0,a1,比较 的大小.分析 本题有作差法与作商法两种思路:(1)若m-n0,则mn;(2)对于m0,n0,若 ,则mn.解 方法一:0 x1,11+x2,01-x1.方法二 学后反思 (1)本题差比时注意讨论a1与0a1两种情况，依据对数函数单调性，合理去掉绝对值符号，然后判断函数值与0的关系.(2)商比法注意要比较的两式均同号，作商与1比较.本题是含有两绝对值的式子，先运用对数换底公式化简，然后去掉绝对值符号，根据对数函数的性质比较与1的关系.举一反三4. 已知0 xya1时,x0;当0a1时,x1时,f(x)的定义域为(0,+);当0a1时,设 ,

6、7故 ,9 .10故当a1时,f(x)在(0,+)上是增函数12同理,当0a1”还是“0成立的的取值范围解析: (1)由题意知 ，解得函数f(x)的定义域为（-1，1）。(2)f(x)为奇函数证明：因为函数的定义域关于原点对称，且所以f(x)为奇函数(3)当a1时，有对数函数的单调性可知而1x1，解得-1x0；当0a1时，由对数函数的单调性可知而-1x1，解得0 x1时，x的取值范围为（-1，0）；当0a0，u=2-ax在0,1上是x的减函数，由复合函数关系知 应为增函数a1错解分析 解题中虽考虑了对数函数与一次函数的复合关系，却忽略了定义域的限制，单调区间应是定义域的某个子区间，即函数应在0,1上有意义。正解 是由 复合而成的，且a0 u=2-ax在0,1上是x的减函数，由复合函数关系知 应为减函数，a0又当x0,1时， 有意义，且 为减函数当x=1时， 的最小值 即可 a2综上可知，所求的取值范围是1a0, 又的图像知：0ab10且a1).(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1,+)上的单调性并加以证明；(3)当a1，x(1, )时,f(x)的值域是(1, +)，求a的值。解析: （1）f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x)在其定义域内恒成立即 恒成立，m=-1或m=1（舍去），m=