点击导数在函数应用中的几个误区

1、点击导数在函数应用中的几个误区 四川省德阳中学 管智勇函数是中学数学研究导数的一个重要载体，导数是在解决函数问题中分析和解决问题时的不可缺少的工具，尤其是利用导数求函数的单调性、极植、最值、和切线的方程，但是在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。误区之一：用导数求函数的切线时，（1）对“过”与“在”理解上出错；（2）对不可导点处是否有切线理解出错；（3）函数的切线是否唯一。例题1：已知曲线C：，则经过点P（1，2）的曲线C的切线方程？分析：由得则所求切线方程为，即上述解法错因是此处所求的切线只是说经过点P，而没有说P点一定是切点，于是切线斜率k与不一定相等。正确解法是：设经过点P（1，2

2、）的经过点P（1，2）的直线与曲线C相切于点（由得在点（处的切线斜率k=，所以在点（处的切线方程为。又因为点（和P（1，2）均在曲线C和切线上，有解得，于是切线方程为或反思：在解决曲线的切线问题时，要注意曲线在某点处的切线若有，则只有一条；曲线过某点的切线往往不只一条；因而切线与曲线的公共点不一定只有一个。因此在审题时首先要判断是“过”还是“在”。例题2：（1）已知曲线上的一点M（0，0），试求过点M的切线方程。（2）已知函数图象上的一点M（0，0），试求过点M的切线。分析在处不可导，在处不可导，在点M的切线不存在。正确解法是：曲线上的一点M（0，0）的切线方程为 函数图象上的一点M（0，0）

3、切线不存在反思：在解决曲线的切线存在时，要正确理解切线的定义，过曲线上的一点P（作曲线的而曲线上的一点M（0，0）的割线的极限位置为轴，此时不存在，切线存在，切线方程为。 函数图象上的一点M（0，0）割线的极限不存在，所以切线不存在这两个函数虽然在某点不可导，但对不可导点处是否有切线，还需要由割线的极限来确定。误区之二：用导数判断函数的单调性和极值，忽视f(x)的定义域；或忽视导函数恒成立的等号例题1：已知函数（1），若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。分析：，若函数的极值存在，令=0，0，即0上述解法错因：此函数的定义域为，而不是正确解法是：令当m=0时，有实根，在点左右两侧均

4、有故无极值当时，有两个实根当x变化时，、的变化情况如下表所示：+0-0+极大值极小值的极大值为，的极小值为当时，在定义域内有一个实根， 同上可得的极大值为综上所述，时，函数有极值；当时的极大值为，的极小值为当时，的极大值为 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 反思：用导数判断函数的单调性和极值，决不能忽视f(x)的定义域。例题2：已知函数，其中，且在区间上单调递增，试用a表示出b的取值范围分析：由题意转化为在区间上恒成立错误的主要原因是：由于对函数在D上单调递增（或递减）的充要条件是（或）且在D任一子区间上不恒为零没有理解。正确解法是：由题意在区间上恒成立，所以，设，则，令，得或（舍去）当

5、，即时，由于时；时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，因此当，即时，由于时，即在上单调递增，所以，因此综上所述，当时，；当时，反思：用导数由函数的单调性求字母系范围时，要注意导函数恒成立的等号误区之用三：导数求函数的极值时，不检验f(x)=0的根x=的左右侧符号。例题1：已知函数，若在处取得极值，求a的值；分析： ，在处取得极值，则，解得或上述解法错因：不是所求。因为当恒小于，所以在处取得无极值。正确解法是：本题反思：用导数求函数的极值时，检验f(x)=0的根x=的左右侧符号误区之四、求函数的最值没有考虑函数的不可导点。 例1. 求在上的最大值和最小值。分析：由题意得令得当和3时，函数的最大值是 当时，函数的最小值是1错误的主要原因：是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数