千题百炼-高考数学100个热点问题第4炼-函数值域的求法

1、第4炼求函数的值域作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。一、基础知识：1、求值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的

2、值域起到决定性作用。若fx为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：fx的解析式中可将关于x的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。（4）最值法：如果函数fx在a,b连续，且可求出fx的最大最小值M,m，则fx的值域为m,M注：一定在fx连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。（1）一次函数（ykxb）：一次函数为单调函数，图像

3、为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（yax2bxc）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。（关键点：抛物线开口方向，顶点是否在区间内）例：fxx22x3,x1,4解：fxx124对称轴为：x1fx4,5（3）反比例函数：y1x-1-/17（1）图像关于原点中心对称（2）当x,y0当x,y0（4）对勾函数：yxaa0 xy2x，再求得a2解析式特点：x的系数为1；a0注：因为此类函数的值域与a相关，求a的值时要先保证x的系数为1，再去确定a的值4例：y2x，并不能直接确定a4，而是先要变形为x2x极值点：x极值点坐标：a,xa,a,2a

4、a,2a定义域：,0U0,自然定义域下的值域：,2aU2a,（5）函数：yxaa0注意与对勾函数进行对比x解析式特点：x的系数为1；a0函数的零点：xa值域：R（5）指数函数（yax）：其函数图像分为a1与0a1两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为0,（6）对数函数（ylogx）其函数图像分为a1与a0a1两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域-2-/17下的值域为0,（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并

5、用新元t代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。（4）换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种yafx,ylogaf

6、x,ysinfx：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定fx的范围，再求出函数的范围yfax,yflogx,yfsinx：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，a所以可利用换元将解析式转为yft的形式，然后求值域即可。当然要注意有些解析式中22的项不是直接给出，而是可作转化：例如y4x2x18可转化为y2x从而可确定研究对象为t2x2x8，,C.,D.例1：函数fx2xA.0,B.x1的值域是（）17515848思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。解：fx的定义域为1,令tx1t0，则xt21-3-/171t2ty

7、2t2142158fx的值域为,Qt0,1581例2（1）函数y3x1的值域为（）A.0,B.0,1U1,C.x|x1D.1,（2）函数fx4x2x18,x2,2的值域为_（3）函数ylnex1ex1的值域为_思路：（1）本题可视为y3fx的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令t1x1，则t,0U0,，所以可得y3t0,1U1,（2）如前文所说，fx4x2x182x22则可将其转化为二次函数求得值域2x8，将2x视为一个整体令t2x，解：fx4x2x182x22t,4Qx2,2令t2x14yt22t8t129fx的值域为9,02x8（3）所求函数为lnfx的形式，所以求得

8、ex1ex1ex1的范围，再取对数即可。对ex1进行变形可得：ex121ex1ex1，从而将ex1视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域：ex10 x0,-4-/17Qex121ex1ex1令tex1t0,11,2tylnex10,ex1例3：已知函数fx3logx,x1,4，则gxfx2fx2的值域为（答案：（1）B（2）9,0（3）0,2）A.18,2B.11,6C.18,6D.11,2思路：依题意可知gx3logx23logx2logx24logx6，所以可将2222logx视为一个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是gx的定2x的定义域为1,4，

9、则gxfx2fx2的定义域为：1x24，义域，由已知f1x432logxlogx26logx9，解得：x1,2解得：x1,2，而不是1,4解：gx3logx23logx222222logx24logx622Qfx的定义域为1,4，且gxfx2fx21x241x4令tlogx，则t0,12yt24t6t222y11,6，即gx的值域为11,6答案：C2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合（1）分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但-5-/17fx,fxMM,fxMfx则称函数fx为fx的“孪生函数

10、”，若给定函数对于一些便于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。（2）fx的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该fx函数的图像，从而利用图像求得函数的值域（3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式直线的斜率；被开方数为平方和的根式两点间距离公式例4：（1）设函数yfx定义域为R，对给定正数M，定义函数MM21,x0fx2x2,2x0,Mx1，则yfMx的值域为（）A.2,1B.1,2C.,2D.,1（2）定义mina,b,c为a,b,c中的最小值，设fx

11、min2x3,x21,53x，则fx的最大值是_思路：（1）根据“孪生函数”定义不难发现其图像特点，即以yM为分界线，fx图像在yM下方的图像不变，在M上方的图像则变为yM，通过作图即可得到fMx的值域为2,1（2）本题若利用mina,b,c的定义将fx转为分段函数，则需要对三个式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在同一坐标系下，则fx为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可得fx的最大值点为yx21与y53x在第一象限的交点，即，所以fxy53xy2yx21x1max2答案：（1）A（2）2例5：已知函数fxx22a2xa2,gxx22a2xa28，设,Hx

12、maxfx,gxH12，xminfx,gx（其中maxp,q表示p,q中的较大值，minp,q表示p,q中的较小值）记H1x的值-6-/17域为A，H2x的值域为B，则AIB_思路：由H1x,Hx的定义可想到其图像特点，即若将fx,gx的图像作在同一坐标2系中，那么H1x为fx,gx图像中位于上方的部分，而Hx为fx,gx图像中位2fxxa224a4于下方的部分。对fx,gx配方可得：gxxa24a122，其中4a44a12，故gx的顶点在fx顶点的上方。由图像可得：褐色部分为Hx1的图像，红色部分为H2x的图像，其值域与fx,gx的交点有关，即各自的顶点a2,4a12,a2,4a4，所以Hx

13、的值域A4a4,，Hx的值域12B,4a12。从而AIB4a4,4a12答案：4a4,4a12例6：（1）函数yxlnx3x1,x2,4的值域为_（2）函数yx24x22x10的值域为_思路：（1）函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。那么换一个视角，从分式的特点可联想到直线的斜率，即y是x,xlnx与定点1,3连线的斜率，那么只需在坐标系中作出fxxlnx在2,4的图像与定点1,3，观察曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可解：所求函数y是x,xlnx与定点1,3连线的斜率设fxxlnxfx1lnx，当x2,4时，fx0恒成立

14、fx为增函数f22ln2,f44ln48ln2设曲线上两点A2,2ln2,B4,8ln2定点C1,3kAC2ln23,k3BC8ln23-7-/172ln23,8ln21yk,kBCAC（2）思路：yx24x22x10 x222x1232，所以y可视为点x,0到点0,2,1,3距离和的取值范围。结合图形可利用对称性求出其最小值，且当动点向x轴两侧运动时，其距离和趋向无穷大，进而得到值域。解：yx24x22x10 x2022x12032y为动点Px,0到点A0,2,B1,3距离和，即yPAPB作A点关于x轴的对称点A0,2PAPBPAPBAB26（等号成立条件：P,A,B共线）当x或x时，PAP

15、B26,函数的值域为小炼有话说：本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题，所以要抓住两个距离共同的特点（例如本题中都抓住含根式中的x,0，所以找到了一个共同的动点x,0）答案：（1）2ln23,1（2）26,8ln233、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性（增、减）即可快速求出函数的值域（1）判断函数单调性的方法与结论：增增增减减减1增减若函数的符号恒正或恒负，则1增减复合函数单调性：复合函数yfgx可拆成yft,tgx，则若yft,tgx的单调性相同，则yfgx单调递增；若yft,tgx的单调性相反，则yfgx单调递减利用导数：设图像不含水平线的函数fx的导数fx

16、，则fx0fx单增；-8-/17A.3,1B.1,C.2,22D.1,221fx0fx单减（2）在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于或，则要估计当x+或x时，函数值是向一个常数无限接近还是也趋近于或（即函数图象是否有水平渐近线），；同样若fx的定义域抠去了某点或有一侧取不到边界，如xa,b，则要确定当xa时，fx的值是接近与一个常数（即临界值）还是趋向或（即函数图象是否有竖直渐近线），这样可以使得值域更加准确例7：（1）函数fx1xx31的值域为（）（2）函数fxx1xx1x的值域为（）A.,1B.,1C.0,1D.0,1（3）函数fx32x52x21的值域为_（1思路：）函数的定义域为

17、3,1，含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但fx的导数fxx31x较易分析出单调性，所以考虑利用导数求出fx的单调区21xx3间，从而求得最值fx11x31x21x2x321xx3令fx0即解不等式：x31xx31xx1fx在3,1单调减，在1,1单调递增Qf1221,f31,f11fx的值域为1,221小炼有话说：本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数，1xx34，从而可设所以想到221x2sin1x0，由可知x32cosx30-9-/170,，所以原函数的值域转化为求y2sin2cos1的值域，从而有y22sin1，由0,可求得y1,221。由此题可

18、知：含双根式的x1,，fx为分式且含有根式，求2x20且关于x单增，即1单减，所以fx为减函数，由x1,可知fx的值域为,6答案：（1）D（2）B（3）,6242函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角换元转为三角函数值域问题（2）思路：函数的定义域为x1，从而发现1x1x，所以函数的解析式为fxx1x，观察可得fx为增函数，且x时，fx，所以当x,1时，fx的值域为,1小炼有话说：本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。所以在求函数的值域时，若发现函数解析式较为特殊，则先确定其定义域本题也可用换元法，设t1x后即可将函数转为二次函数求值域，但不如观察单调性求解简便。32

19、x03（3）思路：先确定函数的定义域：2导则导函数较为复杂。观察分子分母可知：32x50且关于x单减，2x21032x532x212x21252小炼有话说：在函数单调性的判断中有“增+增增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的乘法，例如hxfxgx，则当fx,gx均为增（减）函数，且fx,gx恒大于0，才能得到hx为增（减）函数524、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数y的关于x的方程Fx,y0。由函数的对应关系可知，对于值域中的任一值y，必能在定义域中找到与之对应的x。这个特点反应在方程中，即为若y在值域中，则关于x的方程Fx,y0在yy00时只要有一个根。从而将求值

20、域问题转化为“y取何值时，方程Fx,y0有解”的问题。-10-/17利用方程的特点即可列出关于y的条件，进而解出y的范围即值域例8：（1）函数y2x24x7x22x3的值域为（）,2B.,0C.,0D.,2A.97792332（2）函数ysinx1cosx2的值域为_思路：（1）观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于x的二次方程（其中y为参数）：y2x22y4x3y70，因为函数的定义域为R，所以y的取值要求只是让方程有解即可，首先对最高次数系数是否为0进行分类讨论：当y2，方程为130，无解；当y2时，二次方程有解的条件为0，即得到关于y的不等式，求解即可解：由y2x24x7x22

21、x3可得:综上所述：函数的值域为,2x2y2xy3y2x24x7y2x22y4x3y70Qx22x3x1220函数的定义域为Ry的取值只需让方程有解即可当y2时，130不成立，故舍去当y2时，2y424y23y70即：2y9y209y2292小炼有话说：对于二次分式，若函数的定义域为R，则可像例8这样通过方程思想，将值域问题转化为“y取何值时方程有解”，然后利用二次方程根的判定0得到关于y的不等式从而求解，这种方法也称为“判别式法”“若函数的定义域不是R，而是一个限定区间（例如a,b），那么如果也想按方程的思想处理，那么要解决的问题转化为：y取何值时，方程在a,b有根”，对于二次方程就变为了根

22、-11-/171y2，可知方程有解的条件为：分布问题，但因为只要方程有根就行，会按根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问题通常利用分式的变形与换元进行解决（详见附）（2）本题不易将函数变为仅含sinx或cosx的形式，考虑去分母得：sinxycosx2y1则y的取值只要让方程有解即可。观察左侧式子特点可想到俯角公式，从而得到1y2sinx2y1sinx2y12y11y21，解出y的范围即为值域解：ysinx1cosx2的定义域为Rsinx1且yycosx2ysinx1cosx2sinxycosx2y11y2sinx2y1，即sinx2y11y2，其中tany1y212y121y23y24y

23、0y,0答案：（1）D（2）,0因为该方程有解2y143小炼有话说：本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为cosx,sinx,2,1连线斜率的问题，从而将问题转化为定点2,1与单位圆上点连线斜率的取值范围。作图求解即可。本类型运用方程思想处理的局限性在于辅角公式与y的取值相关，不过因为xR，所以均能保证只要sinx在1,1中，则必有解。但如果本题对x的范围有所限制，则用方程的思想不易列出y的不等式，所以还是用数形结合比较方便43以上为求值域的四种常见方法，与求函数的理念息息相关，有些函数也许有多种解法，或是在求值域的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再遇到函数值域问题时，

24、能迅速抓住解析式的特点，找到突破口，灵活运用各种方法处理问题。例9：已知函数ylgx22xm的值域为R，则m的取值范围是（）A.m1B.m1C.m1D.mR思路：本题可视为ylgt,tx22xm的复合函数，函数的值域为R，结合对数函数的-12-/17过x的最大整数，例如：22,3.13,2.63，设函数fx，则函数性质可知t应取遍所有的正数（定义域可不为R），即若函数tx22xm的值域为A，则0,A，由二次函数的图像可知，当0时，可满足以上要求。所以44m0解得m1答案：C例10：在计算机的算法语言中有一种函数x叫做取整函数（也称高斯函数），x表示不超2x112x2yfxfx的值域为（）A.0

25、B.1,0C.-1,0,1D.2,0思路：按x的定义可知，若要求出x，则要将确定里面x的范围，所以若求yfxfx的值域，则要知道fx,fx的范围。观察到yfxfx为偶函数，所以只需找到x0的值域即可，fx，fx2x112x2x12x1212x2212x12x212x，即fxfx成立，所以fx为奇函数，只需确定fx的范围即可。对fx中的分式进行分离常数可得：，当x0时，2x12,，从而0,，所以fx111122x12x12fx0,，由fxfx,0。即fx0,fx1，可得1122y1，再利用偶函数性质可得x0时，y1。当x0时，fxfx0，所以y0，综上所述：yfxfx的值域为1,0答案：B小炼有

26、话说：（1）本题在处理值域时，函数奇偶性的运用大量简化了运算。首先判断出所求函数为偶函数，所以关于y轴对称的两部分值域相同，进而只需考虑x0的情况。另外从解析式的特点判断出fx为奇函数，从而只需计算fx的范围，再利用奇函数的性质推出fx的范围。所以在求函数值域时，若能通过观察或简单的变形判断出函数具备奇偶的性-13-/17fx12x2很难直接看出fx,fx之（2）本题在判断fx的奇偶性时，由间的联系，但通过“通分”即可得到，奇偶性立即可见；在求fx的212x范围时，利用fx的形式，分式较为复杂，分子分母均含变量，不易确定其范质，则解题过程能够达到事半功倍的效果。2x1fx2x112x22x1f

27、x212xfx12x2x1212x围。但通过“分离常数”得到fx1122x1则非常便于求其范围。由以上的对比可知，在判断奇偶性或者分式的符号时，通常一个大分式较为方便；在求得分式函数值域时，往往通过“分离常数”的手段简化分式中的分子，从而便于求得范围附：分式函数值域的求法：分式函数也是高中所学函数的一个重要分支，求解分式函数的值域也考查了学生分式变形的能力以及能否将分式化归为可求值域的形式，学会求分式函数值域也是处理解析几何中范围问题的重要工具。求分式函数值域的方法很多，甚至也可以考虑对函数进行求导，但相对计算量较大，本节主要介绍的方式为如何通过对分式函数进行变形，并用换元的方式将其转化为熟悉

28、的函数进行求解。一、所用到的三个函数（其性质已在前文介绍）1、反比例函数：y1x2、对勾函数：yxaa0 x3、函数：yxaa0注意与对勾函数进行对比x二、分式函数值域的求法请看下面这个例子：-14-/17求y31x,x1,2的值域11思路：此函数可看为的结果再加上3所得，故可利用反比例函数求出的范围，再得到值xx域,1y3,4解：Qx1,21117x2x2问题不难，但观察可发现：y313x13x1，所以当遇到的函数为y，总可以将xxx对于形如fx的函数，总可以变换成fxa转化为反比例函数进行求解。1分子的每一项均除以分母，从而转化为y3进行求解。由此得到第一个结论：xaxbbxx注：如果在分式中，分子的表达式可将一部分构造为分母的形式，则可用这部分除以分母与分式分离得到常数，从而使得分式中的分子变得简单，这种方法称为“分离常数法”是分式变形常用的一种手段例：fx2x3,x1,3x1思路：本题分母为表达式，比较复杂，但如果视分母为