统计学第三章综合指标

1、原始数据静态分布动态趋势总量指标（绝对规模）相对指标（相对关系）平均指标（集中趋势）变异指标（离散趋势）水平指标（绝对规模）速度指标（相对变化）因素分析（趋势预测）统计指标加工整理 第三章 综合指标本章要求教学目的：本章主要阐述利用综合指标来描述总体的特征，通过学习使学生能正确地运用统计指标来反映总的集中趋势和离散程度。教学重点及难点：教学重点：各种综合指标的意义及其计算的理论依据和方法。教学难点：平均指标和强度指标的区别；几种平均指标间的关系；各种变异指标的计算。主要教学内容及要求：1、了解各种综合指标的概念、作用及种类；2、掌握各种综合指标的特点和应用场合；3、熟练掌集中趋势及离散程度的指

2、标的含义及计算方法。 第三章 综合指标第一节 总量指标第二节 相对指标第三节 平均指标第四节 变异指标第一节 总量指标一、总量指标的概念与作用二、总量指标的基本分类三、计算方法反映现象总体规模或总水平的综合指标，即数量指标，也称为绝对数。总量指标是认识社会经济现象的起点；是实现宏观经济调控和企业经营管理的基本指标；是计算其他统计指标的基础。总量指标的作用：一定时间、地点、条件下第一节 总量指标一、总量指标的概念与作用二、总量指标的基本分类三、计算方法总体标志总量总体单位总量按反映的总体内容不同分为：总量指标的基本分类按反映的时间状况不同分为：时期指标时点指标按计量单位不同分为：实物指标价值指标

3、劳动指标总体标志总量总体单位总量只有可加总体能够计算总体单位总量，不可加总体没有总体单位总量；一个总体中只有一个单位总量，但可以有多个标志总量，它们由总体单位的数量标志值汇总而来。总体单位某一数量标志的标志值总和总体所包含的总体单位的数量时期指标时点指标表明现象总体在一段时期内发展过程的总量，如在某一段时期内的出生人数、死亡人数表明现象总体在某一时刻（瞬间）的数量状况，如在某一时点的总人口数具有可加性、数值大小与时期长短有直接关系、需要连续登记汇总不具有可加性、数值大小与时期长短没有直接关系、由一次性登记调查得到实物单位自然单位度量衡单位标准实物单位价值单位劳动单位计量单位多个单位的结合运用：

4、复合单位双重单位多重单位（如：人次、吨公里）（如：人/平方公里）（如：艘/吨/千瓦）如：台、件如：米、平方米如：标准吨如：工日、工时如：元强差综合性第一节 总量指标一、总量指标的概念与作用二、总量指标的基本分类三、计算方法计量方法 相加计算平衡计算与推算对于同类的计算对象按实际计量单位直接加起来直接相加 折算相加 对于同类的计算对象按标准计量单位相加如：国内生产总值=总产出中间投入 第三章 综合指标第一节 总量指标第二节 相对指标第三节 平均指标第四节 变异指标第二节 相对指标一、相对指标的概念及作用二、相对指标的种类三、使用相对指标应注意的问题指应用对比的方法来反映相关事物之间数量联系程度的

5、指标，也称为相对数。相对指标使不能直接对比的现象找到共同的比较基础；用来进行宏观经济管理和评价经济活动的状况；便于记忆、保密。相对指标的作用：两个指标之比无名数有名数用倍数、系数、成数、等表示用双重计量单位表示的复名数相对指标的表现形式成数应当用整数的形式来表述3成、近7成8.6成分母为1分母为1.00分母为10分母为100分母为1000第二节 相对指标一、相对指标的概念及作用二、相对指标的种类三、使用相对指标应注意的问题相对指标的种类结构相对数比例相对数比较相对数计划完成程度相对数强度相对数动态相对数短期计划完成情况的检查 计划数与实际数同期时，直接应用公式:A.计划任务数表现为绝对数时某企

6、业年计划工业增加值为200万元，实际完成220万元，计划完成相对指标为 超额绝对值=220-200=20万元对产量、产值求计划完成程度指标时大于1表示超额完成计划，小于1表示未完成计划 某企业计划管理费用为1000万元，实际为950万元，计划完成相对指标为 对成本费用求计划完成程度时，大于1表示未完成计划，小于1表示超额完成计划 最低限额最高限额例：某企业2014年计划产量为10万件，而实际至第三季度末已生产了8万件，全年实际共生产11万件。则 考察计划执行进度情况:B. 计划任务数表现为相对数时例：己知某厂2014年的计划规定单位产品成本要比上年降低6%而实际降低了7.6。则(1) 水平法计

7、划指标以计划末期应达到的水平规定任务长期计划完成情况的检查例：某厂计划“十一五” 末期达到年量56万吨，实际完成情况为：年份20062007200820092010产量（万吨）40454849.663其中，最后两年各月份实际产量为（单位：万吨）：要求计算： 该厂“十一五”期间产量计划的完成程度；提前完成计划的时间。月份1234567891011122009年3.53.543.843.84455542010年44455555667756解：提前完成计划时间：因为自2009年9月起至2010年8月底连续12个月的时间内该厂的实际产量已达到56万吨，即已完成计划任务，提前完成计划4个月。例：某厂计划

8、“十一五” 末期达到年量56万吨，实际完成情况为：年份20062007200820092010产量（万吨）40454849.663其中，最后两年各月份实际产量为（单位：万吨）：要求计算： 该厂“十一五”期间产量计划的完成程度；提前完成计划的时间。月份1234567891011122009年3.53.543.843.84455542010年4445555566775766【分析】5557可以判断出，计划任务应是在2010年8月份的某一天完成的（尚未完成计划）（已超额完成计划）月份1234567891011122009年3.53.543.843.84455542010年444555566667月份

9、1234567891011122009年3.53.543.843.84455542010年4445555666672009年8月2010年8月4万吨6万吨全月轮换将共增加2万吨每轮换一天将增加（ ）万吨在2010年8月份为完成尚差的1万吨的计划任务还需要的天数：即提前完成任务九个月零15天。长期计划完成情况的检查(2) 累计法计划指标按计划期内各年的总和规定任务例：某市计划“十一五”期间要完成社会固定资产投资总额60亿元，计划任务的实际完成情况为：年份20062007200820092010合计投资额（亿元）11.411.912.512.813.161.7其中，2010年各月份实际完成情况为（

10、单位：亿元）：月份123456789101112投资额1.11.01.21.11.11.11.21.21.31.10.90.8要求计算：该市“十一五”期间固定资产投资计划的完成程度;提前完成计划的时间。已累计完成固定资产投资额60亿元解：提前完成计划时间：因为到2010年10月底已完成固定资产累计投资额60亿元（61.70.80.9=60），即已完成计划任务，提前完成计划两个月。例：某市计划“十一五”期间要完成社会固定资产投资总额60亿元，计划任务的实际完成情况为：年份20062007200820092010合计投资额（亿元）11.411.912.512.813.161.7其中，2010年各月

11、份实际完成情况为（单位：亿元）：月份123456789101112投资额1.11.01.21.11.11.11.21.21.31.10.90.81.10.8如何确定提前完成计划的时间?思考月份123456789101112投资额1.11.11.21.11.11.11.21.21.31.10.80.8【分析】已累计完成固定资产投资额60.1亿元已累计完成固定资产投资额59亿元可以判断出，计划任务应是在2010年10月份的某一天完成的假定10月份每天都完成相等的投资额59亿元60.1亿元601亿元0.1亿元在2010年10月为完成尚差的1.0亿元投资额的计划任务需要的天数：【方法一】在2010年1

12、0月为完成超额的0.1亿元的投资额所用的天数：【方法二】即提前完成任务两个月零两天。即提前完成任务两个月零两天。例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则说明为无名数； 同一总体各组的结构相对数之和为1；用来分析现象总体的内部构成状况。恩格尔系数消费支出中用于食品的支出全部消费支出例：我国某年国民收入使用额为19715亿元，其中消费额为12945亿元，积累额为6770亿元。则为无名数，可用百分数或一比几或几比几表示；用来反映组与组之间的联系程度或比例关系。说明例：某年某地区甲、乙两个公司商品销售额分别为5.4亿元和3.6亿元。则为无名数，一

13、般用倍数、系数表示； 用来说明现象发展的不均衡程度。 说明 是同类指标数值在不同时间上的对比动态相对数为无名数； 用来反映现象的数量在时间上的变动程度。说明例：某年某地区年平均人口数为100万人，在该年度内出生的人口数为8600人。则该地区一般用、表示。其特点是分子来源于分母，但分母并不是分子的总体，二者所反映现象数量的时间状况不同。无名数的强度相对数例：某地区某年末现有总人口为100万人，医院床位总数为24700张。则该地区（正指标）（逆指标）为用双重计量单位表示的复名数，反映的是一种依存性的比例关系或协调关系，可用来反映经济效益、经济实力、现象的密集程度等。有名数的强度相对数第二节 相对指

14、标一、相对指标的概念及作用二、相对指标的种类三、正确应用相对指标的原则可比性原则相对指标与总量指标结合运用原则多种相对指标综合应用原则正确应用相对指标的原则第三节 平均指标一、集中趋势的涵义 二、平均指标的种类及计算方法83名女生的身高分布的集中趋势、中心数值算术平均数指总体中各单位的次数分布从两边向中间集中的趋势，用平均指标来反映。集中趋势可以反映现象总体的客观规定性；可以对比同类现象在不同的时间、地点和条件下的一般水平；可以分析现象之间的依存关系。测定集中趋势的意义：指同质总体中各单位某一数量标志的一般水平，是对总体单位间数量差异的抽象化第三节 平均指标（集中趋势）一、集中趋势的涵义 二、

15、平均指标的种类及计算方法二、平均指标的种类及计算方法 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数数值平均数位置平均数基本形式：例：直接承担者 注意区分算术平均数与强度相对数算术平均数A. 简单算术平均数适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中： 为算术平均数; 为总体单位总数； 为第 个单位的标志值。算术平均数的计算方法平均每人日销售额为：算术平均数的计算方法某售货小组5个人，某天的销售额分别为520元、600元、480元、750元、440元，则【例】B. 加权算术平均数适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中： 为算术平均数; 为第 组的次数； 为组数； 为第 组的标

16、志值或组中值。算术平均数的计算方法【例】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工人人数（人）f/f(100%)202122232425262714681210722812162420144合计50100计算该企业该日全部工人的平均日产量。算术平均数的计算方法解：算术平均数的计算方法若上述资料为组距数列，则应取各组的组中值作为该组的代表值用于计算；此时求得的算术平均数只是其真值的近似值。说明2、根据组距数列计算应用条件：组距式分组，各组次数不同。举例：某车间200名工人日产量资料： 按日产量分 组（公斤）工人数f组中值x日产总量xf2030 10 25 2503040 70 35 2450

17、4050 90 45 41505060 30 55 1650合 计 200 8400返回表现为次数、频数、单位数；即公式 中的表现为频率、比重；即公式中的算术平均数的计算方法指变量数列中各组标志值出现的次数，是变量值的承担者，反映了各组的标志值对平均数的影响程度权数绝对权数相对权数以相对数为权数中的权数与加权234567819权数与加权234567819权数与加权234567819权数与加权234567819算术平均数的计算取决于变量值和权数的共同作用：变量值决定平均数的范围；权数则决定平均数的位置变量值与其算术平均数的离差之和衡等于零，即：变量值与其算术平均数的离差平方和为最小，即：算术平均

18、数的主要数学性质离差的概念12345678-1-1-213思考题 比特啤酒公司雇用了468名员工，其中有56名管理人员，130名行政和技术人员，其余282人是工人。这三组人的周平均工资分别是500英镑、300英镑和200英镑。财务主管希望计算全体员工的平均工资。？正确的计算方法二、平均指标的种类及计算方法 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数数值平均数位置平均数【例】 设X=（2，4，6，8），则其调和平均数可由定义计算如下：再求算术平均数：求各标志值的倒数 ： ， ， ，再求倒数：是总体各单位标志值倒数的算术平均数的倒数，又叫倒数平均数调和平均数harmean（harmonic

19、mean）A. 简单调和平均数适用于总体资料未经分组整理、尚为原始资料的情况式中： 为调和平均数; 为变量值 的个数； 为第 个变量值。调和平均数的计算方法B. 加权调和平均数适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中： 为第 组的变量值； 为第 组的标志总量。调和平均数的计算方法当已知各组变量值和标志总量时，作为算术平均数的变形使用。因为：调和平均数的应用日产量（件）各组工人日总产量（件）2021222324252627208413218428825018254合计1194【例】某企业某日工人的日产量资料如下：计算该企业该日全部工人的平均日产量。调和平均数的应用即该企业该日全部工人的平

20、均日产量为23.88件。调和平均数的应用解：【练习】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（）组中值（）企业数（个）实际产值（万元）90以下90100100110110以上8595105115231038502850105004600合计1818800计算该公司该季度的平均计划完成程度。相对数的平均数计算方法二、平均指标的种类及计算方法 算术平均数 调和平均数 几何平均数 中位数 众数数值平均数位置平均数是N项变量值连乘积的开N次方根几何平均数用于计算现象的平均比率或平均速度应用：各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条

21、件：A. 简单几何平均数适用于总体资料未经分组整理尚为原始资料的情况式中： 为几何平均数; 为变量值的个数； 为第 个变量值。几何平均数的计算方法【例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为95、92、90、85、80，求整个流水生产线产品的平均合格率。分析：设最初投产100A个单位 ，则第一道工序的合格品为100A0.95；第二道工序的合格品为（100A0.95）0.92； 第五道工序的合格品为（100A0.950.920.900.85）0.80；因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80

22、；则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品， 故该流水线总的合格品应为 100A0.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。解：思考若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个独立作业的车间，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为100件，求该企业的平均合格率。几何平均数的计算方法 因各车间彼此独立作业，所以有 第一车间的合

23、格品为：1000.95； 第二车间的合格品为：1000.92； 第五车间的合格品为：1000.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品=1000.95+1000.80几何平均数的计算方法分析：不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解相对数的平均数方法计算。又因为应采用加权算术平均数公式计算，即B. 加权几何平均数适用于总体资料经过分组整理形成变量数列的情况式中： 为几何平均数; 为第 组的次数 为组数； 为第 组的标志值或组中值。几何平均数的计算方法【例】某金融机构以复利计息。近25年来的年利率有1年为3，4年为5，8年为8，10年为10，2年为15。求平均年利率。设本金为V

24、，则至各年末的本利和应为：第1年末的本利和为：第2年末的本利和为： 第25年末的本利和为：分析：第2年的计息基础最后2年的计息基础则该笔本金25年总的本利率为：即25年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。解：几何平均数的计算方法思考若上题中不是按复利而是按单利计息，且各年的利率与上相同，求平均年利率。分析第1年末的应得利息为：第2年末的应得利息为：第25年末的应得利息为： 设本金为V，则各年末应得利息为：则该笔本金25年应得的利息总和为：=V（0.031+0.054+0.152） 这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照

25、相对数的平均数的方法计算。因为假定本金为V所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：解：（比较：按复利计息时的平均年利率为8.64）二、平均指标的种类及计算方法 算术平均数 调和平均数 几何平均数 众数 中位数数值平均数位置平均数指总体中出现次数最多的变量值，用 表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。众数(Mode)二、平均指标的种类及计算方法有时众数是一个合适的代表值 比如在服装行业中，生产商、批发商和零售商在做有关生产或存货的决策时，更感兴趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。 日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100

26、合计800【例A】已知某企业某日工人的日产量资料如下:众数的确定（单值数列）计算该企业该日全部工人日产量的众数。众数的确定（组距数列）【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200400400600600以上373283104250合计50计算该车间工人月产量的众数。当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数）。众数的原理及应用出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.0

27、1975.0160140120100806040200413名学生出生时间分布直方图众数的原理及应用没有突出地集中在某个年份192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100众数的原理及应用413名学生的身高分布直方图出现了两个明显的分布中心二、平均指标的种类及计算方法 算术平均数 调和平均数 几何平均数 众数 中位数数值平均数位置平均数将总体各单位标志值按大小顺序排列后，指处于数列中间位置

28、的标志值，用 表示中位数（Median)不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。中位数的作用：二、平均指标的种类及计算方法中位数的位次为：即第3个单位的标志值就是中位数【例A】某售货小组5个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元，则中位数的确定（未分组资料）中位数的位次为：中位数应为第3和第4个单位标志值的算术平均数，即【例B】若上述售货小组为6个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为440元、480元、520元、600元、750元、760元，则中位数的确定（未分组资料）【例C】某企业某日工人的日产量资料如下：日产量（件）工

29、人人数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计800计算该企业该日全部工人日产量的中位数。中位数的位次：中位数的确定（单值数列）中位数的确定（组距数列）【例D】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200400400600600以上373283104250合计50计算该车间工人月产量的中位数。六、各种平均数的比较（一）各种平均数的特点及应用场合 是就全部数据计算的，具有优良的数学性质，实际中应用最为广泛。其主要缺点是易受极端值的影响，对偏态分布其代表性较差。 H主要用于不能直接计算

30、 的数据易受极端值的影响。 G主要用于计算比率数据的平均数,易受极端值的影响。 不受极端值的影响,对偏态分布其代表性较 好.但不是根据所有的变量值计算的. 不受极端值大小的影响，对偏态分布其代表性较 好。但不是根据所有的变量值计算的.（二） 的关系对称分布左偏分布右偏分布返回第四节 变异指标 （离中趋势的测定）一、离中趋势的涵义 二、变异指标的种类及计算三、是非标志的标准差及方差例：如果你是一家制造业公司的供应部门经理，与两家原材料供应商联系供货，两家供应商均表示能在大约10个工作日内供齐所需原材料。几个月的运转之后，你发现尽管两家供货商供货的平均时间都是大约10天，但他们供货所需天数的分布情

31、况却是不同的（图）。问:两家供货商按时供货的可信度相同吗？考虑它们直方图的差异，你更愿意选择哪家供货商供货呢？集中趋势弱、离中趋势强集中趋势强、离中趋势弱指总体中各单位标志值背离分布中心的规模或程度，用变异指标来反映。离中趋势反映统计数据差异程度的综合指标，也称为标志变动度变异指标值越大，平均指标的代表性越小；反之，平均指标的代表性越大测定离中趋势的意义用来衡量和比较平均数代表性的大小；用来反映社会经济活动过程的均衡性和节奏性；用来测定变量数列次数分布较正态分布的偏离程度。 第四节 离中趋势的测定一、离中趋势的涵义 二、变异指标的种类及计算三、是非标志的标准差及方差测定标志变异度的绝对量指标（

32、与原变量值名数相同）测定标志变异度的相对量指标（表现为无名数）全距平均差标准差全距系数平均差系数标准差系数标志变异指标的种类指所研究的数据中，最大值与最小值之差，又称极差。全距最大变量值或最高组上限或开口组假定上限最小变量值或最低组下限或开口组假定下限【例A】某售货小组5人某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，则【例B】某季度某工业公司18个工业企业产值计划完成情况如下：计划完成程度（）组中值（）企业数（个）计划产值（万元）90以下90100100110110以上8595105115231038002500172004400合计1824900计算该公司该季度计划完

33、成程度的全距。优点:计算方法简单、易懂；缺点:易受极端数值的影响，不能全面反映所有标志值差异大小及分布状况，准确程度差往往应用于生产过程的质量控制中全距的特点 简单平均差适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差绝对值的算术平均数，用 A D 表示平均差计算公式：总体算术平均数总体单位总数第 个单位的变量值【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的平均差。解：即该售货小组5个人销售额的平均差为93.6元。 加权平均差适用于分组资料平均差的计算公式总体算术平均数第 组变量值出现的次数第 组的变量值或组中值【例B】计算下表

34、中化肥施用量的平均差。每亩化肥施用量（千克）组中值（千克）X耕地面积（万亩）f51010151520202525307.512.517.522.527.530701005010合计260解：即每亩化肥施用量的平均差为4.11千克。优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度。缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和参与统计分析运算。平均差的特点一般情况下都是通过计算另一种标志变异指标标准差，来反映总体内部各单位标志值的差异状况 简单标准差适用于未分组资料是各个数据与其算术平均数的离差平方的算术平均数的开平方根，用 来表示；标准差的平

35、方又叫作方差，用 来表示。标准差计算公式：总体单位总数第 个单位的变量值总体算术平均数【例A】某售货小组5个人，某天的销售额分别为440元、480元、520元、600元、750元，求该售货小组销售额的标准差。解：（比较：其销售额的平均差为93.6元）即该售货小组销售额的标准差为109.62元。 加权标准差适用于分组资料标准差的计算公式总体算术平均数第 组变量值出现的次数第 组的变量值或组中值【例B】计算下表中化肥施用量的标准差。每亩化肥施用量（千克）组中值（千克）X耕地面积（万亩）f51010151520202525307.512.517.522.527.530701005010合计260解：（比较：其每亩化肥的施用量的平均差为4.11千克）即每亩化肥的施用量的标准差为5.06千克。标准差的特点不易受极端数值的影响，能综合反映全部单位标志值的实际差异程度；用平方的方法消除各标志值与算术平均数离差的正负值问题，可方便