真题答案06南开固体试题

1、南开大学固体物理(基础部分)2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题专业:凝聚态物理物理系、光学(光子学中心)一、简答题 (每题5分,共50分) 1.晶体的宏观对称元素有哪些?晶体中是否存在高于6次的旋转对称轴?2.画出二维石墨平面的结构示意图;标出基元、原胞;原胞中包含多少个原子?3. 解释描述晶格热容的爱因斯坦模型和德拜模型,并给出爱因斯坦模型中声子态密度. 4.晶格振动与晶体的哪些宏观物理性质有关,研究晶格振动的实验方法有哪些?6.什么是声子.声子与声子、声子与电子之间是否会产生相互作用?8.解释费米面的物理意义,并说明研究费米面的实验方法有哪些?7.给出一种确定晶体结构的实验方法以

2、及所依据的原理.5.晶体结合的基本类型和基本特性.9.描述测量霍尔效应的实验,并说明观测霍尔效应是金属样品容易还是半导体样品容易?10.什么是空位?什么是空穴?1.晶体的宏观对称元素有哪些?晶体中是否存在高于6次的旋转对称轴?宏观对称素包括：（1）反映（或对称）面, 国际符号m ;（2）旋转（对称）轴, 国际符号l、2、3、4、6; 对称素就是一个物体借以进行对称操作的一根轴、一个平面或一个点. 国际符号 、 、 、 、（3）对称中心, 国际符号;（4）对称反轴 , 独立的宏观基本对称要素只有8种，即1、2、3、4、6、i、m、 。 由于晶体周期性的限制,晶体中允许的转动对称轴只能是1,2,3

3、,4和6重轴, 这称为晶体的对称性定律,所以晶体中不存在高于6次的旋转对称轴.2.画出二维石墨平面的结构示意图;标出基元、原胞;原胞中包含多少个原子?原胞中包含2个原子基元中原子坐标：原胞基矢：3. 解释描述晶格热容的爱因斯坦模型和德拜模型,并给出爱因斯坦模型中声子态密度. 德拜模型和爱因斯坦模型是处理晶格比热中常用的近似方法.德拜模型:(1)晶体视为连续介质,格波视为弹性波；(2)有一支纵波两支横波；(3)晶格振动频率在 之间(D为德拜频率)。爱因斯坦模型:(1)晶体中原子的振动是相互独立的；(2)所有原子都具有同一频率；对爱因斯坦模型： ,与q无关 设晶体有N个原胞,每个原胞含有p个原子,

4、则声子态密度应满足总模式数等于总自由度数：说明:4.晶格振动与晶体的哪些宏观物理性质有关,研究晶格振动的实验方法有哪些? 晶格振动与晶体的热学性质(热容、热传导和热膨胀等)、光学性质(晶体的光吸收和光发射等)、电学性质(电导、霍尔效应和超导等)等宏观物理性质有关,研究晶格振动的实验方法有中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射等.5.晶体结合的基本类型和基本特性. 晶体结合的类型有离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体和氢键晶体. 离子晶体的结合力是离子键，即稳定的正、负离子相间排列，通过库仑静电力互相吸引； 共价晶体的结合力是共价键，两原子通过共有自旋相反的一对电子相互键合； 金属晶体的结合力

5、是金属键，价电子离化形成的共有化负电子云与处在其中的正离子实通过库仑作用相互束缚； 分子晶体的结合力是范德瓦尔斯力，与电子分布起伏有关的瞬时电偶极矩的感应作用使具有球对称电子分布的中性原子或分子聚合； 氢键晶体的结合力是氢键，即氢原子的电子参与形成共价键后，裸露的氢核与另一电负性较大的原子通过静电作用相结合。6.什么是声子.声子与声子、声子与电子之间是否会产生相互作用? 声子是描述晶格振动的能量量子,模的角频率为 的声子能量为 ,波矢为q的声子“准动量”(或称晶体动量) 为 。 在简谐近似下声子之间没有相互作用,考虑到非简谐效应时,声子之间就有相互作用了,可导致声子的产生、消灭或散射. 声子与

6、电子之间在满足一定的选择定则的条件下,可以产生相互作用,引起电子的散射.7.给出一种确定晶体结构的实验方法以及所依据的原理. 表征晶体结构的实验方法除了X射线衍射外,还有电子衍射和中子衍射等,这些方法都是通过衍射图谱来分析晶体结构. 随着科技的进一步发展,现在已经能够直接观察原子排列和晶体结构了.如:高分辨电子显微术、场离子显微术、扫描隧道显微镜、多功能扫描探针显微镜等.这是对原子规则排列的直接的实验证实.下面以X射线衍射为例说明 晶体中原子之间的距离是0.1nm的量级,X射线波长在: ,两者数量级相当,因此, X射线技术成为物质结构分析的主要分析手段. 英国物理学家布拉格提出晶体中整齐排列的

7、原子可看成为一组相互平行等距的原子平面,不管这些原子在平面上如何分布,如果衍射光束服从反射定律(反射光线在入射平面中,反射角等于入射角),则这组晶面所反射的x射线,只有当光程差是x射线波长的整数倍时才相互加强,出现衍射. 并推导出了著名的布喇格公式: n称为X射线衍射的级数, 为布拉格角,d为布拉格平面之间的面间距, 为X射线波长. 通过X射线衍射实验,对于晶体确实可观察到衍射峰,从而可证明晶体的周期性结构的存在.且通过布拉格平面之间的面间距和布拉格角的关系进一步确定相应的晶体结构.8.解释费米面的物理意义,并说明研究费米面的实验方法有哪些? 费米面是K空间中能量等于费米能量的等能面,在绝对零

8、度下,它将被电子占据的状态与不被电子占据的状态分开. 由于费米能的量级在几个电子伏特,而一般的扰动很小,比如,室温下的热扰动仅有0.026 eV,所以,电子的输运行为常常仅涉及到费米面附近电子能量的变化,也就是说,参与输运行为的电子,一般只是费米面附近的电子,从而使得问题简化,这就是引入费米面这一概念的意义. 实验上研究费米面的方法主要有:德哈斯-范阿尔芬效应和回旋共振方法. 德哈斯-范阿尔芬效应的变化的周期决定于费米面在垂直磁场方向的最大截面 (称为极值截面),测定磁场沿各种不同晶向时德哈斯-范阿尔芬效应的周期,便可确定沿不同晶向的极值截面面积,从而勾画出金属费米面的形状. 也可以利用回旋共

9、振方法测定费米面,若在垂直磁场方向加上频率为的交变电场,当 时,交变电场的能量将被电子共振吸收,这个现象称为回旋共振.按量子理论,共振吸收相当于实现了电子在朗道能级之间的跃迁.通过测量共振吸收频率,可以确定晶体中电子的有效质量.9.描述测量霍尔效应的实验,并说明观测霍尔效应是金属样品容易还是半导体样品容易? 当电流垂直于外磁场方向通过导体(或半导体)时,在垂直于电流和磁场方向,该导体(或半导体)两侧产生电势差.这一现象称为霍尔效应. 对于自由电子气体,霍尔系数仅依赖于自由电子气体的电子浓度n:此时霍尔系数与载流子浓度成反比关系测量霍尔效应的实验见实验讲义 此时霍尔系数与空穴浓度p和电子浓度n之

10、差成反比关系. 对于半导体,在高磁场下,霍尔系数依赖于电子浓度n和空穴浓度p: 由于半导体中空穴浓度p和电子浓度n都远小于导体中的电子浓度,所以半导体霍尔系数远比导体霍尔系数大,且可以出现正值.所以半导体样品容易.10.什么是空位?什么是空穴? 空位(vacancy)是晶体内部的空格点.可以认为是由于原子因热涨落脱离格点.跳到晶体表面而产生的.属于点缺陷的一种. 对于不具有部分填充能带的非导体,若导带底和价带顶之间的能隙较窄,则在有限的温度下,满带中(价带顶附近)少数电子受激发而跃迁到空带中去,使原来的满带变成近满带,近满带中这些空的状态,称为空穴.空穴在外场中的行为犹如它带有正电荷+e.所以

11、对于近满带中的空穴(hole),可以看成是带 +e 的粒子.空穴是为了分析固体的导电行为而引入的一种准粒子.空位与空穴是两个截然不同的概念.二、 (20分) (a) 计算一维双原子链声子的色散关系,相邻原子间距为a. (b) 下图是一维单原子链纵向振动的色散曲线,估算沿链方向的声波速度. 224-410 2 6 解: (a)用us, vs 分别表示第s个初基晶胞中质量为Ml和M2的原子相对于平衡位置的位移参照下图，写出运动方程：MlM2选取简正模式解：(1) u、v是两个待定系数,表明初基晶胞中两个原子振动的相对振幅和位相关系将式(2)代入式(1)，得到:整理得：(3) 要使（3）式有非零解，

12、要求u、v的系数行列式必须为零，即：整理得：解得：这就是本问题的色散关系。 注：此题中的a应该换成2a，因为这里a为原子间距。(b) 下图是一维单原子链纵向振动的色散曲线,估算沿链方向的声波速度. 224-410 2 6由图可知, 时, 三. (20分)某半导体材料,沿 方向电子的能量可表示为： 其中A0, a为晶格周期,计算电子的速度v以及有效质量 ,画出在 区间 以及 关系曲线.解:电子的速度：有效质量 区间内电子的速度曲线 为： 区间内 曲线为：(b)在近自由电子模型下,给出沿 方向的第一能带和沿 方向的第二能带交叠的条件. 四. (20分) 由二价原子组成的二维晶体,原胞基矢分别为 .

13、如果晶格周期势为： (a)求倒格子原胞的基矢、画出第一布里渊区和第二布里渊区.解:由正、倒格子原胞基矢的关系：可得倒格子原胞的基矢：倒格子仍是二维矩形 在倒格子空间中以任意一个倒格点为原点，做原点和其他所有倒格点连线的中垂面(或中垂线)，这些中垂面(或中垂线)将倒格子空间分割成许多区域，这些区域称为布里渊区。由此可画出第一布里渊区和第二布里渊区(a)第一区第二区(b)在近自由电子模型下,给出沿 方向的第一能带和沿 方向的第二能带交叠的条件.由此可知在近自由电子模型下, 沿 方向的第一能带带隙为： 在近自由电子模型下, 沿 方向的第二能带带底的能量为：由此可知在近自由电子模型下, 沿 方向的第一

14、能带带隙为： 在近自由电子模型下, 沿 方向的第一能带带顶的能量为：所以在近自由电子模型下,给出沿 方向的第一能带和沿 方向的第二能带交叠的条件是：五. (20分)(b)当温度变化 时，费米能如何变化?(a)推导绝对零度下金属自由电子费米能的表达式.(c)体心立方结构的金属钠,其点阵常数为a=0.428nm, 用自由电子模型计算其费米能.(a) 导出绝对零度下金属自由电子费米能量的表达式.绝对零度下金属自由电子的本征能量为：在 空间中，具有相同能量的代表点所构成的面称为等能面，显然，由上式可知，等能面为球面。( 一定）由于N很大，在 空间中，N个电子的占据区最后形成一个球，即所谓的费米球（Fe

15、rmi sphere)。解:费米球相对应的半径称为费米波矢（Fermi wave vector).用 kF 来表示。 在k空间中，把N个电子的占据区和非占据区分开的界面叫做费米面(Feimi surface)基态时(T=0k)，N个电子填满整个费米球，所以：n为电子密度所以绝对零度下金属自由电子费米能量(b)当温度变化 时，费米能如何变化?当温度 时, 有一半量子态被电子所占据的能级即是费密能级. 温度升高 , 费密面附近的电子从格波获取的能量就越大, 跃迁到费密面以外的电子就越多, 原来有一半量子态被电子所占据的能级上的电子就少于一半, 有一半量子态被电子所占据的能级必定降低. 也就是说, 温度升高, 费密能反而降低. (c)体心立方结构的金属钠,其点阵常数为a=0.428nm, 用自由电子模型计算其费米能.体心立方结构的金属钠电子密度n为：所以其费米能量为：六. (20分)铁为体心立方结构,从其(110)面反射的x射线布拉格角为22度, x射线的