高中数学选择性必修一 1. 空间向量基本定理（精讲）(含答案)

1、1.2 空间向量基本定理(精讲)思维导图常见考法考点一 基底的判断【例1】(2021河南)设,，且是空间的一个基底，给出下列向量组：，其中可以作为空间一个基底的向量组有( )A1个B2个C3个D4个【答案】C【解析】如图所示，令，则，.由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量也不共面，同理和也不共面，而共面，故选：C.【一隅三反】1(2021上海)设向量是空间一个基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的向量是( )ABCD或【答案】C【解析】由题意和空间向量的共面定理，结合，得与是共面向量，同理与是共面向量，所以与不能与构成空间的一个基底；又与和不共面，所以与构成空间的一个基底故选：C

2、2(2021全国高二课时练习)以下四个命题中正确的是( )A基底中可以有零向量B空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底CABC为直角三角形的充要条件是D空间向量的基底只能有一组【答案】B【解析】因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；ABC为直角三角形并不一定是可能是也可能是,故C不正确；空间基底可以有无数多组，故D不正确.故选：B3(2021陕西渭南市)若、为空间的一个基底，则下列选项中，能构成基底的是( )A，B， C， D，【答案】C【解析】A中，不可为基底；B中，不可为基底；D中，不可为基底，故选：C考点二 用基底表示向量【例2】(1)(2021江苏盐城市)在三棱锥

3、中，若，则( )ABCD(2)(2021福建漳州市)已知三棱锥中，点为棱的中点，点为的重心，设，则向量( )ABCD(3)(2021湖北十堰市)如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则( )A BC D【答案】(1)C(2)A(3)B【解析】(1)由题意是中点，又，则，若，则故选：C(2)连接并延长交于点，连接，则为的中点，且，为的中点，.故选：A.(3)如图，记点E为BC的中点，连接AE，OE，所以，又G是的重心，则，所以.因为，所以.【一隅三反】1(2021山东淄博市高二期末)如图所示，在正方体中，点是侧面的中心，若，求( )A1BC2D【答案】C【解析】，故，则故选：C.

4、2(2021安徽池州市)已知空间任意一点和不共线的三点A，B，C，若，则“A，B，C，D四点共面”是“，”的( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，空间中四点A，B，C，D，若若A，B，C，D四点共面，根据空间向量的共面定量，只需，又由，可得，所以“，”时，A，B，C，D四点共面，即必要性成立，反之不一定成立，即充分性不成立，所以“A，B，C，D四点共面”是“，”的必要不充分条件.故选：A.3(2020山东济宁市)在空间四边形中，且，则( )ABCD【答案】C【解析】.故选：C.4(2021广东广州市高二期末)(多选)在空间四边形中，分别

5、是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是( )ABCD【答案】ABD【解析】分别是的中点，故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选：ABD.考点三 空间向量在几何中运用【例3-1】(2021常德市)三棱柱中，分别是，上的点，且，.若，则的长为_.【答案】【解析】如图设，所以，因为,所以，故答案为：【例3-2】(2021浙江高二单元测试)如图，在空间四边形中，则与所成角的余弦值为( )ABCD【答案】A【解析】设异面直线与的夹角为则故选A【例3-3】(2021全国高二课时练习)如图，已知正方体，和相交于点O，连接AO，求证【答案】证明见解析.【解析】因为正方体，所以，平面，又

6、因为平面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以.【一隅三反】1(2021陕西)如图，在平行六面体中，求与所成角的余弦值【答案】0【解析】取基底，,所以.设与的夹角为，则，所以与所成角的余弦值为0.2(2021山西)已知四面体OABC，求证：【答案】证明见解析.【解析】因为,所以,因为，所以，所以，即.3(2021广西)如图，在直三棱柱中，分别为，的中点.(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】设，根据题意得，且，.，即.(2)，.异面直线与所成角的余弦值为.4.(2021云南)如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若， (1)用表示；(2)求对角线的长；(3)求【答案】(1)；(2)；(3).【解析】(1)连接，如