北师大版九年级第一章 特殊平行四边形 全章热门考点整合应用

1、全章热门考点整合应用名师点金：本章内容是中考的必考内容，主要考查与特殊平行四边形中菱形、矩形、正方形有关的计算和证明等问题近几年又出现了许多与特殊平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题其主要考点可概括为：一个定理、三个图形、三个判定与性质、四个技巧、两种思想一个定理直角三角形斜边上的中线定理eqoac(,1)如图，在ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高求证：(1)四边形ADEF是平行四边形；(2)DHFDEF.(第1题)三个图形图形1菱形eqoac(,2)如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EFAB，交B

2、C于点F.(1)求证：四边形DBFE是平行四边形(2)当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？并说明理由(第2题)1图形2矩形3如图，在ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.(1)求证：AOECOF.(2)连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？请说明理由(第3题)图形3正方形4如图，在eqoac(,Rt)ABC中，ABC90，先把ABC绕点B顺时针旋转90后得DBE，再把ABC沿射线AB平移至FEG，DE，FG相交于点H.(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CB

3、EG是正方形(第4题)2三个判定与性质判定与性质1菱形eqoac(,5)如图，在ABC中，BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AEAC，EFBC交AD于点F.求证：四边形CDEF是菱形(第5题)判定与性质2矩形6【2015湘西州】如图，在ABCD中，DEAB，BFCD，垂足分别为E，F.求证：(1)ADECBF；(2)四边形DEBF为矩形(第6题)3判定与性质3正方形7如图，E为正方形ABCD的边AB的延长线上一点，DE交AC于点F，交BC于点G，H为GE的中点求证：FBBH.(第7题)四个技巧技巧1解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法】8如图，在矩形ABCD中，AB10，B

4、C5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长(第8题)4技巧2解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法】9如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形ABCO的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形ABCO绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由(第9题)技巧3解与四边形有关的动点问题的技巧(固定位置法】10如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OEAB于E，OFAD于F.(1)求对角线AC的长

5、及菱形ABCD的面积(2)如图，当点O在对角线BD上运动时，OEOF的值是否发生变化？请说明理由(3)如图，当点O在对角线BD的延长线上时，OEOF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系(第10题)5技巧4解中点四边形的技巧11如图，在ABC中，ABAC，点Oeqoac(,在)ABC的内部，BOC90，OBOC，D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点(1)求证：四边形DEFG是矩形；(2)若DE2，EF3eqoac(,，求)ABC的面积(第11题)两种思想思想1转化思想12如图，在四边形ABCD中，C90，ABDCBD，ABCB，P是BD上一点，

6、PEBC，PFCD，垂足分别为点E，F.求证：PAEF.(第12题)62，2.思想2数形结合思想13阅读在平面直角坐标系中，以任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为端点的线段的中点坐标为x1x2y1y2运用(1)如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON，OF分别在x轴和y轴上，O为坐标原点，点E的坐标为(4，3)，则点M的坐标为_(2)在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，1)，C(1，4)三点，另有一点D与点A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标(第13题)7DHABAD.同理可得HFACAF，BDAB.DEBC.参考答案1证明：(1)点D，E分别是AB，BC的中点，DE

7、AC.同理可得EFAB.四边形ADEF是平行四边形(2)由(1)知四边形ADEF是平行四边形，DAFDEF.在eqoac(,Rt)AHB中，D是AB的中点，12DAHDHA.12FAHFHA.DAHFAHDHAFHA.DAFDHF.DHFDEF.2(1)证明：D，E分别是AB，AC的中点，DEeqoac(,是)ABC的中位线DEBC.又EFAB，四边形DBFE是平行四边形(2)解：答案不唯一，下列解法供参考当ABBC时，四边形DBFE是菱形理由：D是AB的中点，12DEeqoac(,是)ABC的中位线，12又ABBC，BDDE.又四边形DBFE是平行四边形，四边形DBFE是菱形3(1)证明：四

8、边形ABCD是平行四边形，OAOC，ABCD.AEOCFO.又AOECOF，8AOECOF(AAS)(2)解：当ACEF时，四边形AECF是矩形理由如下：由(1)知AOECOF，OEOF.又AOCO，四边形AECF是平行四边形又ACEF，四边形AECF是矩形4(1)解：DEFG.理由如下：由题意，得ABDEGFE，ABCDBE90，BDEBED90.GFEBED90.FHE90，即DEFG.(2)证明：ABC沿射线AB平移至FEG，CBGE，CBGE.四边形CBEG是平行四边形GEFABC90，四边形CBEG是矩形BCBE，四边形CBEG是正方形(第5题)5证明：如图，连接CE，交AD于点O.

9、ACAE，ACE为等腰三角形AO平分CAE，AOCE，且OCOE.EFCD，21.又DOCFOE，DOCFOE(ASA)ODOF.即CE与DF互相垂直且平分四边形CDEF是菱形9HBHGGE.9解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.6证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，AC，ADCB.又DEAB，BFCD，DEABFC90.ADECBF.(2)ADECBF，AECF.CDAB，DFBE.又CDAB，四边形DEBF为平行四边形又DEB90，四边形DEBF为矩形7证明：四边形ABCD是正方形，CDCB，DCFBCF45，DCAE，CBE90，CDFE.又CFeqoac(,CF)，DCF

10、BCF.CDFCBF.CBFE.H为GE的中点，12HGBHBG.CDGCGD90，CGDHGBHBG，FBGHBG90.即FBH90，FBBH.8解：在矩形ABCD中，AB10，BC5，CDAB10，ADBC5.又将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得A1EAE，A1D1AD，D1FDF.设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为(A1EEMMD1A1D1)(MBMFFCCB)AEEMMD1ADMBMFFCCB(AEEMMB)(MD1MFFC)ADCBAB(FD1FC)10AB(FDFC)1010101030.14理由如下：

11、四边形ABCD是正方形，OBOC，OBEOCF45，BOC90.四边形ABCO是正方形，10两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.10解：(1)在菱形ABCD中，AGCG，ACBD，BGBD168，所以菱形ABCD的面积ACBD121696.所以BDAGABOEADOF.即16610OE10OF.所以BDAGABOEADOF.即16610OE10OF.EOF90.EOFBOC.EOFBOFBOCBOF.即BOECOF.BOECOF.eqoac(,S)BOEeqoac(,S)COF.两个正方形重叠部分的面积等于SBOC.S正方形ABCD111，11eqoac(,S)BOC4S正方形ABCD4

12、.141122由勾股定理得AGAB2BG2102826，所以AC2AG2612.1122(2)不发生变化理由如下：如图，连接AO，则eqoac(,S)ABDeqoac(,S)ABOeqoac(,S)AOD，111222111222解得OEOF9.6，是定值，不变(3)发生变化如图，连接AO，则eqoac(,S)ABDeqoac(,S)ABOeqoac(,S)AOD，111222111222解得OEOF9.6，是定值，不变所以OEOF的值发生变化，OE，OF之间的数量关系为OEOF9.6.(第10题)1111(1)证明：如图，连接AO并延长交BC于H，ABAC，OBOC，AH是BC的中垂线，即A

13、HBC于H.D，E，F，G分别是AB，OB，OC，AC的中点，OHBC3.(第11题)DGEFBC，DEAHGF.四边形DEFG是平行四边形EFBC，AHBC，AHEF.又DEAH，EFDE，四边形DEFG是矩形(2)解：D，E，F分别是AB，OB，OC的中点AO2DE4，BC2EF6.BOC是等腰直角三角形，12AHOAOH437.1eqoac(,S)ABC26721.(第12题)12证明：如图，连接PC.PEBC，PFCD，ECF90.PECPFCECF90.四边形PECF是矩形PCEF.eqoac(,在)ABPeqoac(,和)CBP中，12131x214y311x142y113x241yABCB，ABPCBP，BPBP，ABPCBP(SAS)PAPC.PAEF.点拨：本题运用了转化思想将四边形中的边转化到三角形中，通过用等式的传递性证明两条线段相等13解：(1)(2，1.5)(2)设点D的坐标为(x，y)若以点A