高中数学选择性必修一 1.4 空间向量的应用（精讲）(含答案)

1、1.4 空间向量的应用(精讲)思维导图常见考法考点一 求平面的法向量【例1】(2021全国高二课时练习)已知平面经过三点A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)，求平面的一个法向量【答案】(2，1，0) (答案不唯一)【解析】因为A(1，2，3)，B(2，0，1)，C(3，2，0)，所以(1，2，4)，(2，4，3)设平面的法向量为，则有，即得z0，x2y，令y1，则x2，所以平面的一个法向量为(2，1，0)故答案为：(答案不唯一)【一隅三反】1(2021福建)四边形是直角梯形，平面，.在如图所示的坐标系中，分别求平面和平面的一个法向量【答案】答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向

2、量即为该面的法向量).【解析】，设平面的法向量，则，令，解得：，即平面的一个法向量为；平面轴，即为平面的一个法向量.2(2021山东)正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、 A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量【答案】(1)；(2).【解析】设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则，(1)设平面BDD1B1的一个法向量为，则，即，令，则，平面BDD1B1的一个法向量为；(2)，设平面BDEF的一个法向量为，令，得，平面BDEF的一个法向量为.考点二 利用空间向量证空间位置【例2-1】(20

3、21浙江湖州市高二期末)在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则( )ABC或Dl与斜交【答案】C【解析】直线l的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或，故选：C.【例2-2】(2021四川省内江市第六中学高二月考(理)如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点，.求证：(1)平面；(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则、，所以、，.(1)因为，所以，即.又平面，平面，所以平面;(2)因为，所以，同理可得，即，.又，所以平面.平面，所以平面平面

4、.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)下列命题中，正确命题的个数为( )若分别是平面，的法向量，则；若分别是平面，的法向量，则 ；若是平面的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面平行，则；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直A1B2C3D4【答案】C【解析】中平面，可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知正确故选：C2(2021福建)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是B1B，DC的中点，求证：AE平面A1D1F.【答案】证明见解析【解析】如图所示，以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则,所以,由，可得，即，又由，平面,所以平面.3

5、.(2021广东肇庆)如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB.求证：平面BCE平面CDE.【答案】证明见解析【解析】设ADDE2AB2a，以A为原点，分别以AC，AB所在直线为x轴，z轴，以过点A在平面内垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，C(2a，0，0)，B(0，0，a)，D(a，a，0)，E(a，a，2a)所以(a，a，a)，(2a，0，a)，(a，a，0)，(0，0，2a)设平面BCE的法向量为(x1，y1，z1)，由0，0可得即令z12，可得(1，2)设平面CDE的法向量为(x2，y2，z2)，由0，

6、0可得即令y21，可得(，1，0)因为11()200.所以，所以平面BCE平面CDE.4(2021云南)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，ADCD，ABCD，ABAD2，CD4，M为CE的中点(1)求证：BM平面ADEF；(2)求证：BC平面BDE；(3)证明：平面BCE平面BDE.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】证明平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，ADED，ED平面ADEF，ED平面ABCD.以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系则D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，

7、2，0)，C(0，4，0)，E(0，0，2)，F(2，0，2)(1)M为EC的中点，M(0，2，1)，则，故共面又BM平面ADEF，BM平面ADEF.(2)，BCDB.又，BCDE.又DEDBD，DB，DE平面BDE，BC平面BDE.(3)证明由(2)知BC平面BDE，又BC平面BCE，平面BCE平面BDE.考点三 利用空间向量求空间角【例3】(2021浙江)如图，在四棱锥中，平面，分别为线段，的中点()求异面直线与所成角的余弦值；()求直线与平面所成角的正弦值【答案】()()【解析】以为原点，分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则, (),，异面直线与所成角的余弦值为.()设平面的法向量为

8、，直线与平面所成角为，则，即，令，可得，即直线与平面所成角的正弦值【一隅三反 】1(2021浙江)如图，在三棱锥中，已知，平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为( )ABCD【答案】A【解析】取的中点为，连接因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面所以平面因为，所以如图建立空间直角坐标系，则所以所以异面直线与所成角的余弦值为故选：A2(2021天津高三二模)如图，在三棱柱中，平面，侧棱，是的中点(1)求证：；(2)求直线与所成角的余弦值；(3)求二面角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)【解析】(1)证明：依题意，以点C为坐标原点，分别以，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标

9、系则，所以，所以，所以，即(2)解：由(1)，得，所以，所以即所求直线与所成角的余弦值为(3)解：依题意及(1)，得设平面的法向量为，则即令，得，所以由(1)及题意知，平面，所以平面的法向量是所以，所以设二面角的平面角为，由于，所以，故所求二面角的正弦值为3(2021新安县第一高级中学)已知正三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足(如图1)，将沿折起到的位置(如图2)，且使与底面成角，连接，(1)求证：平面平面；(2)求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)折叠前，在图1中，由余弦定理可得，所以，则，折叠后，在图2中，对应地有，平面，平面，因此，平面平面；(2)过点

10、在平面内作，垂足为点，平面平面，平面平面，平面，平面，与平面所成的角为，因为平面，以点为坐标原点，、所在的直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，设平面的法向量为，由，取，则，易知平面的一个法向量为，由图可知，二面角为锐角，它的余弦值为.考点四 利用空间向量求空间距离【例4】(2021全国高二课时练习)长方体中，是的中点，在线段上，且，是的中点，求：(1)到直线的距离；(2)到平面的距离【答案】(1)；(2).【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，(1)，在上的射影的模为，到直线的距离为；(2)设平面的法向量，则，令，解得：，又，到平面的距离.【一隅三反】1(2021河北)如图，在

11、棱长为2的正方体中， 为的中点，点在线段上点到直线 的距离的最小值为 _ 【答案】【解析】点到直线的距离的最小值就是异面直线与的距离.以点为原点，分别以的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，则，设，则，取，则，即，又，则异面直线与的距离.故答案为：.2(2020邵东市第一中学高三月考)在棱长为的正方体中，点是线段上的动点，则点到直线距离的最小值为_【答案】【解析】以为坐标原点， 所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图：，点点到直线距离的最小值为两异面直线和间的距离，设他们的公垂线所在的向量为，由，令，则，所以，则两异面直线和间的距离为： 故答案为：3(2021周至县第二中学高二期末(理)

12、如图，正方体，棱长为，为的中点；(1)求证：；(2)求证：平面；(3)求点到平面的距离；【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】(1)以为坐标原点，分别以、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，则，因为，所以，所以.(2)，因为，所以，又因为，且，所以平面；(3)，设平面的一个法向量为，则，即，设，则，则，设点到平面的距离为，则；4(2021上海高三二模)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BABC，BABCBB12(1)求异面直线AB1与A1C1所成角的大小；(2)若M是棱BC的中点求点M到平面A1B1C的距离【答案】(1)；(2).【解析】(1)由于A1C1AC，所以C

13、AB1(或其补角)即为异面直线AB1与A1C1所成角，连接CB1，在AB1C中，由于，所以AB1C是等边三角形，所以，所以异面直线AB1与A1C1所成角的大小为 (2)解法一：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为C(0，0，2)、B1(0，2，0)、A1(2，2，0)、M(0，0，1)设平面A1B1C的法向量为，则，且，取v1，得平面A1B1C的一个法向量为， 且，又，于是点M到平面A1B1C的距离所以，点M到平面A1B1C的距离等于 解法二：过点M作MNCB1交CB1于N，由MN平面A1B1C在RtCMN中，由，CM1，得，所以，点M到平面A1B1C的距离等于考点五 求参数【例5

14、】(2021全国高二单元测试)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14.(1)求证：ACBC1；(2)在AB上是否存在点D，使得AC1CD?(3)在AB上是否存在点D，使得AC1/平面CDB1?【答案】(1)证明见解析；(2)存在；(3)存在.【解析】直三棱柱ABCA1B1C1，AC3，BC4，AB5，则AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).(1)证明：(3,0,0)，(0，4，4)，0，ACBC1

15、.(2)假设在AB上存在点D，使得AC1CD，则(3，4，0)，其中01，则D(33，4，0)，于是(33，4，0)，由于，且AC1CD，所以990，得1，所以在AB上存在点D，使得AC1CD，且这时点D与点B重合.(3)假设在AB上存在点D，使得AC1/平面CDB1，则(3，4，0)，其中01，则D(33，4，0)，(33，44，4).又(0，4，4)，(3,0,4)，AC1/平面CDB1，所以存在实数m，n，使成立.m(33)3，m(44)4n0，4m4n4.所以，所以在AB上存在点D使得AC1/平面CDB1，且D是AB的中点.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)在多面体中，正方形和

16、矩形互相垂直，、分别是和的中点，(1)求证：平面(2)在边所在的直线上存在一点，使得平面，求的长；【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)因为四边形为矩形，则，因为平面平面，平面平面，平面，所以，平面；(2)因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，则、，设点，设平面的法向量为，由，令，可得，要使得平面，则，所以，解得，则，此时，.2(2021山西)如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，DAB45，四边形CDEF为直角梯形，EFDC，EDCD，AB3EF3，EDa，AD(1)求证：ADBF；(2)若线段CF上存在一点M，满足AE平面BDM，求的值；【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)面CDEF面ABCD，EDCD，面，面面，ED面ABCD，面，即，过作于，过作交于，CDEF为直角梯形，AB3EF3，即，则，且，得，即，而，即面，又面，故.(2)以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：，若，则，设，则，设平面BDM的法向量为，则，取x12，则，若AE平面BDM，则，解得，线段CF上存在一点M，满足AE平面BDM，