山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第23章角元形式的梅涅劳斯定理

1、=-1.第23章角元形式的梅涅劳斯定理AB所在直线（包括三第一角元形式的梅涅劳斯定理设A、B、C分别是ABC的三边BC、CA、边的延长线）上的点，则A、B、C共线的充要条件是sinZBAAsin厶ACCsinZCBBsinZAACsinZCCBsinZBBABASAB-sinZBAA证明如图23-1，由=ABA=ACSAC-sinZAACAAC图23-1CBBC-sinZCBB及=BAAB-sinZBBAAC=ACsinZACCCB一BCsinZCCB这三式相乘，运用梅涅劳斯定理及其逆定理，知结论成立AB所在直线上的点,第二角元形式的梅涅劳斯定理设A、B、C分别是ABC的三边BC、CA、点O不

2、在ABC三边所在直线上，则A、B、C三点共线的充要条件是sinZBOAsinZCOBsinZAOCsinZAOCsinZBOAsinZCOB证明如图23-2注意到sinZBOAsinZAOCOCBASBAnisZCB其中BOA），OBACSACnisZBAAOCOACBsinZAOCOBACOCBAsinZCOBOACB所以gAsn仝竺sinZAOCsinZBOAsinZCOBBACBACACBACB而由梅涅劳斯定理及逆定理知A、B、C共线-ACCACB=1故知结论成立注：在上述两定理中，若采用有向角（规定角的终边绕逆时针方向时角为正值，否则为负值）时，两条件式的右端均为-1，有向角记为.下面

3、给出运用如上定理处理问题的例子例1如图23-3，设ABC的三边BC、CA、AB所在的直线图23-3上的点D、E、F共线，并且直线AD、BE、CF关于ZA、ZB、ZC平分线的对称直线AD、BE、CF分别与BC、CA、AB所在直线交于D、E、F，则D、E、F也共线.证明对ABC及截线FED应用第一角元形式的梅涅劳斯定理，有sinZBADsinZCBEsinZACFsinZDACsinZEBAsinZFCB由题设知，ZCAD=ZBAD，ZDAB=ZDACZEBC=ZEBA.sinZCADsinZABEsinZBCF从而有=1，sinZDABsinZEBCsinZFCAZBCF=ZACF，ZFCA=Z

4、FCB，ZABE=ZCBE，sinZBADsinZCBEsinZACF1-=1.sinZDACsinZEBAsinZFCB故有沁型DsinDACsinCBEsinAZFsinEBAsinFCB图23-4cos1ZA2cos1ZB2cos2ZC-cos1ZA2-cos丄ZB2由第一角元形式的梅涅劳斯定理知，D、E、F三点共线.例2若三角形的三条外角平分线皆与对边所在直线相交，则三交点共线.证明如图23-4，设ABC的三条外角平分线分别与对边所在直线相交于D、E、F，则知1(1)1(1)BAD=90。+ZA,DAC=-,CBE=90。+ZB,EBA=-2I2丿2I2丿ACF=-90。一1Zc,FC

5、B=90。+1ZC.2丿2故D、E、F三点共线.例3分别过三角形的三顶点作其外接圆的切线，证明：若三切线皆与其对边所在直线相交，则三交点共线图23-5证明设过AABC的三顶点A、B、C的切线与对边BC、CA、AB所在直线分别交于D、E、F.则弦切角定理口BA=D厶口DAC=ZC+ZA=180O-ZB,口CBE=-ZA,口EBA=ZA+ZB=180ZC,口ACF=ZC+ZA=180ZB,口FCB=-ZA.故有sinBADsinCBEsinACFsinDACsinEBAsinFCB-sinC-sinAsinB=-=-1.sinBsinC-sinA故D、F、E三点共线.例4在筝形ABCD中，AB=A

6、D,BC=CD，过BD上一点P作一条直线分别交AD、BC于E、F,再过点P作一条直线分别交AB、CD于G、H.设GF与EH分别交BD于I,J.求证：旦=巴.PBPD证明如图23-6,过B作AD的平行线交直线EF于E，再过B作CD的平行线交直线GH于H，则ZEBP=ZEDP=ZPBG，ZHBP=ZHDP=ZPBF，进而ZHBG=ZHBP=ZGBP=ZPBF-ZPBE=ZEBF，所以sinZPBHsinZGBIsinZFBEsinZHBGsinZIBFsinZEBP=sinZFBPsinZGBPsinZFBEsinZEBFsinZPBFsinZPBG使H、I、E分别为APGF三边所在直线上的点，且

7、点B不在APGF三边所在直线上，由第二角元形式的梅涅劳斯定理，即知H、I、E三点共线.于是，由PBEPDE，PHBPHD，有EHEH.因此，PI=PEPBPJ_PE_PD故旦=PBPJPD注：当PB=PD即P为BD中点时为1989年的冬令营选拔赛题.例5设厶ABC为非直角三角形，AD、BE、CF为三边上的高，D、E、F为垂足，过ABC的垂心H分别作边BC，CA，AB的平行线与直线EF、FD、DE对应相交于P、Q、R求证：P、Q、R三点共线证明如图23-7，有口EHP=口HB,C口PHF=口HCB，FHQ=BCA，QHD=HAC，DHR=HAB，RHE=HBA.从而PsinEHPsinFHQsi

8、nDHRsinPHFsinQHDsinRHEsinHBCsinHCAsinHABsinHCBsinHACsinHBAsinHBCsinHCAsinHABsinBCHsinCAHsinABHHCHAHB1HBHCHA因厶ABC为非直角三角形，点H不在ABC三边上，故由第二角元形式的梅涅劳斯定理知P、R、Q三点共线.例6设E、F分别为四边形ABCD的边BC、CD上的点，BF与DE交于点P.求证：ZBAE=ZFAD，则ZBAP=ZCAD.证明只需证明：当AF关于ABAD的等角线交BE于P时，B、P、F共线即可，如图23-8所示.图23-8事实上，B、P、F分别为ACDE三边所在直线上的三点，A不在其

9、三边所在直线上，而FAD_-EAB，DAP-BAC，PAE-CAF.sinEABsinCAFDAP.故_-1.sinBACsinFADsinPAE故由第二角元形式的梅涅劳斯定理，知B、P、F三点共线.注：注AC平分ABAD时，即为1999年全国高中联赛题.例7设P为厶ABC所在平面上一点，过点P作PA的垂线交直线BC于D，作PB的垂线交直线CA于E，作PC的垂线交AB于F.求证：D、E、F共线.C证明当点P在厶ABC的某边所在直线上时，结论显然成立.下设点P不在ABC的边所在直线上，贝yBPD=90。-口APB，口DPC=90。-口CPA，口CPE=90。口BPC，口EPA=90。口APB，口

10、APF=90。口CPA，口FPB=90。口BPC.sinBPDsinCPEsinAPF是,sinDPCsinEPAsinFPBcosAPBcosBPCcosCPAcosCPAcosAPBcosBPC故由第二角元形式的梅涅劳斯定理，知D、F、E三点共线.练习题二十三0四边形ABCD的对角线交于O，在直线AC上取一点E，设DE交AB于F，FO交CD于G，BG交CO于H，BE交AD于I，DH交BC于J,证明：I、O、J三点共线.设ABC与厶ABC的对应顶点的连线交于一点O,D、E、F分别为ABC的三边所在直线上的点，直线OD、OE、OF分别交ABC的三边BC，CA，AB所在直线于D、E、F.求证:D

11、、E、F三点共线的充分必要条件是D、E、F三点共线.D设P为厶ABC所在平面上一点，D、E、F分别为ABC的三边BC、CA、AB所在直线上的三点，PD关于ZBPC的等角线交BC于D，PE关于ZCPA的等角线交CA于E，PF关于ZAPB的等角线交AB于F，则D、E、F三点共线的充分必要条件是D、E、F三点共线.萧振钢再谈Menelaus定理的第二角元形式J中学数学研究，2007(9)：16-18.EPAFC设AABC的外心为O,AOAB与AOCA的垂心分别为H、H，直线HH交BC于D，求证：1212AD丄BC设PABC的顶角A的外角平分线上一点，ABAC的两条等角线分别交直线PB、PC于E、F,EF与BC交于D，则AD平分ZBAC.圆内三弦AD、BE、CF交于一点O、P为圆周上一点，直线PD、PE、PF分别交直线BC、CA,AB于L、M、N，求证：O、L、M、N四点共线.L7.（