平行与垂直第一讲

1、平行与垂直 第一讲嘉宾单位职称王尚志首都师范大学教授张思明北大附中特级教师宋其云陈经纶中学高级教师李大永首都师范大学附中高级教师张思明：各位老师大家好，欢迎大家继续参加高中数学新课程远程培训，我们这一讲的主要内容是立体几何中平行或垂直的判定和性质，首先介绍一下参加我们这节课讨论的几位到场嘉宾，最右边那位是大家最熟悉的首都师范大学博士生导师王尚志教授，挨着王老师坐的是北京陈经纶中学宋其云老师，我身边这位是首都师范大学附中的李大永老师，欢迎三位老师参加我们的讨论。我们还是先请王老师帮我们分析一下，在立体几何定理、性质，判定这么多内容里面，我们把判定和性质的课作为我们选择的一个内容，为什么要这样考虑

2、？王尚志：我们选择这个作为课例的考虑是这样的，因为在课程标准里面关于直线、平面、点的位置关系里面有两种位置关系，一种是平行，一种是垂直，而在平行和垂直里又有两部分的任务，一部分是性质定理，一部分是判定定理，按照课标的要求，判定的定理是不要求证明的，但是要求学生能够了解、理解这些判定定理，并学会用这些东西去处理一些简单的问题。 现在的一个关键的问题就是如何讲授线面或者线线垂直和平行的判定性质，这件事情和我们原来的处理有点不同，因此在不要求证明的前提下，如何帮助学生能够了解、理解和掌握判定定理去处理一些问题。我想这件事情是有一定挑战性的，我们老师常常容易感觉:如果不证,我们怎么讲？我们想核心问题就

3、在这，那么我们怎么样在不证明的前提下如何帮助学生更好的了解、理解和掌握线线、线面、面面垂直和平行的判定定理，我想这是我们设置这样一个题目的一个初衷。张思明：王老师对我们这个课的想法做了一些分析，下面我们一起来看宋其云老师给我们做的课堂实录，这节课是宋老师在陈经纶中学讲授的线面、面面平行的这样的一节课，我们一起来看一下。 好，刚才看了宋老师给我们带来了一个非常清晰的课堂实录，当然时间关系这只是一个片断，下面我们还看一个短片，是针对这节课陈经纶中学数学教研组的一个小型的研讨，这个研讨活动的主题就是对宋老师这节课进行了分析和点评。 好，我们看到的也是一个片段，组里讨论的时间很挺长，我们就取了一部分，

4、我们想问一问宋老师这节课给你带来的一种感觉，跟以前你教这节课最感觉不同的地方，或者是最有心得的地方是什么？宋其云：这两个片段一个是直线和平面平行的判定，还有一个是平面和平面平行的判定，跟以前比较，比较大的变化就是对这两个判定定理不要求证明，教材这么安排主要的思想，我理解是为了减轻几何论证的难度，降低立体几何学习的门槛，提高学生的学习兴趣。同时，强调一下教材编写的目的就是发展学生的空间观念，如果是强调几何论证的同时，可能削弱学生对空间想象能力的一种培养，因为他的证明过程可能有点喧宾夺主的嫌疑，所以，我在设计这节课的时候，还是主要想怎么样选择一个适当的数学模型，能够帮助学生理解抽象的概念，为他提供

5、一个有利的支撑。这是第一个想法。 第二个想法是：怎么设计学生的活动，能够充分调动学生的各种器官，让他参与到整个教学过程中，使他对几何直观能力的培养有一个比较好的支撑，这是我大概的想法。张思明：宋老师的课上也充分表现了这样的想法，与此类似的我们还给大家提供了一个非常短的课堂实录的片段，是由北京五中熊丹老师做的，她是在课堂上用操作试验的办法让学生理解线面垂直的判定定理，我们一起来看这个过程。 好，我们看完了这两段录像，我们也有了一个非常直观的认识，我们特别想听听到场的两位嘉宾老师的看法，为什么您觉得在立体几何判定和性质课程设计中，为什么老师们要努力朝着这个目前方向安排，帮我们说说您的看法。李大永：

6、因为在时间上来讲，同样一堂课45分钟，过去是把证明花了很长的时间，而且学生在理解上难度比较大，可能就冲淡了他对判定定理本身的理解，我们学立体几何主要是三种语言熟练自如的转化，那么这个时间在课堂上腾出来以后，一个是作为这方面的训练，另外一个定理内容，将来作为立体几何的一个推理，我们是需要学生脑子里呈现出一种图形，而这个图形对定理内容反映是一个图式语言，一个平面，一条线，这个时候图式会有多种角度，多种方位，这时候会多加一些时间，让学生留下一些更深的印象。因为他学生本身形成这种图形的认识是需要一定时间的。过去很短暂就过渡到一个定理证明，这样就弱化了他对空间的认识和理解，我是这么来理解的！王尚志：我觉

7、得可能老师还有一些不同的意见，这些大家都可以讨论。我们常常说学生是可以理解的，可能我们说这件事情的时候主要是指好学生，最优秀的学生，我想他们完全可能掌握和理解这个证明，包括判定定理的证明，我想我们也不否认这个事情，并且我们也不是说如果学生希望用综合几何的办法去证明，我们要拦着他，我们也没有这个意思，但是我们现在的处理方式是定位在所有的学生。希望我们所有的学生能够更好的掌握和理解判定定理本身，能够运用它去处理这个问题，去处理某些简单的几何问题，所以我们要把主要的精力在所有的学生这下工夫，让他们掌握和理解它。我们也不是说对好学生就限制他的思维，更希望他能够把思路想的更清楚一点，更直观一点，至于严格

8、的表述可以在课下让个别好一点的学生去完成，我觉得这个是并没有矛盾的。 所以，希望我们老师在通过图形、模型、空间的想象让学生比较自然的感受到判定定理的意义、本质，在这个方面要下一些工夫，这并不是很容易就能做到的，从刚才的例子里看，我们老师花了很大的功夫，做了很多的思考来帮助学生理解这件事情，实际上他们把问题证明的本质已经展现出来了，只是不需要学生用形式的语言去表达它，因为这对所有的学生来说是有一定的困难的。 到了我们将来在讲到空间向量与立体几何的时候，我们用向量几何的思想和语言，很容易就把这个严格的证明表达的比较清楚了。比如，垂直于两个不共线的直线，就能垂直这个平面，将来我们会用更本质的东西，两

9、个代表的意思是什么？代表的是基，任何一个都可以用基来表示，垂直于基就垂直于任何一条直线，我想它会帮助学生从更本质的角度来理解这些问题，所以我想这件事情我们要有所侧重，要突出重点，这是我们的一个建议。张思明：在几位老师的课堂里面，老师们也提出了这个问题，既然把证明撤掉或者是放在别的地方去做，那么怎么来落实语言转化，我们看到老师设计了很多的活动，我是想在你们设计活动中包括李老师，介绍一下通过你们设计的活动，通过学生的参与，最后表现出来在什么地方提高了他们对定理的认识，提高了他们语言转化的能力，你们有什么样的设计和考虑吗？李大永：本身活动就是要让学生动手操作起来，包括线面垂直，垂直于这两条线让学生找

10、出来的话，就是在活动中让学生概括出判定定理，就是满足什么样的条件就可以使这条直线垂直这个面，比如一支笔放在桌面上，怎么保证垂直？他是不是垂直有无数条线是可以的，如果把这个问题抛给学生，学生一开始未必一下子就说出来，有很多种说法，比如：有无数条，或者是一些不准备的语言，我想首先规范到定理的严格语言上来。 再有，让他用我们已经有的符号语言写到黑板上去，再有一个符号语言去写叫两个，三个学生去写，然后让大家去比较，哪个更完整更准备，包括线面垂直的图用什么方式去体现有更好地直观性。我们最常见的是这种摆放，能不能启发让学生画多种位置，比如侧着的、斜着的，这个时候他要求把这个线跟平行四边形总保持垂直的感觉，

11、才能体会出这种线面垂直。这样，一黑板就展现出各种各样的图形，让学生本身就建立一个避免单一图形的认识，对他以后解决的问题会有好处的。王尚志：另外，我觉得老师还做了这么一件事情，虽然有各种各样的图形，最后把它都收到长方体来，用长方体这一个模型把诸多的现象抽象概括，最后他脑子里留下了这样一个判定定理，他的载体是一个长方体，各种反例都在这个长方体里体现出来，我觉得这也是我们老师的一个创作。李其云：我觉得数学学习不仅仅是一个模仿和记忆，更重要的是让学生亲自参与到教学过程中，动手实验、独立思考、自主探究、合作交流都是一种数学学习的方式。如果让学生学会一种方式比单纯教给他一些知识和技能可能是更重要的，学习方法是很更重要的。所以我觉得设计活动的主要目的就是教会学生如何学习。另外，我觉得活动的设置可能要老师下功夫去想，怎么设置才能合适？ 第一，我觉得首先要符合学生的认知规律，刚才李老师讲了一些变式图形等等，都是为了更好地帮助他去理解数学的本质。第二，我觉得也要有一定的趣味性，要提高学生的