课程2005年天文学

1、初探水星的进动（041242031理科强化部）摘要：研究了水星的一些基本性质及其成因和它的研究前景，并利用积分和摄动法探讨了水星的进动情形。：广义相对论、摄动、水星的进动引言：，而离系中的九大行星是：水星、地球、火星、木星、土星、星、海、冥最近的就是水星。常见的陆地行星的基本参数作如下比较：（表 1）由表1可以看出水星的体积还是很小的，重力也比地球小很多。因为离很近，水星的白昼温度可以达到427度，高于铅的。而夜晚，降到零下173度，足以凝固氪。昼夜温差如此之大，其中一个重要原因就是水星的公转周期约88个地球日，自转约59个地球日，使得水星的一昼夜长达176个地球日。所以，一进入夜晚，水星表面

2、将连续几周处于中。（*知识介绍不错！*）1水星上是否有水一直是科学家们感的话题。宇宙飞船“水手十号”的探测结果 表明水星的表面类似于月球的表面，有许多陨石坑，这些坑内有可能存在水。但尚未得到确切的 1图1。2根据万有引力定律，水星若不受其他行星的作用，其运行的椭圆轨道应该是精确闭合的。但是，长期的天文观测表明，水星轨道的近日点并非是固定不动的，而是在运动平面内极其缓慢的移动，这是因为其他行星对水星有摄动的作用。这用的万有引力理论来解释是行不通的。直到二十世纪初，的广义相对论问世以后，水星近日点的旋进问题才得以的解释。并且水星轨道的旋进已成为验证广义相对论的三个著名实验之一。2按照力学的计算3，

3、水星进动角的数值应当是每一百年N 5557 62 0 20，此值也包括了由于地心坐标系的转动带来的影响。而观测值是：0 5600 73 0 41 ，二者之间的差为： 0 N 43 11 0 45 ,这个值虽然小，但却是力学无法克服的。如果用广义相对论来，则理论值与观测值惊人的符合。按照广义相对论，水星的实际受力为：GMm3GMJ 2F r 2mc2r 4（1） 的角动量，c为光速，（m和M分别是水星和的质量，J为水对G为引力常数）。（*有没有查上面公式是如何给出的吗，因为这是文章的出发点？*）下面，本文来用摄动法导出上述力作用下近日点一周的移动量 。将（1）代入Binet公式中，则有：错误！不

4、能通过编辑域代码创建对象。（*这一行很奇怪，何意？*）直径（千米）密度（ g / cm3 ）温度（K）重力（ cm / s2 ）水星4880547003701210053740890月球347633350162地球1275655290978火星679439220371d 2u 1u u2d 2（2）其中，J 2 3GM Gm2 M ，c2（3），这是关于u 的非线性方程，下面来尝试用叠代法近似求解。将 视为小量，从而略去 u2 项，由此得到u的一级近似解： 1 e cosu1（4），u1这是仅考 虑平方反 比作用而 得到的熟 知的结果 。代入（ 2 ）的右端 得11d 2u e2(1 2e c

5、os e cos ) 1 2e cos (1 cos 2 )u 22d 2 2 22（5）式（5）的特解为：e2e2u 1 e sin cos 2 226（6）因此第二个试探解为： e e2e21u2 u1 u (1 e cos ) sin lim (1 ) cos 2 26 222 x0（7）可以按照这种做法一直进行下去得到（2）的更高阶的解。（7）仅到二阶近似。其中第一项为常数，第二项是对Kepler运动的周期性的小扰动，因此，从长时间平均而言，他们都不会对近日点位置的变化产生影响。然而，在第一个方括号中，与 成正比的项随着时间的流逝回产生可以观察到的效应，令u 1 (1 e cos e

6、sin )lt（8）因为有：1 e cos( ) 1 e cos cos e sin sin 1 e cos e sin（9），上述结果基于 很小的事实。再将（9）代入（8）得：u 1 1 e cos( )lt（10）假定 的测量从近日点开始，那么当ult 中的余弦项的幅角增加到2 , 4 ,L时，行星便依次出现在近 2日点。但幅角增加2 要求即， 2 2 (1 ).1 （11）因此，由于（1）中相对论效应项的存在引起水星近日点在一周中的移动量 为： 2 将（3）代入（12），则有（12） 6 (GMm )2cJ（13a）又因为J 2 m2h2 m2GMa(1 e2 ) ，于是 可表示为：GM

7、 6ac2 (1 e2 )（13b）至此，近日点一周的移动量已经求出来了。将G 6 67 1011米3 / 千克秒2 , M 1 989 1030 千克,光速c 2 998 108 米/ 秒，水星轨道的半长轴a 5 786 1010 米和水星轨道的离心率e 0 2056 代入（13）中，计算得到： 5 022 107 弧度。由于水星角运动的周期为87.9695 022 107 4 1521100 360 3600 43角秒天，故一年(365.256天)转 4.1521圈。即一个世纪进动的角度为 3接下来，利用分析力学的原理通过积分来求解。2由（1）得对应的势能为：GmM GMJ 2GMJ 2G

8、mMU（r) rmc2r3 （14），这相当于在引力势V (r) V r 上加上扰动( ) ，对于引力势，V (r) rmc2 3 r对应的拱心角为：r max 2 r minJ / r2dr2m(E GmM )J2r2mr 2（ 15 ） 其中， rmax 与rmin 分 别 为 方 程GmMJ 2E 0r2mr 2u max 2 u minJdu2m(E GmMu J u )2m2 2 J 2J 22u GmM2m max2u GmM2m min2J 21 (arcsinarcsin)mJ 22mJ 22mJ 22m(GmM ) 4E2(GmM ) 4E2 2J 2GmM1E 0u 的两个

9、正根中的最小值与最大值。令 r ，则上式改写为：r2mr 2u maxJ 2 du2m(E GmMu J u )2 2 u min，对此式进行积分得；J 22mJ 2J 22u GmM2m max2u GmM2m minGmM (GmM )2 4E2J 2m1J 22m arcsin 2m(arcsin)uJ 22mJ 22mminJ 2m(GmM ) 4E2(GmM ) 4E2（16），上式中，J 2GmM (GmM ) 4E2 2mumaxJ 2m拱心角为 2，代入（16）中得（17）说明轨道是闭合的。r maxJ / r2 2 dr2Jr min2m(E U (r) )当有扰动时，拱心角

10、为2mr 2r max 2 r minJ / r2dr2J2m(E V (r) V (r) )2mr 2 r maxJ 2 2 J2m(E V (r) V (r) 2mr 2r min其中V (r) 可视为微扰，将上式展开为V (r) 的幂级数并保留到它的一阶项，得：r maxmJ 2 2 J2m(E V (r) V (r) 2mr 2V (r)drJ 2r min2m(E V (r) 2mr 2其中第一项为无微扰时的拱心角，由（17）式给出。对上式中的第二项沿无微扰的轨道积分，此时由系统在有心力场中运动时机械能守恒的表示式J 21E V (r) 2mr 2mr&22r max1于是， 2 J

11、2V (r) r& drr min2mr 21 2 J 2V (r) & d 2 J V (r)dJ0即将对 r 的积分变为对 的积分。所以旋进角为：02mr 2 2 J V (r)dJ0将V (r) 的表达式代入上式，有： 12m rd ) J (J0J 2 /(Gm2 M )p将无扰动时的运动方程 r 代入上式并积分得：1 e cos1 e cos2m3MG2m3MG (1 e cos )d ) J ( J ()J 3J 30 6 m3MGGmM 6 (2)J 4cJ这结果与（13a）相同（*以上推导过程比较细致*）4下面来看看未来的水星空间探测。“信使”号继“水手 10 号”之后，担任了

12、探索水星的光荣任务由于此次探索的是离最近的行星，为了防止的高温灼烤损伤探测器，能让“信使号顺利完成冰与火的70亿公里旅程，设计者为”信使号装备了6件!法宝隔热护盾、板和排热管。能翼由于水星距离比较近，“信使号在探索水星的过程中将经受115摄氏度的高温侵袭。令人惊叹的是，”信使号向阳一面有一层大约9:4、9:1米宽、2毫米厚的隔热片，多数仪器位于背阳一面，就像一个手持护盾的古罗马角斗士。研究用特殊工具把隔热陶片切割成小块，再用包有聚四氟乙烯绝缘材料的玻璃丝把一块块隔热片缝隔热护盾。除了独具特色的隔热盾，“信使号还有许多引人注目的特点。”信使号的两翼就像两面镜子，人们甚至可以对着它们梳妆打扮。两翼

13、由数千个小“镜子组成，其中三分之二的”镜子用于反射水星附近的强烈阳光，剩下的“镜子是防高温的能翼板，用于将阳光转化成电能。“信使号有许多和电子仪器相连的排热管，一直通到飞行器外表。排热管一般情况下都会打开，向外排放电子仪器工作中的热量。当”信使“飞到水星和之间的位置时，这些排热管将关闭，防止的热量侵入飞行器。为了更好地完成探测任务，除了三宝外，“信使号还携带了4种重要的高科技”武器，其中包括成像系统、测量地形用的激光测高仪、探测水星磁场用的磁强计、伽马射线和中子能谱仪、光分光计、高能粒子和等离子分光计、大气化学物质分光计。4 图2“信使”号将破译六大迷团4（1）水星密度为何如此之大呢？水星的体

14、积与 月球相似，而其密度则比月球大的多，仅比地球略低，在系类地行星中位居第二。而如果没有行星自身引力对的压缩作用，水星的密度将比地球更大。“信使”号携带的多种分光计能够测量水星表面的元素，有关结果有望于验证有关水星密度的各种理论。水星有过怎样的地质历史？“信使”号上的仪器可拍摄水星整个表面，并分析其表面岩（2）石的矿物和元素，科学家们希望能在此基础上确定塑造了水星表面的各种地质过程发生的顺序。水星内核结构如何？现今的水星磁场是该 行星早期原始磁场的残余物，还是说水星内核并非完全是固体从而导致了磁场的形成？“信使”号对水星内核结构的研究，将有助于更好解释地球这样的类地行星如何 产生磁场。水星磁场

15、有何特性？“水手10”号曾发生水（3）（4）星磁场会随着活动的变化而有所变化，但该飞船的探测结果未能很好揭示出水星 磁场的特性。“信使”号将利用磁强计等对水星磁场展开长时间的详细观测，进而确定水星磁场强度及其变化规律，研究水星磁场对于深入理解地球磁场与会有所帮助。的相互作用（5）水星上到底有没有冰？水星的表面温度最高时可达450度，夜间没有 零下150度。虽然水星是距离时就会降到最近的太，但其照不到阳光，阳系行星，距离只有5800两极巨大的环形山内侧却因此被称为“永夜区”，那里的恒定温度低于零下212度。科学家认为“永夜区”存在着冰。“信使”号的一个任务是检验水星上到底有没有冰，这将为搞清系里

16、层所存在的挥发物提供新线索。（6）水星上哪些挥发物？水星拥有极为稀薄的大气层，水星大气层中已知存在氢、氦、氧、钠、钾和钙等六种元素，这些元素据认为来自于各种，通过不同方式进入水星大气层。“信使”号将借助多种分光计研究水星大气层的分子究竟通过什么方式而产生。与小结，并确定其中的各种5本文试图在了解水星的基本特征的基础上，运用理论力学的一些知识结合适量广义相对论的内容对其轨道的进动加以推导和分析。由于时间有些紧迫，可能推导有些错误，望老师见谅。待解决是没有继续探究水星的实际受力是如何有广义相对论导出的，作者打算再借阅一些参考书，了解这方面的内容。 6参考文献12：了解的水星e R H and Goldenberg HM.Solar oblateness and Gener