力学振动和波

1、力学振动和波第1页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一振动与波无所不在振动与波是横跨物理学各分支学科的最基本的运动形式。尽管在各学科里振动与波的具体内容不同，但在形式上却有很大的相似性。力学机械振动，机械波 （声波）电学电磁振荡，电磁波（光波） 量子力学（波动力学）第2页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一振动广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。第3页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一弹簧振子(弹簧物体系统 )模型简谐振动微分方程一、简谐振动的基本特征1 简谐

2、振动（simple harmonic motion)物体一定作简谐振动其通解为：谐振动运动方程运动学特征第4页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一简谐振动定义（判据）：描述运动的物理量遵从微分方程（或运动方程为 ）运动学特征物体所受合外力动力学特征例：判断下列运动是否为简谐振动1.乒乓球在地面上的上下跳动第5页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动mgO切向运动谐振动第6页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一单摆结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率,振动的周期分别为：当 时摆球对C点的

3、力矩第7页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。当 时第8页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一二、描述简谐振动的特征量1、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。初始条件第9页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一频率：单位时间内振动的次数。2、周期 、频率、圆频率对弹簧振子角频率固有周期、固有频率、固有角频率周期T ：物体完成一次全振动所需时间。第10页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一单摆复摆 是t =0时刻的

4、位相初位相3、位相和初位相位相，决定谐振动物体的运动状态第11页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一三、简谐振动的旋转矢量表示法0t = 0 x t+0t = toX第12页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一 超前和落后两个谐振动位相差 两振动位相之差。对两同频率的谐振动 = 2- 1初相差若 = 2- 10, 称x2比x1超前 (或x1比x2后)。当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同,称同相当=(2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反,称反相第13页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一用旋转矢量表示相位关系同相反相即

5、x2比x1超前第14页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系toTavxT/4T/4第15页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一由图可见：x t+o第16页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一简谐振动的复数表示复数表示的优越之处：求导、积分很方便。复数的实部或虚部对应真实的振动量第17页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一例:如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为l=9.8cm t=0时 x0=-9.8cm, v0=0 取开始振动时为计时零点， 写出振动方程；（2）若取x0

6、=0，v00为计时零点， 写出振动方程,并计算振动频率。XOmx解： 确定平衡位置 mg=k l 取为原点 k=mg/l 令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)=-kx作谐振动 设振动方程为第18页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一由初条件得由x0=Acos0= -0.0980 cos00 x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 v0=-Asin0 , sin 0 0, 取0=3/2 x=9.810-2cos(10t+3/2) m对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变XOmx固有频率第19页，共49页，2022年，5月20日，14点19

7、分，星期一例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、一半径为R、转动惯量为I的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.（绳与定滑轮无相对滑动）mm解：取位移轴ox，m在平衡位置时，设弹簧伸长量为l，则第20页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一mm当m有位移x时联立得物体作简谐振动第21页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。解：方法1用解析法求解设振动方程为第22页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星

8、期一故振动方程为第23页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一v的旋转矢量与v轴夹角表示t 时刻相位由图知方法2：用旋转矢量法辅助求解。15.7-15.7第24页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep某一时刻，谐振子速度为v，位移为x谐振动的动能和势能是时间的周期性函数四、 简谐振动的能量第25页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一动能势能情况同动能。机械能简谐振动系统机械能守恒第26页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一xtTEEpoEtEk(1/2)kA2第27页，共

9、49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动, 其频率仍为质点同时参与同方向同频率的谐振动 :合振动 :2 简谐振动的合成第28页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一如 A1=A2 , 则 A=0两分振动相互加强两分振动相互减弱分析若两分振动同相：若两分振动反相:第29页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一合振动不是简谐振动式中随t 缓变，视为合振动的振幅随t 快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动二. 两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍分振动合振动当21时,第30页，共49页，2022年，5月20日，

10、14点19分，星期一拍 合振动忽强忽弱的现象拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 =|2-1| xtx2tx1t第31页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动分振动合振动质点的轨迹方程第32页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线质点离开平衡位置的位移讨论第33页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线质点离开平衡位置的位移第34页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一合振动的轨迹为以x轴

11、和y轴为轴线的椭圆.质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。合振动的轨迹为以x轴和y轴为轴线的椭圆.质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。第35页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一 = 5/4 = 3/2 = 7/4 = 0 = = /2 = 3/4Q = /4P .时，逆时针方向转动。时，顺时针方向转动。第36页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成 轨迹称为李萨如图形yxA1A2o-A2-A1两振动的频率成整数比第37页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一李萨如图形（周期比）x y第38页，共49页，20

12、22年，5月20日，14点19分，星期一五、简谐振动的分解 频谱振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。若周期振动的频率为 :0则各分振动的频率为:0、20、30(基频 , 二次谐频 , 三次谐频 , )按傅里叶级数展开第39页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0第40页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一xot锯齿波A03050锯齿波频谱图 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。xot阻尼振动曲线阻尼振动频谱图o

13、A第41页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一一、 阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系统的动能转化为热能。辐射阻尼：振动以波的形式向外传播，使振动能量向周围辐射出去。3 阻尼振动 受迫振动和共振第42页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一弹簧振子动力学方程系统固有角频率阻尼因子物体以不大的速率在粘性介质中运动时,介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比阻尼系数第43页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一弱阻尼弱阻尼阻尼振动的振幅按指数衰减过阻尼过阻尼系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置第44页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一临界阻尼临界阻尼系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来第45页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一二、 受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程令周期性外力策动力第46页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一振动周期与周期性外力的周期相同阻尼振动简谐振动第47页，共49页，2022年，5月20日，14点19分，星期一稳定解(1)频率: 等于策动力的频率 (3)初相:特点:稳态时